MATHÉMATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul MAT102

MATHÉMATIQUES I :
Algèbre linéaire et calcul
MAT102
VIRGINIE CHARETTE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Hiver 2009
Remarques sur le texte.
Voici un extrait des notes de cours utilisées en MAT102 durant les sessions d’automne
2005, 2006 et 2007.
Il s’agit de notes de cours écrites par Bernard Marcos (pour le cours GCH103) et que
nous avons modifiées conjointement.
Nous nous servirons des chapitres pertinents de ces notes pour la partie du cours portant
sur l’algèbre linéaire, ainsi que pour la revision du calcul différentiel et intégral à une
variable.
À propos de la présentation :
1- Les définitions principales et les théorèmes sont encadrés. Certaines définitions ne
sont pas encadrées; mais en principe, quand un nouveau terme est introduit, il est en
caractères gras et italiques.
2- La fin d'un exemple est indiqué par le symbole ♦.
1
1. VECTEURS ET ESPACES VECTORIELS
1.1 Un espace vectoriel familier : le plan réel
Les vecteurs du plan sont déterminés par deux nombres réels, a et b, correspondant
"a %
respectivement à l’abscisse et l’ordonnée. Un vecteur du plan est noté $ '. Chaque
# b&
vecteur correspond ainsi à une direction et une longueur.
On peut faire la somme de deux vecteurs du plan et obtenir un nouveau vecteur du plan;
!
"a%
"c %
v
=
w
=
en effet, si
$ ' et
$ ':
#b&
#d&
"a + c %
v+w=$
'.
#b + d&
Cette
! somme
! a plusieurs propriétés utiles, notamment le fait que v+w=w+v.
"0%
Le vecteur 0= $ ' joue
! un rôle spécial dans le plan. Entre autres, pour tout vecteur du
#0&
plan v :
v+0=v.
! aussi multiplier un vecteur du plan par un nombre réel, ce qui donne encore un
On peut
vecteur du plan :
"a% "ka%
k$ ' = $ '.
#b& #kb&
Cette opération jouit aussi de nombreuses propriétés utiles, dont le fait que pour tout
vecteur v, 1⋅ v=v, et 0⋅v=0.
!
2
On note cet espace R car chaque vecteur est composé de deux nombres réels.
1.2 Définition d’un espace vectoriel
Nous allons donner la définition formelle d’espace vectoriel.
Soit l’ensemble des nombre réels R (corps commutatif) et soit E un ensemble muni de
deux lois de composition,
- l'une interne et notée ici ⊕ :
⊕ :
E"E#E
(x, y) → x ⊕ y
- l'autre externe et notée ici ⊗ :
!
2
⊗:
E "R # E
(x, α) → α ⊗ x
Définition (espace vectoriel).
!
E est un espace vectoriel sur R si les conditions suivantes sont satisfaites :
1- E est un groupe commutatif pour ⊕ : pour x, y ∈ E :
• x ⊕ y est un élément de E
• il existe un vecteur zéro dans E tel que x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
• x ⊕ (-x) = 0 (il existe un inverse unique)
• (x ⊕ y) ⊕z = x ⊕(y⊕z) (associativité)
• x ⊕ y = y ⊕ x (commutativité)
2- Pour x, y ∈ E et α, β ∈ R :
• (α + β) ⊗ x = (α ⊗x) ⊕ (β ⊗ x)
• α ⊗ (x ⊕ y) = (α ⊗ x) ⊕ (α ⊗ y)
• (α β)⊗x = α ⊗(β ⊗x)
• 1⊗x = x
Les éléments de E sont alors appelés vecteurs et ceux de R sont appelés scalaires. Dans
les applications en génie chimique, les scalaires sont généralement des nombres réels
(espace vectoriel réel); ils peuvent être aussi (plutôt rarement) des nombres complexes
(espace vectoriel complexe).
Notation.
Dans ces notes de cours, nous utiliserons souvent les caractères gras pour dénoterr un
r r
vecteur : v, x, b etc. Dans plusieurs textes on utilisera plutôt une petite flèche : v , x, b .
Remarque. Dans la plupart des exemples qui nous intéressent, on dénote la somme et la
multiplication scalaire de la manière habituelle. Ainsi, on écrira v+w!et kv (parfois k⋅v),
respectivement.
Exemple 1. L'espace Rn:
Nous avons déjà parlé du plan. Plus généralement, on peut prendre l'ensemble des n" x1 %
$ '
tuples $ M ' et le doter d'une somme et d'une multiplication scalaire analogues à ce qu'on a
$#x n '&
vu plus haut :
" x1 % " y1 % " x1 + y1 %
$ ' $ ' $
'
$ M ' + $ M ' = $ M ',
!
$#x n '& $#y n '& $#x n + y n '&
!
