Probabilités - Cours et Exercices de Mathématiques

Probabilités
I Probabilités élementaires
Exemple
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l'urne et on note sa couleur.
L'ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = {B ; R ; V}.
«tirer une boule rouge» correspond à {R}.
«tirer une boule qui n'est pas bleue» correspond à {R ; V}.
«tirer une boule noire» correspond à ∅.
«tirer une boule qui n'est pas jaune» correspond à {B ; R ; V} = Ω.
Définition
Soit Ω l'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire (Ω est appelé univers).
• On appelle événement, toute partie de Ω.
• ∅ est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement impossible.
• Ω est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement certain.
Exemple
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l'urne et on note sa couleur.
L'ensemble des éventualités (univers) est Ω = {B ; R ; V}.
Il y a huit événements : ∅ ; {B} ; {R} ; {V} ; {B ; R} ; {B ; V} ; {R ; V} ; Ω.
Les événements {B} ; {R} et {V} qui comportent un seul élément sont parfois appelés événements
élémentaires.
Définition
• La réunion de deux événements A et B est un événement A∪B, appelé aussi événement "A ou B".
• L'intersection de deux événements A et B est un événement A∩B, appelé aussi événement "A et B".
• Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A∩B = ∅), on dit que ces événements sont
disjoints ou incompatibles.

• On appelle événement contraire d'un événement A et on note A l'ensemble de toutes les éventualités qui
ne sont pas dans A. (C'est la partie complémentaire de A dans Ω on la note aussi CΩ A).
Remarque
Un événement et son contraire sont incompatibles.
Exercice 01
(voir réponses et correction)
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face
supérieure.
1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω. Combien y a-t-il d'événements ?
2°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements :
A : «obtenir un numéro inférieur ou égal à 2»,
B : «obtenir un numéro impair»,
C : «obtenir un numéro strictement supérieur à 4».



3°) Écrire les événements A∪B ; A∩B ; A∪C ; A∩C ; B∪C ; B∩C ; A ; A ∪C ; A ∩C .
Donner pour chacun d'eux une phrase qui les caractérise.
4°) Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événements incompatibles qui ne sont pas
contraires l'un de l'autre.
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Définition
On considère Ω = {ω1 ; ω2 ;...; ωn}.
On définit une loi de probabilité p sur Ω en associant à chaque éventualité ωi un nombre réel p(ωi) = pi tel
que :
• pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ⋯ ; n}
0 £ pi £ 1
• p1 + p2 + ⋯ + pn = 1
On dit que pi est la probabilité de l'éventualité ωi.
Exemple
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face
supérieure. L'ensemble des éventualités Ω est { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants :
Numéro
Fréquence
1
0,0606
2
0,1522
3
0,1710
4
0,1685
5
0,1936
6
0,2541
La somme des fréquences est bien-entendu égale à 1.
Le dé paraît déséquilibré, la face portant le numéro 6 sortant beaucoup plus souvent que les autres alors
que la face portant le numéro 1 sort beaucoup moins souvent.
On peut choisir une loi de probabilité p sur Ω, en associant à chaque numéro, sa fréquence d'apparition.
On aura alors p1 = 0,0606 ; p2 = 0,1522 ; p3 = 0,1710 ; p4 = 0,1685 ; p5 = 0,1936 ; p6 = 0,2541
Compte-tenu des variations de fréquences liées au tirage (fluctuation d'échantillonnage), on peut aussi
arrondir ces fréquences et choisir la loi de probabilité p sur Ω, définie par :
p1 = 0,06 ; p2 = 0,15 ; p3 = 0,17 ; p4 = 0,17 ; p5 = 0,19 ; p6 = 0,26
On prendra soin de vérifier que la somme des probabilités des éventualités est égale à 1.
2°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants :
Numéro
Fréquence
1
0,1633
2
0,1663
3
0,1668
4
0,1678
5
0,1686
6
0,1672
La somme des fréquences est égale à 1.
Le dé paraît équilibré.
On peut choisir une loi de probabilité p sur Ω, en associant à chaque numéro, sa fréquence d'apparition.
