MATHÉMATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul MAT102

MATHÉMATIQUES I :
Algèbre linéaire et calcul
MAT102
VIRGINIE CHARETTE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Hiver 2009

1
Remarques sur le texte.
Voici un extrait des notes de cours utilisées en MAT102 durant les sessions d’automne
2005, 2006 et 2007.
Il s’agit de notes de cours écrites par Bernard Marcos (pour le cours GCH103) et que
nous avons modifiées conjointement.
Nous nous servirons des chapitres pertinents de ces notes pour la partie du cours portant
sur l’algèbre linéaire, ainsi que pour la revision du calcul différentiel et intégral à une
variable.
À propos de la présentation :
1- Les définitions principales et les théorèmes sont encadrés. Certaines définitions ne
sont pas encadrées; mais en principe, quand un nouveau terme est introduit, il est en
caractères gras et italiques.
2- La fin d'un exemple est indiqué par le symbole ♦.

2
1. VECTEURS ET ESPACES VECTORIELS
1.1 Un espace vectoriel familier : le plan réel
Les vecteurs du plan sont déterminés par deux nombres réels, a et b, correspondant
respectivement à l’abscisse et l’ordonnée. Un vecteur du plan est noté
!
a
b
"
#
$
%
&
'
. Chaque
vecteur correspond ainsi à une direction et une longueur.
On peut faire la somme de deux vecteurs du plan et obtenir un nouveau vecteur du plan;
en effet, si
!
v =
a
b
"
#
$
%
&
'
et
!
w =
c
d
"
#
$
%
&
'
:
!
v + w =
a+c
b+d
"
#
$
%
&
'
.
Cette somme a plusieurs propriétés utiles, notamment le fait que v+w=w+v.
Le vecteur 0=
!
0
0
"
#
$
%
&
'
joue un rôle spécial dans le plan. Entre autres, pour tout vecteur du
plan v :
v+0=v.
On peut aussi multiplier un vecteur du plan par un nombre réel, ce qui donne encore un
vecteur du plan :
!
k
a
b
"
#
$
%
&
' =
ka
kb
"
#
$
%
&
'
.
Cette opération jouit aussi de nombreuses propriétés utiles, dont le fait que pour tout
vecteur v, 1⋅ v=v, et 0⋅v=0.
On note cet espace R2 car chaque vecteur est composé de deux nombres réels.
1.2 Définition d’un espace vectoriel
Nous allons donner la définition formelle d’espace vectoriel.
Soit l’ensemble des nombre réels R (corps commutatif) et soit E un ensemble muni de
deux lois de composition,
- l'une interne et notée ici ⊕ :
⊕ :
!
E"E#E
(x, y) → x ⊕ y
- l'autre externe et notée ici ⊗ :

3
⊗ :
!
E"R#E
(x, α) → α ⊗ x
Définition (espace vectoriel).
E est un espace vectoriel sur R si les conditions suivantes sont satisfaites :
1- E est un groupe commutatif pour ⊕ : pour x, y ∈ E :
• x ⊕ y est un élément de E
• il existe un vecteur zéro dans E tel que x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x
• x ⊕ (-x) = 0 (il existe un inverse unique)
• (x ⊕ y) ⊕z = x ⊕(y⊕z) (associativité)
• x ⊕ y = y ⊕ x (commutativité)
2- Pour x, y ∈ E et α, β ∈ R :
• (α + β) ⊗ x = (α ⊗x) ⊕ (β ⊗ x)
• α ⊗ (x ⊕ y) = (α ⊗ x) ⊕ (α ⊗ y)
• (α β)⊗x = α ⊗(β ⊗x)
• 1⊗x = x
Les éléments de E sont alors appelés vecteurs et ceux de R sont appelés scalaires. Dans
les applications en génie chimique, les scalaires sont généralement des nombres réels
(espace vectoriel réel); ils peuvent être aussi (plutôt rarement) des nombres complexes
(espace vectoriel complexe).
Notation.
Dans ces notes de cours, nous utiliserons souvent les caractères gras pour dénoter un
vecteur : v, x, b etc. Dans plusieurs textes on utilisera plutôt une petite flèche :
!
r
v ,r x ,
r
b
.
Remarque. Dans la plupart des exemples qui nous intéressent, on dénote la somme et la
multiplication scalaire de la manière habituelle. Ainsi, on écrira v+w et kv (parfois k⋅v),
respectivement.
Exemple 1. L'espace Rn:
Nous avons déjà parlé du plan. Plus généralement, on peut prendre l'ensemble des n-
tuples
!
x1
M
xn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
et le doter d'une somme et d'une multiplication scalaire analogues à ce qu'on a
vu plus haut :
!
x1
M
xn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
+
y1
M
yn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
=
x1+y1
M
xn+yn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
,

4
!
k
y1
M
yn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
=
ky1
M
kyn
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
,
et le vecteur zéro est bien sûr : 0=
!
0
M
0
"
#
$
$
$
%
&
'
'
'
. On montre assez facilement que toutes les
propriétés d'un espace vectoriel tiennent. On note cet espace vectoriel Rn.
Par exemple, la droite réelle R est un espace vectoriel, avec la somme et la multiplication
usuelles.
♦
Exemple 2. L’ensemble des polynômes réels de degré 2 :
Un polynôme de degré 2 est un polynôme qui a la forme générale :
P(t) = a2 t2 + a1 t + a0.
Si on a un polynôme :
Pa(t) = a2 t2 + a1 t + a0
et un polynôme :
Pb(t) = b2 t2 + b1 t + b0,
on vérifie que la somme est :
Pa (t) + Pb(t) = (a2 + b2) t2 + (a1 + b1) t + (a0 + b0) .
Cette somme est un polynôme de degré 2 dont les trois coefficients sont (a2 + b2), (a1 +
b1) et (a0 + b0) .
Le vecteur zéro est le polynôme Pnul (t) dont les trois coefficients sont a2 = 0, a1 = 0 et a0
= 0.
On peut vérifier que Pa (t) + Pnul (t) = Pnul (t) + Pa (t) = Pa(t).
On peut vérifier facilement que :
Pa (t) – Pa(t) = Pnul (t)
(Pa (t) + Pb(t)) + Pc (t) = Pa (t) + ( Pb(t)) + Pc (t) )
Pa (t) + Pb (t) = Pb (t) + Pa (t).
On a donc montré que l’ensemble des polynômes est un groupe commutatif par rapport à
l’addition des polynômes.
Si on calcule α Pa (t) (α est un nombre réel), on obtient :
α Pa (t) = α (a2 t2 + a1 t + a0 ) = α a2 t2 + α a1 t + α a0 .
Ainsi, α Pa (t) est un polynôme de degré 2 dont les coefficients sont α a2 , α a1 et α a0 .