Cours de Premi`ere S année scolaire 2013-2014

Cours de Premi`ere S
ann´ee scolaire 2013-2014
S´ebastien Andrieux
Lyc´ee Camille Pissarro
9 juin 2014

Table des mati`eres
1 Polynˆomes. Second degr´e 5
I Fonctions polynˆomes ............................... 5
I.1 G´en´eralit´es ................................ 5
I.2 Identification de deux polynˆomes .................... 6
I.3 Factorisation de polynˆomes (hors programme) ............. 6
II ´ Etude des polynˆomes du second degr´e ..................... 6
II.1 Forme canonique du trinˆome ax2+bx +c............. 6
II.2 ´ Equation ax2+bx +c= 0 ...................... 7
II.3 Somme et produit des racines lorsque ∆>0............. 8
II.4 Signe de ax2+bx +c......................... 9
II.5 Aspect graphique ............................. 10
II.6 Algorithme de r´esolution de l’´equation ax2+bx +c= 0 ....... 11
II.7 Synth`ese .................................. 12
2 G´en´eralit´es sur les fonctions 13
I Ensemble de d´efinition, courbe repr´esentative ................. 13
II Variations ..................................... 14
III La fonction racine carr´ee ............................. 14
IV La fonction valeur absolue ............................ 16
V Op´erations sur les fonctions ........................... 18
VI Composition ................................... 18
VI.1 Compos´ee de fonctions .......................... 18
VI.2 Variations de g◦f............................ 19
VII Fonctions associ´ees ................................ 19
VIII Parit´e, imparit´e .................................. 20
VIII.1 Parit´e, imparit´e .............................. 20
VIII.2 G´en´eralisation .............................. 21
IX Fonctions usuelles ................................. 23
3 Statistiques 24
I Moyenne et ´ecart-type .............................. 24
I.1 Moyenne ................................. 24
I.2 ´ Ecart-type et variance .......................... 25
II M´ediane, quartiles et d´eciles ........................... 27
II.1 M´ediane .................................. 27
II.2 Quartiles ................................. 27
II.3 D´eciles ................................... 27
II.4 Diagramme en boˆıte ........................... 28
III Utilisation de la calculatrice ........................... 30
1

IV Transformation de donn´ees ........................... 30
4 Vecteurs et g´eom´etrie plane 32
I Rappels sur les vecteurs ............................. 32
I.1 Vecteurs et g´eom´etrie .......................... 32
I.2 G´eom´etrie analytique (avec les coordonn´ees) ............. 34
II Vecteurs colin´eaires. Applications. ....................... 34
III ´ Equation de droite. Vecteur directeur d’une droite. .............. 37
5 D´erivation. Applications. 39
I Notion de limite en un r´eel a.......................... 39
II Nombre d´eriv´e .................................. 40
II.1 D´efinition ................................. 40
II.2 Cons´equence graphique : la tangente .................. 40
III Fonction d´eriv´ee ................................. 41
III.1 D´eriv´ee des fonctions usuelles ...................... 42
III.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables ................. 43
III.3 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee .................... 45
IV D´eriv´ee et sens de variation ........................... 46
IV.1 Sens de variation ............................ 46
IV.2 Extremum ................................. 46
IV.3 ´ Equation f(x) = λ............................ 47
6 Probabilit´es 50
I Vocabulaire des probabilit´es ........................... 50
II Probabilit´es .................................... 52
II.1 D´efinition et propri´et´es ......................... 52
II.2 Lien entre statistiques et probabilit´es .................. 54
II.3 ´ Equiprobabilit´e .............................. 54
III Variable al´eatoire ................................. 55
7 G´en´eralit´es sur les suites. Notion de limite. 57
I G´en´eralit´es .................................... 57
I.1 Calcul de termes `a la calculatrice .................... 57
II Comportement global d’une suite ........................ 58
II.1 Suite croissante, suite d´ecroissante ................... 58
II.2 Suite major´ee, suite minor´ee ...................... 59
III Repr´esentation des suites d´efinies par r´ecurrence un+1 =f(un)....... 59
IV Notion de limite. Recherche de seuil ...................... 60
IV.1 Suite convergeant vers un nombre r´eel ℓ................ 60
IV.2 Suites ayant une limite infinie ...................... 61
8 Angles orient´es. Trigonom´etrie. 63
I Angles orient´es de vecteurs ........................... 63
I.1 Rappels sur le cercle trigonom´etrique .................. 63
I.2 Mesures des angles orient´es ....................... 64
I.3 Propri´et´es des angles orient´es ...................... 65
II Trigonom´etrie ................................... 66
II.1 Cosinus et sinus d’un r´eel ........................ 66
II.2 Angles associ´es .............................. 67
2

II.3 ´ Equations cos(x) = a,sin(x) = a, a ∈R.............. 67
9 Sch´ema de Bernoulli, loi binomiale 69
I Utilisation des arbres de probabilit´e ...................... 69
II ´ Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli ..................... 69
III Sch´ema de Bernoulli, loi binomiale ....................... 70
III.1 Introduction, coefficients binomiaux, triangle de Pascal ....... 70
III.2 Loi binomiale ............................... 74
III.3 Esp´erance, variance et ´ecart-type de la loi binomiale ......... 75
III.4 Utilisation de la calculatrice ....................... 75
III.5 Repr´esentation de la loi binomiale ................... 76
IV Compl´ements ................................... 77
10 Produit scalaire dans le plan 78
I Produit scalaire dans le plan .......................... 78
I.1 D´efinition ................................. 78
I.2 Autres expressions du produit scalaire ................. 79
I.3 Propri´et´es du produit scalaire ...................... 81
11 Suites arithm´etiques. Suites g´eom´etriques. 82
I Suites arithm´etiques ............................... 82
II Suites g´eom´etriques ............................... 83
III Le symbole sigma Σ ............................... 85
IV Pourquoi suites ≪arithm´etiques ≫, et ≪g´eom´etriques ≫?........... 85
IV.1 Moyennes arithm´etique et g´eom´etrique de deux nombres ....... 85
IV.2 Construction de la moyenne arithm´etique `a la r`egle et au compas . . 86
IV.3 Construction de la moyenne g´eom´etrique `a la r`egle et au compas . . 86
12 ´ Echantillonnage avec la loi binomiale 88
I Intervalle de fluctuation vu en seconde ..................... 88
II Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale ................. 88
III Prise de d´ecision avec la loi binomiale ..................... 89
13 Applications du produit scalaire 92
I Droite d´efinie par un vecteur normal et un point ............... 92
II Cercle ....................................... 94
III Triangle ...................................... 95
IV Trigonom´etrie ................................... 97
14 Loi g´eom´etrique tronqu´ee 99
I Pr´esentation .................................... 99
15 Notions de logique 102
I Assertions et connecteurs logiques .......................102
II Quelques modes de raisonnement ........................104
II.1 Disjonction des cas ............................104
II.2 D´emontrer `a l’aide d’un contre-exemple ................104
II.3 D´emonstration par contrapos´ee .....................104
II.4 D´emonstration par l’absurde ......................104
II.5 Double inclusion pour montrer l’´egalit´e de deux ensembles . . . . . . 104
II.6 D´emonstration par r´ecurrence ......................105
3

III Exercices .....................................105
IV Exercices de logique sur Euler ..........................106
4