On aura alors p1 = 0,1633 ; p2 = 0,1663 ; p3 = 0,1668 ; p4 = 0,1678 ; p5 = 0,1686 ; p6 = 0,1672
Mais si on suppose que le dé est "parfaitement équilibré" et que les variations de fréquences sont liées à
la fluctuation d'échantillonnage, on pourra choisir des probabilités égales pour chacune des éventualités,
la loi de probabilité p sur Ω, sera alors définie par :
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = 1
6
La somme des probabilités des éventualités étant égale à 1.
Pour trouver la probabilité de l'événement A : «obtenir un numéro pair», il suffira d'ajouter les probabilités des
éventualités 2 ; 4 et 6 .
Dans le premier cas on obtiendra p(A) = p2 + p4 + p6 = 0,15 + 0,17 + 0,26 = 0,58
et dans le deuxième cas p(A) = p2 + p4 + p6 = 1 + 1 + 1 = 3 = 1 = 0,50.
6 6 6 6 2
Définition
Soit p une loi de probabilité sur un univers Ω.
Pour tout événement A on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A.
Si A = {a1 ; a2 ; ⋯ ; ak}, on a : p(A) = p(a1) + p(a2) + ⋯ + p(ak).
On pose d'autre part p(∅) = 0.
Remarque
La probabilité de l'événement certain Ω est la somme des probabilités de toutes les éventualités et par
définition on a p(Ω) = 1.
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Cas particulier
Lorsque les éventualités ont toutes la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables ou que la loi de
probabilité est uniforme.
1
1
Si Ω = {ω1 ; ω2 ; ⋯ ; ωn}, la probabilité de chaque éventualité est p0 =
= .
card(Ω) n
Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le nombre d'éléments de A divisé par le nombre d'éléments
card(A) 
nombre de cas favorables 
de Ω, c'est-à-dire p(A) =
. On dit aussi p(A) =
nombre de cas possibles 
card(Ω) 
Rappel
• Si A et B sont deux ensembles finis disjoints (A∩B = ∅)
card(A∪B) = card(A) + card(B)
• Si A et B sont deux ensembles finis quelconques
card(A∪B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)
Propriétés
•
•
•
•
•
•
(voir démonstration 01)
Pour tout événement A, on a p(A) ∈ [0,1].
Si A et B sont deux événements incompatibles , on a
p(A∪B) = p(A) + p(B)
Si A et B sont deux événements quelconques, on a
p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
Si A est contenu dans B, on a p(A) £ p(B)
Si A1, A2, ... , Ak sont des événements deux à deux disjoints, on a :

p(A1∪A2∪...∪Ak) = p(A1) + p(A2) + ⋯ + p(Ak)
A étant le contraire de A, on a
Exercice 02

p ( A ) = 1 - p(A) .
(voir réponses et correction)
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
1°) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités.
2°) Quelle est la probabilité des événements suivants :
a) A : la carte tirée est le roi de cœur,
b) B : la carte tirée est un as,
c) C : la carte tirée est rouge,
d) D : la carte tirée est un as ou une carte rouge.
Exercice 03
(voir réponses et correction)
Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher.
1°) On considère l'épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l'urne.
a) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités.
b) Les 20 boules sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues.
Quelle est la probabilité de chacun des événements :
• la boule tirée est jaune,
• la boule tirée est rouge ou verte,
• la boule tirée n'est pas noire.
2°) On considère maintenant l'épreuve qui consiste à tirer simultanément au hasard deux boules de cette
même urne. Quelle est la probabilité de chacun des événements :
• les deux boules tirées sont jaunes,
• on a tiré une boule rouge et une boule verte.
Exercice 04
(voir réponses et correction)
On lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'un est rouge, l'autre est blanc.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir exactement un 1 »
B : « obtenir au moins un 1 »
C : « obtenir au plus un 1 »
D : « le plus petit des deux numéros est 4 »
E : « la somme des deux numéros est égale à 7 »
F : « la somme des deux numéros est strictement supérieure à 10 ».
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II Variable aléatoire
Exemple
Un jeu consiste à tirer au hasard une carte d'un jeu de 52 cartes.
On suppose les éventualités équiprobables.
