Exercice 6. (décomposition en éléments simples)

Université de Rouen
ESITech - 1ère année
2015-2016
Mathématiques 1, Fiche n3
Intégrales et primitives
Exercice 1. Calculer les primitives de la fonction donnée
(d) Calculer
R0
−1
f(x) dx.
Exercice 5. Déterminer a et b tels que, pour tout x ∈
1 2
x + 3x − 4, 1 − x2 , x(1 + 2x),
2
1
3x − 1
x−3
2x + ,
,
,
x
2x
x
√
√
1
x+ √
x x,
x
R \ {−1, 1},
on ait
a
b
4x − 5
=
+
.
x2 − 1
x+1 x−1
En déduire la valeur de l'intégrale
Exercice 2. Calculer les intégrales suivantes
Z5
Z4
x3 − 4x2 + x
I1 =
dx
x2
2
Z0
2
x − x − 2 dx
I2 =
−3
Z π/3
0
Z π/2
I4 =
0
3
Exercice 6. (décomposition en éléments simples)
Sur le même modèle que les deux exercices précédents calculer les primitives des fonctions suivantes
(1 − cos(3x)) dx
I3 =
x2 − x
,
x+1
(sin x + cos x) dx
Z π/2
I5 =
0
Zt
Z π/6
I1 =
0
Z π/2
I2 =
0
Z π/4
0
Z 7π/6
π/4
2x − 1
,
(x − 1)(x2 + 4)
2x + 1
.
(x − 2)(x + 1)2
Exercice 7. Calculer les intégrales
sin2 x dx
I6 = tan2 x dx
0
Zπ
I7 = (cos 2x + sin 2x)2 dx
I8 =
4x − 5
dx.
x2 − 1
I=
(cos 4x + 2 sin x cos x) dx
I3 =
0
sin 4x cos 2x dx
cos 3x sin 5x dx
sin4 x cos2 x dx
Exercice 3. On dénit la fonction f sur l'intervalle [0, π/2] Exercice 8. Calculer les intégrales
par
f(x) =
(a) Déterminer les deux
x ∈ [0, π/2] on ait
sin x
sin x + cos x
réels a et b tels
f(x) = b
Z1
I1 = 2
0
que pour tout
π/4
Z2
I3 =
0
x exp(x2 ) dx
dérivées de fonctions simples (intégrer de tête donc)
f(x) dx.
x4
√
,
3 + x5
exp(x)
,
exp(x) + 2
Exercice 4. Soit la fonction f dénie par
f(x) =
1 + tan2 x
dx
tan x
Exercice 9. Reconnaître les fonctions suivantes comme
(b) Pour α ∈ [0, π/4] calculer (en fonction de α) l'intégrale
α
Z π/3
I2 =
cos x − sin x
+a
cos x + sin x
Z π/2−α
(x − 1)(x2 − 2x + 2)3 dx
12x2 − 37x + 13
(5x − 2)(2x − 1)2
√
ln x
,
x
x2
x3 + 2
1
tan x,
,
x ln x
(a) Préciser l'ensemble de dénition de f
10. Soient a et b deux nombres réels non nuls.
(b) Déterminer les 3 réels a, b et c vériant pour tout x Exercice
Calculer
les
intégrales suivantes
dans l'ensemble de dénition de f
f(x) =
Z π/2
a
bx + c
+
.
5x − 2 (2x − 1)2
(c) En déduire une primitive de
∞, 2/5[.
f
sur l'intervalle
0
sin 2t
dt,
a2 cos2 t + b2 sin2 t
0
sin x
dx
1 − 3 cos x
I1 =
Z π/3
]−
I2 =
1
Exercice 11. (changement de variable ane)
Exercice 17. Calculer les intégrales suivantes
En eectuant le changement de variable adéquat calculer
les intégrales suivantes
Z1
I1 =
0
Z2
I2 =
0
I3 =
1
Z5
0
Exercice 12. (IPP)
0
√
x + 2 dx,
0
√
3 − x dx,
Z π/2
√
5 − x dx.
0
Z π/2
0
Calculer les primitives des fonctions données
x exp(−x),
x exp(2x),
x2 exp(x),
ln x,
, x3 3x ,
ln(x2 + 1),
(ln x)3 ,
Z π/2
0
16x cos4 x dx.
Exercice 14. Soient f et g deux fonctions dénies sur R
par
2
f(x) = sin x cos x,
sin 2x
(2 + cos(x))2
dx
dx
cos(x) − 2 sin(x) + 3
Pour f : [a; b]R→ R, continue, dont une primitive est F, on
a admis que ab f(x) dx était à la fois égal à F(b) − F(a) et
à la limite des sommes de Riemann. On va ici le prouver
dans un cas particulier. On suppose que f est dérivable, et
que sa dérivée est bornée sur [a; b] par un certain M, i.e.,
pour tout x ∈ [a; b], |f 0 (x)| 6 M. Soit alors n ∈ N non nul.
On introduit les nombres xk déni par
cos(ln x).
Exercice 13. Calculer l'intégrale
I=
5 + 4 cos(x)
Z π/4
dx
3 (x)
cos
0
Exercice 18. (Intégrale et somme de Riemann)
x cos2 x,
sin(ln x),
dx
Pour aller un peu plus loin...
x4 ln x,
x sin x,
x tan2 x,
dx
cos2 (x) + 3 sin2 (x)
Z 2π/3
√
x x + 1 dx,
Z3
I4 =
Z π/3
xk = a +
3
g(x) = sin x.
k
(b − a), k = 0, 1, · · · n.
n
(a) Déterminer une primitive F de f et une primitive G de [Noter que x0 = a et xn = b]. La somme de Riemann est
g.
dénie par
n−1
X
(b) Calculer l'intégrale
b−a
k=0
9x sin2 x cos xdx.
Exercice 15. Calculer les intégrales suivantes
I1 =
0
Z 2/3
I2 =
0
Z4
F(b) − F(a) =
ln(x2 − 2x + 4) dx,
.
n−1
X
(F(xk+1 ) − F(xk )) .
k=0
(b) En appliquant une formule de Taylor-Lagrange (cf.
che 2, exercice 22), montrer qu'il existe des nombres
ξk ∈]xk ; xk+1 [ (pour k = 0, 1, · · · n − 1 ) tels que :
ln(9x2 + 6x + 4) dx,
I3 = ln(2x2 + 5x − 3) dx,
1
Z −3
x+3
dx.
I4 =
arctan
x+5
−4
F(b) − F(a) = Sn +
n−1
X
k=0
Exercice 16. Calculer les primitives suivantes
Z
n
(a) Montrer que
0
Z1
f(xk )
Sn =
Z π/2
f 0 (ξk )
2
b−a
n
On note σn cette dernière somme.
(c) Montrer que
Z
dx
dx ,
√
√
2
2
4x + 4x + 1
x − 4x
Z
Z
d
x
dθ
√
√
,
,
2
x − 4x + 9
5 + 2θ − 4θ2
Z
Z
dϕ , √ dx
√
.
2 + ϕ − ϕ2
x2 + 2x + 3
|σn | 6
M(b − a)2
.
2n
(d) En déduire que limn→+∞ Sn existe et que
lim Sn = F(b) − F(a).
n→+∞
2
2
.