3
" y1 % " ky1 %
$ ' $ '
k$ M ' = $ M ' ,
$# y n '& $#ky n '&
"0%
$'
et le vecteur zéro est bien
! sûr : 0= $M '. On montre assez facilement que toutes les
$#0'&
propriétés d'un espace vectoriel tiennent. On note cet espace vectoriel Rn.
Par exemple, la droite réelle R est un espace vectoriel, avec la somme et la multiplication
!
usuelles.
♦
Exemple 2. L’ensemble des polynômes réels de degré 2 :
Un polynôme de degré 2 est un polynôme qui a la forme générale :
2
P(t) = a2 t + a1 t + a0.
Si on a un polynôme :
2
Pa(t) = a2 t + a1 t + a0
et un polynôme :
2
Pb(t) = b2 t + b1 t + b0,
on vérifie que la somme est :
2
Pa (t) + Pb(t) = (a2 + b2) t + (a1 + b1) t + (a0 + b0) .
Cette somme est un polynôme de degré 2 dont les trois coefficients sont (a2 + b2), (a1 +
b1) et (a0 + b0) .
Le vecteur zéro est le polynôme Pnul (t) dont les trois coefficients sont a2 = 0, a1 = 0 et a0
= 0.
On peut vérifier que Pa (t) + Pnul (t) = Pnul (t) + Pa (t) = Pa(t).
On peut vérifier facilement que :
Pa (t) – Pa(t) = Pnul (t)
(Pa (t) + Pb(t)) + Pc (t) = Pa (t) + ( Pb(t)) + Pc (t) )
Pa (t) + Pb (t) = Pb (t) + Pa (t).
On a donc montré que l’ensemble des polynômes est un groupe commutatif par rapport à
l’addition des polynômes.
Si on calcule α Pa (t) (α est un nombre réel), on obtient :
2
2
α Pa (t) = α (a2 t + a1 t + a0 ) = α a2 t + α a1 t + α a0 .
Ainsi, α Pa (t) est un polynôme de degré 2 dont les coefficients sont α a2 , α a1 et α a0 .
4
On peut vérifier facilement que :
(α + β) Pa (t) = α Pa (t) + β Pa (t)
α ( Pa (t) + Pb (t) ) = α Pa (t) + α Pb (t)
(α β) Pa (t) t = α (βPa (t) )
1⋅Pa (t) = Pa (t)
Il s’ensuit que les propriétés pour la loi externe sont vérifiées. Par conséquent l’ensemble
des polynômes de degré 2 est un espace vectoriel sur R.
♦
Remarque : Un polynôme de degré 2 est parfaitement défini lorsque l’on donne les trois
coefficients réels a2 , a1 et a0. Il existe donc une correspondance (bijection) entre
l’ensemble des polynômes et l’ensemble des triplets de trois nombres réels.
Remarque : Si on choisit comme opération interne la multiplication de deux polynômes à
la place de l’addition, l’ensemble des polynômes de degré 2 n’est pas un espace
vectoriel car le produit de deux polynômes de degré 2 est un polynôme de degré 4 (en
général) qui n’appartient pas à l’ensemble de départ des polynômes de degré 2;
l’opération (de multiplication) choisie n’est pas une loi interne.
Combinaison linéaire de vecteurs
Soient v1, … , vn des vecteurs d'un espace vectoriel E.
Définition (combinaison linéaire).
Une combinaison linéaire de v1, … , vn est un vecteur v ∈ E qui s’écrit sous la forme :
v = α1 v1 +… + αn vn
pour α1 , …, αn ∈ R.
Exemple. Combinaison linéaire de deux vecteurs de l’espace R3 :
& 2#
&1 #
& 7#
$
!
$
!
Soient les vecteurs v1 = $' 1 ! et v2 = $0! ; le vecteur v = $$' 2!! est une combinaison
$%' 2!"
$%3 !"
$% 5 !"
linéaire de v1 et v2 car :
#2.2 & "3.1% #4 + 3 & #7 &
%
( $ ' %
( % (
2 v1+ 3 v2 = %2."1 ( + $3.0' = %"2 + 0(= %"2( =v.
%$2." 2(' $#3.3'& %$"4 + 9(' %$5 ('
♦
!
!
!
!
5
1.3 Définition de sous-espaces vectoriels
Définition (sous-espace vectoriel).
Une partie V d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si les conditions
suivantes sont satisfaites :
1. 0 ∈ V .
2. Pour x, y ∈ V , (x + y) ∈ V .
3. Pour x ∈ V et α ∈ R , α x ∈ V .
Théorème.
Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel.
3
Exemple. Un plan dans l’espace vectoriel R :
& x1 #
3
Chaque vecteur v de R a la forme v = $$ x 2 !! où x1, x2 et x3 sont les composantes
$% x3 !"
(nombres réels) du vecteur v. Voici un exemple de sous-espace vectoriel de R3.