L'ensemble Ω des tirages possibles d'une carte parmi 52 a pour cardinal : card(Ω) = 52.
La probabilité de chaque éventualité est alors p0 = 1 .
52
card(A)
Pour tout événement A on aura donc p(A) =
.
card(Ω)
A chaque tirage on associe un gain ou une perte définis de la façon suivante :
• Si on tire un as on gagne 5 euros,
• Si on tire un roi, une dame ou un valet, on gagne 1 euro,
• Dans tous les autres cas on perd 1 euro.
On note X le gain algébrique associé à chaque tirage. X peut donc prendre les valeurs -1 ; 1 et 5.
On a donc : X(Ω) = { -1 ; 1 ; 5 }.
On notera :
(X=5) l'événement : «le tirage procure un gain de 5 euros»,
(X=1) l'événement : «le tirage procure un gain de 1 euro»,
(X=-1) l'événement : «le tirage procure une perte de 1 euro».
L'événement (X=5) est aussi l'événement «tirer un as».
Sachant que l'on a quatre as dans le jeu de cartes, on a quatre choix possibles pour un as, donc
card(X=5) = 4 et par conséquent p(X=5) = card(X=5) = 4 = 1 .
52 13
card(Ω)
L'événement (X=1) est aussi l'événement «tirer un roi ou une dame ou un valet».
Sachant que l'on a quatre rois, quatre dames et quatre valets dans le jeu de cartes, on a douze choix
possibles, donc
card(X=1) = 12 et par conséquent p(X=1) = card(X=1) = 12 = 3 .
52 13
card(Ω)
L'événement (X=-1) se produit lorsqu'on tire une carte qui n'est ni un as, ni un roi, ni une dame, ni un valet,
on a donc (52 - 16) = 36 choix possibles, donc
card(X=-1) = 36 et par conséquent p(X=-1) = card(X=-1) = 36 = 9 .
52 13
card(Ω)
On dit que X est une variable aléatoire et on appelle loi de probabilité de X (ou loi transportée par X), la
donnée des probabilités des événements (X=-1) ; (X=1) ; (X=5) que l'on peut faire dans un tableau :
xi
p(X=xi)
-1
9
13
1
3
13
5
1
13
La somme des probabilités des trois événements (X=-1) ; (X=1) ; (X=5) est égale à 1.
L'évément (X=-1) a une probabilité de 9 signifie que, statistiquement, la fréquence d'une perte de 1 euro
13
9
est égale à
. Il en est de même pour (X=1) et pour (X=5).
13
On peut alors calculer la moyenne de gain, appelée espérance mathématique de X et notée E(X).
E(X) = -1 x 9 + 1 x 3 + 5 x 1 = -9 + 3 + 5 = - 1 .
13
13
13
13
13
Cela signifie que le jeu procure, en moyenne, une perte d'un treizième d'euro à chaque tirage.
Définition
Étant donné un ensemble fini Ω muni d'une loi de probabilité p, on appelle variable aléatoire sur Ω, toute
application X de Ω dans un ensemble Ω'.
Si on note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ⋯ ; xn}, on appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X (ou loi de probabilité
transportée par X) l'application qui à tout élément xi fait correspondre p(X=xi).
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Remarques
• Une variable aléatoire X est donc une application qui à une éventualité de Ω fait correspondre un élément
de Ω'. Lorsque Ω' est une partie de IR, on parlera de variable aléatoire numérique.
• Lorsque l'ensemble Ω est fini, une variable aléatoire X ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs.
• On note (X=xi) l'ensemble des éventualités pour lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur xi.
• Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, c'est donner les différentes valeurs de
p(X=x1), p(X=x2) , ... , p(X=xn). (La somme de ces probabilités est égale à 1)
Exercice 05
(voir réponses et correction)
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On définit une variable aléatoire X en associant à chaque tirage le nombre :
• -10 si on tire le numéro 1 ;
•0
si on tire les numéros 2, 3, 4 ou 5 ;
• 10
si on tire le numéro 6.
1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω et donner l'ensemble X(Ω).
2°) On suppose que le dé est parfaitement équilibré.
Donner la loi de probabilité de X.
