Fonctions: le bassin du maître nageur

Fonctions: le bassin du maître nageur
Un maître-nageur dispose d’une barrière flottante de 150 m et de deux bouées pour délimiter
un bassin rectangulaire sur une plage rectiligne.
Comment choisir d pour que l’aire du rectangle soit maximale ?
d
d
Par exemple, si la distance d est 10 m, il reste 130 m pour le côté du rectangle parallèle à la
plage et l’aire du rectangle est 10 130 = 1 300 m 2.
130 m
10 m
10 m
1/ Image
On note S: 10  1 300 ou S ( 10 ) = 1 300.
On dit que 1 300 est l’image de 10.
De même, S ( 20 ) = 20 110 = 2 200, S ( 30 ) = 30
90 = 2 700 etc.
Chaque fois qu’on a choisi une distance d, on lui a fait correspondre une aire (ou une surface).
Une fonction est une règle de correspondance.
On peut mettre ces renseignements dans un tableau de valeurs :
d
0
1
2
S(d)
0
148
292
50
60
d
S(d)
40
10
20
30
37
1300 2200 2700 2812
70
74
75
2800 2500 1800 700
148
0
37,5
38
2812,5
2812
2/ Ensemble de définition
Remarque : si la distance d est trop grande on ne peut pas faire de bassin. Les nombres
supérieurs à 75 n’ont donc pas d’image.
Si d est négative, il n’y a pas de bassin non plus. Les nombres négatifs n’ont donc pas
d’image.
Finalement, seuls les nombres compris entre 0 et 75 ont une image.
Il y a deux catégorie de nombres : ceux qui ont une image (ceux qui sont compris entre 0 et
75) et ceux qui n’ont pas d’image (les autres).
Définition : l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres qui ont une
image par cette fonction.
L’ensemble de définition de la fonction S est l’intervalle [ 0 ; 75 ].
3/ Définition d’une fonction
Définition : une fonction est une règle de correspondance qui, a tout nombre, fait correspondre
une image ou pas d’image.
Un nombre ne peut pas avoir plusieurs images.
4/ Antécédents
Remarque : pour dire que l’image de 10 est 1 300, on note « S: 10  1 300 ».
Le sens de la flèche indique que l’on va de 10 vers 1 300.
On peut aussi lire la flèche dans l’autre sens.
On dit alors que 10 est un antécédent de 1 300.
Attention, un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
Consultez le tableau donné plus haut, vous constaterez que S: 1  148 et que S: 74  148.
1 et 74 ont pour image 148
donc 1 et 74 sont deux antécédents de 148.
5/ Représentation
On note S: 10  1 300 ou S ( 10 ) = 1 300.
On dit que 1 300 est l’image de 10.
De même, S ( 20 ) = 20 110 = 2 200, S ( 30 ) = 30
90 = 2 700 etc.
Chaque fois qu’on a choisi une distance d, on lui a fait correspondre une aire (ou une surface).
Une fonction est une règle de correspondance.
On peut décrire cette correspondance par un tableau de valeurs :
d
0
1
2
S(d)
0
148
292
50
60
d
S(d)
40
10
20
30
37
1300 2200 2700 2812
70
74
75
2800 2500 1800 700
148
0
37,5
38
2812,5
2812
La représentation d’une fonctions donne les mêmes renseignements que le tableau de valeurs.
Il y a deux lignes dans le tableau de valeurs. La première pour la variable d et la seconde pour
l’image S ( d ).
De même il y a deux axes sur la représentation. L’axe des abscisses pour la variable et l’axe
des ordonnées pour l’image.
Chaque fois qu’on connaît l’image d’un nombre, on peut placer un point de la représentation.
Par exemple puisque l’image de 10 est 1300, le point de coordonnées ( 10 ; 1300 ) appartient à
la représentation de la fonction S.
En plaçant d’autres points, on construit cette courbe :
6/ Définir une fonction par une formule
Si la distance d est 10 m, il reste 150 - 2 10 = 130 m pour le côté du rectangle parallèle à la
plage. L’aire du rectangle est donc 10 130 = 1 300 m 2.
De même, pour une distance d, l’aire du bassin est S ( d ) = d
On peut aussi écrire S: d  d ( 150 - 2 d ).
Il est alors plus facile de calculer les images.
Pour calculer S ( 20 ), il suffit de calculer 20 ( 150 - 2
( 150 - 2 d ).
20 ) = 20
110 = 2 200.
On peut aussi calculer les antécédents. Cherchons les antécédents de 0.
Il s’agit de trouver les distances d dont l’image est 0.
Il s’agit de trouver les distances d telles que S ( d ) = 0.
Il suffit de résoudre cette équation:
S(d)=0
On peut conclure: les antécédents de 0 sont 0 et 75.
d ( 150 - 2 d ) = 0
d = 0 ou 150 - 2 d = 0
d = 0 ou d = 75