On choisit, dans cet espace, les vecteurs y dont la troisième composante est nulle , c’est& y1 #
à-dire y = $$ y 2 !! et on appelle V l’ensemble des vecteurs y de cette forme.
$%0 !"
&0 #
On peut vérifier que 0= $$0!! appartient à V.
$%0!"
On peut aussi vérifier que :
& y1 #
& z1 #
$
!
si y = $ y 2 ! et z = $$ z 2 !! sont deux éléments de V,
$%0 !"
$%0 !"
& y1 + z1 #
la somme y + z = $$ y 2 + z 2 !! est un élément de V car la troisième
$% 0 !"
composante est nulle.
On peut enfin vérifier que :
si y est un élément de V,
6
&' y1 #
le vecteur α y = $$' y 2 !! est un élément de V car la troisième composante
$%0
!"
est nulle.
3
Il s’ensuit que l’ensemble V est un sous-espace vectoriel de R car les trois conditions de
la définition sont remplies.
♦
Remarque : En fait, tout plan dans R3 passant par l'origine, ainsi que toute droite passant
par l'origine, est un sous-espace vectoriel.
1.5 Ensembles générateurs d'espaces vectoriels
Théorème.
Soit E un espace vectoriel et v1, … , vn , des vecteurs de E. Alors l’ensemble des vecteurs
v tels que :
v = α1 v1 +… + αn vn
avec α1 , …, αn ∈ R
est un sous-espace vectoriel de l’espace E.
En d'autres mots, l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'une collection de
vecteurs forme un espace vectoriel. Une telle collection mérite donc un nom particulier.
Définition (ensemble générateur).
Soit E un espace vectoriel. L’ensemble (e1, …, en) est un ensemble générateur de E si tout
vecteur v appartenant à E est une combinaison linéaire de e1, …, en, c’est-à-dire, il existe
α1 , … , αn te1 que :
v = α1 e1 + … + αn en.
Aussi, E est appelé l'espace (vectoriel) engendré par e1, …, en.
Notation.
On dénote E= < e1 ,…, en.>..
7
Exemple. Un plan engendré par des vecteurs dans R3:
"1 %
"0%
$'
$'
Les vecteurs $0' et $1 ' engendrent le plan z=0. En effet, ce plan se décrit comme
$#0'&
$#0'&
" y1 %
$ '
l'ensemble des vecteurs de la forme $ y 2 ', y1, y 2 ( R et:
$#0 '&
!
!
" y1 %
" 1%
" 0%
$ '
$ '
$ '
$ y 2 ' = y1$ 0' + y 2 $ 1 ' .
$#0 '&
$#0 '&
$#0 '&
!
!
Remarque importante. Un espace vectoriel admet plus d'un ensemble générateur, voire
une infinité d'ensembles générateurs distincts (en dimension positive). Par exemple, les
"1 % "0%
$' $'
vecteurs $2' et $1 ' engendrent aussi le plan z=0.
$#0'& $#0'&
♦
!
!
1.5 Définition d’une base
Dans l'exemple précédent, nous aurions pu tout aussi bien prendre trois vecteurs pour
engendrer le plan z=0. Par exemple:
" 1 % " 1 % " 0%
$ '$ '$ '
{z = 0} = $ 2',$ 0',$ 1'
$#0 '& $#0 '& $#0 '&
Mais d'une certaine façon, cet ensemble est "trop gros". Nous allons formaliser cette
intuition.
! linéaire).
Définition (indépendance
L’ensemble (e1,…, en) est libre (ou les vecteurs e1 , …, en sont linéairement indépendants)
s'il n'est pas possible de trouver des scalaires α1 , … , αn non tous nuls tels que
α1 e1 + … + αn en =0.
En d'autres termes, la seule solution de cette équation est celle dont tous les αi sont nuls.
Définition (base).
L’ensemble (e1, …, en) est une base de E s’il est libre et générateur.
8
Théorème.
Supposons que l’espace vectoriel E est engendré par un ensemble fini de vecteurs (v1, …,
vm ); alors E admet une base finie (e1, …, en) de vecteurs qui est formée d’un sousensemble de cet ensemble de vecteurs (v1, …, vm ) et, de plus, n≤ m.
Il s’ensuit que, pour tout v appartenant à E, v s’écrit :
v = α1 e1 + … + αn en .
Les α1 , … , αn sont appelés les composantes de v dans la base (e1, …, en). Pour une
base donnée, les composantes sont uniques. Cependant, un espace vectoriel a une infinité
de bases différentes qui ont toutes le même nombre d’éléments.
Définition (dimension).
La dimension d’un espace vectoriel est le nombre de vecteurs qui forment une base.