3°) On suppose que le dé est truqué et que les probabilités d'apparition des numéros 1, 2 , 3, 4 et 5 sont
toutes les cinq égales à 0,12.
Donner la loi de probabilité de X.
Exercice 06
(voir réponses et correction)
On considère une roue partagée en 15 secteurs
angulaires numérotés de 1 à 15. Ces secteurs sont de
différentes couleurs comme sur le dessin ci-contre.
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à faire
tourner la roue qui s'arrête sur l'un des 15 secteurs dont
on note le numéro.
L'ensemble des éventualités est :
Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 }
1°) Déterminer la probabilité des événements :
E : «le numéro est multiple de 5» ;
F : «le numéro n'est pas multiple de 5» ;
G : «le numéro est pair et inférieur à 11» ;
E∩G ; E∪G.
2°) A chaque éventualité, on associe la couleur du secteur
correspondant. On définit ainsi une variable
aléatoire C. Donner la loi de probabilité de C.
Définition
On considère un ensemble fini Ω muni d'une loi de probabilité p et X une variable aléatoire numérique.
On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ⋯ ; xn} .
On appelle espérance mathématique de X (ou moyenne) le nombre réel :
E(X) = x1.p(X=x1) + x2.p(X=x2) + ⋯ + xn.p(X=xn)
c'est-à-dire : E(X) =
i=n
∑
i=1
xi.p(X = xi) .
On appelle variance de X le nombre réel (positif) :
2
2
2
V(X) = (x1 - E(X)) .p(X=x1) + (x2 - E(X)) .p(X=x2) + ⋯ + (xn - E(X)) .p(X=xn)
c'est-à-dire V(X) =
i=n
∑ (xi - E(X))2.p(X = xi) .
On a aussi
V(X) =
i=1
i=n
∑
i=1
On appelle écart-type de X le nombre réel (positif) : σ(X) =
2
(xi) .p(X = xi) - E(X)
2
V(X) .
Remarque
L'espérance mathématique est une mesure de tendance centrale.
L'écart-type est une mesure de dispersion.
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Exercice 07
(voir réponses et correction)
On jette simultanément deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω et la loi de probabilité sur Ω.
2°) Quelle est la probabilité d'obtenir un double 6 ?
3°) Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est 4 ?
4°) On appelle S la somme des deux numéros obtenus.
Donner la loi de probabilité de S. Calculer l'espérance mathématique de S.
Exercice 08
(voir réponses et correction)
On tire au hasard et simultanément 4 cartes d'un jeu de 32.
Définir l'ensemble des éventualités Ω et la loi de probabilité sur Ω.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque tirage, associe le nombre d'as obtenus.
Déterminer X(Ω) et donner la loi de probabilité de X .
Conjecturer la valeur de l'espérance mathématique de X puis calculer cette espérance.
Exercice 09
(voir réponses et correction)
On jette une pièce de monnaie.
On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre 3 au tirage de pile et 5 au tirage de face.
1°) On suppose la pièce parfaitement équilibrée, déterminer alors l'espérance mathématique E(X) et l'écarttype σ(X) de la variable aléatoire X.
2°) La pièce n'est peut-être pas parfaitement équilibrée, on note p0 la probabilité d'obtenir face.
a) Déterminer en fonction de p0 l'espérance mathématique E(X) et l'écart-type σ(X) de la variable aléatoire
X.
b) Démontrer que l'on a 3 £ E(X) £ 5 .
c) Déterminer les valeurs de p0 pour lesquelles l'écart-type est maximum ou minimum.
A quelles situations cela correspond-t-il ?
III Probabilités conditionnelles
Exercice 10
(voir réponses et correction)
Un sac contient 10 jetons :
six jetons rouges numérotés 1, 1, 1, 2, 2, 4
quatre jetons verts numérotés 2, 2, 4, 4.
1°) On tire au hasard un jeton du sac.
a) Calculer les probabilités des événements suivants :
R : "tirer un jeton rouge"
;
V : "tirer un jeton vert"
1 : "tirer un jeton portant le numéro 1"
b) Calculer p(R∪1) ; p(R∩1)
2°) a) On tire au hasard un jeton, et on voit qu'il est vert
Quelle est alors la probabilité que ce jeton porte le numéro 1 ?
On note pV(1) la probabilité que le jeton porte le numéro 1 sachant que ce jeton est vert.
b) Déterminer pR(1) ; pR(2) ; pR(4) ; pV(2) ; pV(4)
c) Vérifier que pR(1) = p(1∩R)
p(R)
3°) Déterminer p2(R).
Vérifier que p2(R) = p(R∩2)
p(2)
Définition
Soit Ω un ensemble muni d'une loi de probabilité p et soit A un événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant que A est réalisé pA(B) = P(A∩B) .
p(A)
pA(B) est aussi parfois notée p(B / A).
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Propriété
(voir démonstration 02)
Soit Ω un ensemble muni d'une loi de probabilité p et soit A un événement de probabilité non nulle.
L'application qui à un événement B associe pA(B) est une loi de probabilité sur Ω.
Remarque


Pour la probabilité pA l'événement A est un événement impossible : la probabilité que A soir réalisé sachant
que A est réalisé est nulle.


P(A∩
A ) = p(∅) = 0 = 0 .
En effet on a : pA( A ) =
p(A)
p(A) p(A)
Exemple
On fait tourner une roue comportant 12 secteurs de même taille
numérotés de 1 à 12. Les secteurs portant un numéro pair sont de
couleur jaune, les secteurs portant un numéro multiple de trois et
impair sont de couleur verte et les autres secteurs sont rouges.
Si la roue s'arrête sur un secteur de couleur verte on tire un billet
de loterie dans une urne A. Dans les autres cas, on tire un billet de
loterie dans une urne B.
Dans l'urne A un billet sur 4 est gagnant alors que dans l'urne B
seulement un billet sur 20 est gagnant.
On s'intéresse à la probabilité d'obtenir un billet gagnant.
On peut représenter la situation par
l'arbre pondéré ci-contre :
Sachant que la roue comporte deux
secteurs verts et 10 secteurs qui ne
sont pas verts, la probabilité qu'elle
s'arrête sur un secteur vert et par
conséquent que le billet soit tiré
dans l'urne A est
p(A) = 2 = 1.
12 6
La probabilité que le billet soit tiré
dans l'urne B est alors :

p(B) = p( A ) = 5.
6
1
4
G
p(A∩G) = 1 x 1 = 1
6 4 24
P
p(A∩P) = 1 x 3 = 1
6 4 8
G
p(B∩G) = 5 x 1 = 1
6 20 24
P
p(B∩P) = 5 x 19 = 19
6 20 24
A
3
4
1
6
1
20
5
6
B
19
20
Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur vert donc que le billet est tiré dans l'urne A,
la probabilité qu'il soit gagnant est alors pA(G) = 1,
4

la probabilité qu'il soit perdant est donc pA(P) = pA( G ) = 1 - 1 = 3
4 4
Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur qui n'est pas vert et donc que le billet est tiré dans l'urne B,
la probabilité qu'il soit gagnant est alors pB(G) = 1 ,
20

la probabilité qu'il soit perdant est donc pB( G ) = 1 - 1 = 19.
20 20
On peut remarquer que sur chacune des branches de niveau 1 figurent les probabilités de A et de B, et sur
chacune des branches de niveau 2 figurent des probabilités conditionnelles (sachant que A est réalisé ou
sachant que B est réalisé).
On peut calculer dans chacun des quatre cas les probabilités des intersections en utilisant la définition des
probabilités conditionnelles.
La probabilité d'obtenir un billet gagnant est alors : p(G) = p(A∩G) + p(B∩G) = 1 + 1 = 1 .
24 24 12

19
22
11
1
=
=
. On a bien p(P) = p( G ).
Celle d'obtenir un billet perdant est : p(P) = p(A∩P) + p(B∩P) = +
8 24 24 12
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Exercice 11
(voir réponses et correction)
On considère le jeu suivant :
On jette un première fois une pièce de monnaie ;
si on obtient face, on gagne 4 euros et le jeu s'arrête ;
si on obtient pile, on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ;
on jette alors une deuxième fois la pièce ;
si on obtient face on gagne 2 euros et le jeu s'arrête ;
si on obtient pile on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ;
on jette alors une troisième et dernière fois la pièce ;
si on obtient face, on gagne 2 euros ;
si on obtient pile, on gagne 1 euro ;
Représenter le jeu par un arbre pondéré.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu 4 euros à la fin du jeu ?