Comme toutes les bases d’un espace vectoriel E ont le même nombre d’éléments, la
dimension d’un espace vectoriel est une caractéristique propre à cet espace vectoriel et est
indépendante de la base choisie.
3
Exemple 1. Une base de l’espace vectoriel R :
& x1 #
L’espace vectoriel est formé des vecteurs v = $$ x 2 !! où x1, x2 et x3 sont trois nombres
$% x3 !"
réels. Tout vecteur v peut se mettre sous la forme :
&1 #
&0 #
$
!
v = x1 $0! + x2 $$1 !! + x3
$%0!"
$%0!"
&1 #
En nommant e1 = $$0!! , e2 =
$%0!"
3
&0 #
$0 ! .
$ !
$%1 !"
&0 #
&0 #
$1 ! et e = $0! , on vérifie que l’ensemble (e , e , e ) forme
3 $ !
1 2 3
$ !
$%0!"
$%1 !"
une base de R . Les nombres x1, x2 et x3 sont les composantes de v dans la base (e1,
3
e2,e3). La dimension de l’espace vectoriel R est 3. De manière générale, la dimension de
n
l’espace vectoriel R est n.
♦
Exemple 2. Une base de l’espace vectoriel des polynômes de degré 2 :
2
Si on considère les polynômes e1(t) = t , e2 (t) = t et e3 (t) = 1, on peut vérifier que e1, e2
et e3 sont des polynômes de degré 2. Comme tout polynôme P(t) de degré 2 a la forme
2
P(x) = a2 t + a1 t + a0, on peut vérifier que :
9
P(t) = a2 e1(t) + a1 e2(t) + a0 e3(t).
On montre donc ainsi que e1, e2 et e3 forment un ensemble générateur de l’espace
vectoriel des polynômes de degré 2. On peut noter que les trois vecteurs e1, e2 et e3 sont
linéairement indépendants. L’ensemble (e1(t), e2(t), e3(t)) forme donc une base de
l’espace vectoriel des polynômes de degré 2. Les nombres a1, a2 et a3 sont les
composantes de P(t) dans la base e1, e2 et e3 . La dimension de l’espace vectoriel des
polynômes de degré 2 est 3.
♦
1.6 Dimension de la somme de sous-espaces
Théorème.
Si V est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E, la dimension de V est inférieure
ou égale à la dimension de E ( dim V ≤ dim E).
Définition (somme de sous-espaces vectoriels).
Si V1 et V2 sont deux sous-espaces vectoriels de E, la somme V1+V2 est l’ensemble des
vecteurs formés par la somme de vecteurs de V1 et de V2 :
V1 + V2 = {v1 + v2 | v1 ∈ V1 et v2 ∈ V2 }.
Théorème.
La somme V1+V2 est un sous-espace vectoriel.
Définition (somme directe).
Si V1 et V2 sont des espaces vectoriels ayant pour intersection V1 ∩ V2 = {N}, la somme
est appelée somme directe et est notée : V1 ⊕ V2.
La somme directe est aussi, bien sûr, un espace vectoriel.
À partir de ces deux définitions de somme et de somme directe, on a les relations
suivantes :
Théorème.
dim (V1+V2 ) + dim (V1 ∩ V2 ) = dim(V1) + dim (V2),
dim (V1 ⊕ V2 ) = dim (V1) + dim (V2).
10
3
Exemple. Somme de sous-espaces de R :
& x#
Dans l’espace vectoriel R , prenons les vecteurs de la forme $$0 !! , x un nombre réel
$%0 !"
quelconque. On obtient un ensemble V1 qui correspond à l’axe des x. On peut vérifier
que V1 est un sous-espace vectoriel qui a pour base un ensemble formé d’un seul élément,
&1 #
par exemple le vecteur $$0!! . La dimension de V1 est égale à 1.
%$0"!
3
&0 #
Prenons ensuite les vecteurs de la forme $$ y !! ; on obtient un ensemble V2 qui correspond
$%0 !"
à l’axe des y. On peut vérifier que V2 est un sous-espace vectoriel qui admet pour base
&0 #
l’ensemble formé d’un seul élément, le vecteur $$1 !! . La dimension de V2 est égale à 1.
$%0!"
&0 #
On peut vérifier que le seul vecteur qui appartient à V1 ∩ V2 est $$0!! . Il s’ensuit que
$%0!"
V1 ∩ V2 a pour dimension 0.
Les vecteurs éléments de l’espace V1+V2 sont des combinaisons linéaires v1 + v2, où v1
est un élément de V1 et v2 est un élément de V2. De manière générique, ces vecteurs sont
&x #
de la forme $$ y !! . Ces vecteurs forment le plan z=0, rencontré dans un exemple précédent.
$%0 !"
On vérifie que :
dim (V1+V2 ) + dim (V1 ∩ V2 ) = dim(V1) + dim (V2)
2
+
0
=
1
+
1.
♦
11