Exercice 12
(voir réponses et correction)
On soumet, à la naissance, une population d'enfants à un test pour dépister la présence d'un caractère
génétique A.
La probabilité qu'un enfant ayant le caractère A ait un test positif est 0,99.
La probabilité qu'un enfant n'ayant pas le caractère A ait un test négatif est 0,98.
1°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur
1000 était porteur du caractère A. Représenter la situation par un arbre pondéré.
Déterminer la probabilité qu'un enfant pris au hasard dans la population étudiée ait un test positif.
Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A.
Donner une valeur approchée de ce résultat en pourcentage avec une décimale.
2°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur
100 était porteur du caractère A.
Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A.
Donner ce résultat en pourcentage avec une décimale.
3°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant avait
une probabilité p d'être porteur du caractère A.
Déterminer, en fonction de p, la probabilité V(p) qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère
A. (V(p) est la valeur prédictive du test). Représenter V(p) en fonction de p et commenter.
Définition
Étant donné un ensemble Ω muni d'une loi de probabilité p, on dit que deux événements A et B sont
indépendants lorsque p(A∩B) = p(A).p(B)
Propriété
(voir démonstration 03)
Si A et B sont des événements de probabilité non nulle, les propositions suivantes sont équivalentes :
• A et B sont indépendants
• pA(B) = p(B)
• pB(A) = p(A)
Remarque
Pour des événements de probabilité non nulle, dire que A et B sont indépendants revient à dire que le fait
que B soit réalisé n'a pas d'influence sur la probabilité de réalisation de A et inversement.
Exercice 13
(voir réponses et correction)
1°) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
On considère l'événement C : « tirer un cœur » et l'événement A : « tirer un as ».
Les événements A et C sont-ils indépendants ?
2°) On tire simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes.
a) On considère l'événement C' : « tirer deux cœurs » et l'événement A' : « tirer deux as ».
Les événements A' et C' sont-ils indépendants ?
b) On considère C" : « tirer un cœur et un seul » et A" : « tirer un as et un seul ».
Les événements A" et C" sont-ils indépendants ?
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Exercice 14
(voir réponses et correction)
On jette simultanément un dé bleu et un dé rouge.
Le dé bleu a des faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6
Le dé rouge a des faces numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
On appelle S la variable aléatoire qui à un lancer fait correspondre la somme des deux numéros tirés.
Donner la loi de probabilité de S.
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé bleu ait donné le numéro 2 ?
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé rouge ait donné le numéro 2 ?
Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que l'un des dés ait donné le numéro 2 ?
Démontrer que les événements S = 7 et « le dé bleu a donné le numéro 2 » sont indépendants.
Définition
Soient X et Y deux variables aléatoires sur Ω .
On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xk} et Y(Ω) = {y1 ; y2 ; ... ; yn} .
On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ... ; k} et
pour tout j ∈ {1 ; 2 ; ... ; n} les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants.
Propriété
(voir démonstration 04)
Soient X et Y deux variables aléatoires sur Ω .
On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xk} et Y(Ω) = {y1 ; y2 ; ... ; yn} .
X et Y sont indépendantes si et seulement si
pour tout i ∈ {1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j ∈ {1 ; 2 ; ... ; n}
p(X=xi et Y=yj) = p(X=xi) x p(Y=yj).
Remarque
Dire que deux variables aléatoires sont indépendantes revient à dire que la valeur de l'une n'influe pas sur les
probabilités de réalisation de l'autre.
Exemple
On jette deux fois de suite une pièce
de monnaie parfaitement équilibrée.
1
2
On appelle X le résultat du premier
jet et Y le résultat du deuxième.
On peut traduire la situation par
l'arbre pondéré ci-contre, dans
lequel on a considéré de façon
"naturelle" que la probabilité de
«Y=P» est égale à 1 et ceci quelque
2
soit le résultat du premier lancer.
p(P,P) = 1 x 1 = 1
2 2 4
F
p(P,F) = 1 x 1 = 1
2 2 4
P
p(F,P) = 1 x 1 = 1
2 2 4
F
p(F,F) = 1 x 1 = 1
2 2 4
P
1
2
1
2
1
2
1
2
Les variables aléatoires X et Y sont
indépendantes.
F
1
2
Exercice 15
P
(voir réponses et correction)
On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On jette successivement deux fois le dé et on note les numéros obtenus.
On appelle X la variable aléatoire égale au premier numéro obtenu.
On appelle Y la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros est un nombre premier ».
On appelle Z la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros augmentée de 4 est un nombre
premier ».
Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
Les variables aléatoires X et Z sont-elles indépendantes ?
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Exercice 16
(voir réponses et correction)
On tire au hasard deux cartes dans un jeu de 32 cartes.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de cœurs obtenus et Y la variable aléatoire qui prend la
valeur 1 si les deux cartes tirées sont consécutives ("As et roi" ou "roi et dame" ou ... ou "8 et 7") et qui prend
la valeur 0 si les deux cartes ne sont pas consécutives.
Les variables aléatoires X et Y sont elles indépendantes ?
Définition
Soit Ω un ensemble et soient E1 , E2, ... , En des parties de Ω.
On dit que E1 , E2, ... , En est une partition de Ω si les parties E1 , E2, ... , En sont deux à deux disjointes et si
leur réunion est égale à Ω.
Remarque
Lorsque E1 , E2, ... , En est une partition de Ω, tout élément de Ω appartient à une et à une seule des parties
E1 , E2, ... , En .
Exemple
Dans une classe C, on peut faire une partition en considérant les deux parties F et G :
F ensemble des filles de la classe et G ensemble des garçons de la classe.
(Les deux ensembles F et G sont disjoints et leur réunion est égale C).
On peut aussi faire une partition de C par les années de naissance, ou par l'initiale du nom etc...
Formule des probabilités totales
(voir démonstration 05)
Soit E1 , E2, ... , En une partition de Ω pour laquelle les événements E1 , E2, ... , En ne sont pas de probabilité
nulle.
Pour tout événement A, on a
p(A) = p(A∩E1) + p(A∩E2) + ... + p(A∩En)
c'est-à-dire
p(A) = pE (A) x p(E1) + pE (A) x p(E2) + ... + pE (A) x p(En)
1
Exercice 17
2
n
(voir réponses et correction)
Une étude a porté sur les véhicules d'un parc automobile.
On a constaté que :
• lorsqu'on choisit au hasard un véhicule du parc automobile la probabilité qu'il présente un défaut de
freinage est de 0,67 ;
• lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule présentant un défaut de freinage, la probabilité qu'il
présente aussi un défaut d'éclairage est de 0,48 ;
• lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule ne présentant pas de défaut de freinage, la
probabilité qu'il ne présente pas non plus de défaut d'éclairage est de 0,75.
1°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule choisi au hasard présente un défaut d'éclairage.
Traduire le résultat en terme de pourcentages.
2°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule choisi au hasard parmi les véhicules présentant un défaut
d'éclairage présente aussi un défaut de freinage. Traduire le résultat en terme de pourcentages.
Exercice 18
(voir réponses et correction)
Lors d'une journée "portes ouvertes" dans un commerce, on remet à chaque visiteur un ticket numéroté qui
permet de participer à une loterie. Lorsqu'un visiteur arrive 3 cas peuvent se présenter :
• le visiteur est reconnu comme client habituel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 0 ;
• le visiteur est reconnu comme client occasionnel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 1 ;
• le visiteur n'est pas reconnu et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 5 ;
La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 0 gagne un cadeau est de 0,5 ;
La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 1 gagne un cadeau est de 0,1 ;
La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 5 gagne un cadeau est de 0,01.
Parmi les visiteurs 15% sont reconnus comme clients habituels et 20% comme clients occasionnels.
On choisit un visiteur au hasard. Quelle est la probabilité pour qu'il gagne un cadeau ?
Un visiteur a gagné un cadeau. Quelle est la probabilité qu'il ait été reconnu comme client habituel ?
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