Exercice 1 (5 points) On considère la fonction f définie sur [ 0, +

TS
Exercice 1
Vendredi 20 avril 2007
Devoir surveillé n° 8
(5 points)
0
x
ln (x + 3)
f
'
(x)
–
On considère la fonction f définie sur [ 0, + ∞ [ par f (x) =
.
x+3
ln 3
f (x)
On admet que le tableau de variations de f est le suivant.
3
n
+
1
f (x) dx.
1° On définit la suite (Un)n ≥ 0 par son terme général Un = ⌠
⌡n
a) Justifier que, si n ≤ x ≤ n + 1, alors f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n).
b) Montrer, sans chercher à calculer Un, que pour tout entier naturel n, f (n + 1) ≤ Un ≤ f (n).
c) En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
2° Soit F la fonction définie sur [ 0, + ∞ [ par F (x) = [ ln (x + 3) ]2.
a) Justifier la dérivabilité de F sur [ 0, + ∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' (x).
n
b) On pose, pour tout entier naturel n, In = ⌠
⌡0 f (x) dx. Calculer In.
3° On pose, pour tout entier naturel n, Sn = U0 + U1 + … Un–1.
Calculer Sn. La suite (Sn) est-elle convergente ?
Exercice 2
+∞
0
(5 points)
1° Soit g la fonction définie sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [ par : g(x) =
a) Démontrer que pour tout réel x de ] 1 , + ∞ [ on a : g(x) =
1
x (x2 – 1)
1
1
1
+
–
2 (x + 1) 2 (x – 1) x
b) Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [.
2° Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [ par : f (x) =
2x
.
(x – 1)2
2
Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [ .
3
2x
3° En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : I = ⌠
 (x2 – 1)2 ln x dx .
⌡2
On donnera le résultat sous la forme p ln 2 + q ln 3 avec p et q rationnels.
Exercice 3 (3 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses,
une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose
150 romans policiers et 50 biographies.
40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur
choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1° La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
1
c)
.
a) 0,4
b) 0,75
150
2° Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
a) 0,3
b) 0,8
c) 0,4
3° La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
a) 1,15
b) 0,4
4° La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
a) 0,9
b) 0,7
c) 0,3
c)0,475
5° La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est :
4
12
a)
b)
c) 0,3
150
19
6° Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :
a) 1 – (0,25)20
b) 20 × 0,75
c) 0,75 × (0,25)20
Exercice 4
(7 points) :
A Clochemerle, la campagne électorale fait rage.
Deux listes A et B s'affrontent lors de joutes oratoires hebdomadaires.
Chaque semaine de campagne on « sonde » au hasard un électeur.
Les arguments des uns et des autres font qu'à l'issue de chaque semaine de campagne, 8 % des électeurs
favorables à la liste A et 7 % des électeurs favorables à la liste B changent d’avis.
Au début de la campagne 70 % des électeurs sont favorables à la liste A, les autres étant favorables à la liste B.
On définit les évènements suivants :
A0 l'événement : " l'électeur est favorable à la liste A au début de la campagne "
B0 l'événement : " l'électeur est favorable à la liste B au début de la campagne "
et pour n entier naturel non nul :
An l'événement : " l’électeur est favorable à la liste A à l’issue de la nième semaine de campagne "
Bn l'événement : " l’électeur est favorable à la liste B à l’issue de la nième semaine de campagne "
On note pn la probabilité de An et on admet que chaque électeur vote et ne se détermine que pour une des deux
listes.
1° Déterminer la probabilité qu'un électeur ait changé d’avis à l'issue de la première semaine.
2° a) Déterminer les probabilités des événements A1 et B1 .
b) Exprimer p(An +1 ∩ An ) et p ( An +1 ∩ Bn ) en fonction de pn .
c) En déduire que pour tout entier n, pn+1 = 0,85 pn + 0,07 .
7
3° a) Soit (Un) la suite de terme général Un = pn – .
15
Montrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
b) Exprimer pn en fonction de n
4° Combien de semaines doit durer la campagne, au minimum, pour que la liste B remporte les élections ?
Justifier votre réponse. hors barême
NB : Toute ressemblance avec des personnes existant ou ayant existé ne serait que pure coïncidence.
On considère la fonction f définie sur [ 0, + ∞ [ par f (x) =
ln (x + 3)
.
x+3
x
0
On admet que le tableau de variations de f est le suivant.
f ' (x)
Justification du tableau
ln 3
f (x)
x
ln (x + 3) est la composée de deux fonctions dérivables elle est donc
3
dérivable sur son ensemble de définition donc sur [ 0, + ∞ [ ⊂ ] – 3 , + ∞ [
x+
f est donc le quotient de deux fonctions dérivables sur [ 0, + ∞ [ et x
3 ne s'annule pas sur [ 0, + ∞ [ donc f est dérivable sur [ 0, + ∞ [
1
× (x + 3) – ln (x +3) × 1
 u(x) = ln (x + 3) et u '(x) = 1
x+3
1 – ln (x + 3)
x
+
3

=
donc f ' (x) =
2
(x + 3)
(x + 3)2
 v(x)= x + 3 et v '(x) = 1
Pour tout réel x de [ 0, + ∞ [
f ' (x) ≥ 0 ⇔ 1 – ln (x + 3) ≥ 0 ⇔ 1 ≥ ln (x + 3) ⇔ x + 3 ≤ e ⇔ x ≤ e – 3
e – 3 < 0 donc pour tout réel x de [ 0, + ∞ [ f ' (x) < 0. f est donc décroissante sur [ 0, + ∞ [
ln (x + 3)
ln X
On pose X = x + 3 on a : lim
= lim
= 0.
x+3
x→+∞
X→+∞ X
1° On définit la suite (Un)n ≥ 0 par son terme général Un = ⌡
⌠nn + 1 f (x) dx.
+
∞
–
0
a) Justifier que, si n ≤ x ≤ n + 1, alors f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n).
f est décroissante sur [ n, n + 1] donc si n ≤ x ≤ n + 1, alors f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n).
b) Montrer, sans chercher à calculer Un, que pour tout entier naturel n, f (n + 1) ≤ Un ≤ f (n).
Pour tout réel x de [ n, n + 1 ], f (n + 1) ≤ Un ≤ f (n).
On peut intégrer les inégalités sur [ n, n + 1 ]
n + 1 f (n + 1) dx ≤ ⌠ n + 1 f (x) dx ≤ ⌠ n + 1 f (n) dx
⌠
⌡:n
⌡:n
⌡:n
n + 1 f (x) dx ≤ [ f (n) x] n+1
donc [ f (n + 1) x] n+1
≤⌠
⌡:n
n
n
donc f (n + 1) × (n + 1 – n) ≤ Un ≤ f (n) × (n + 1 – n)
donc f (n + 1) ≤ Un ≤ f (n).
c) En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
lim f (n + 1) = lim f (n) = 0 donc d'après le théorème des gendarmes la suite (Un) est converge vers 0.
n → +∞
n → +∞
2° Soit F la fonction définie sur [ 0, + ∞ [ par F (x) = [ ln (x + 3) ]2.
a) Justifier la dérivabilité de F sur [ 0, + ∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' (x).
2
x
ln (x + 3) est dérivable sur [ 0, + ∞ [ et la fonction x
x est dérivable sur IR donc la fonction F est la
composée de deux fonction dérivable elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
1
F ' (x) = 2 ln (x + 3) ×
= 2 f (x)
x+3
n
b) On pose, pour tout entier naturel n, In = ⌠
⌡0 f (x) dx. Calculer In.
n
F (x)
[ln (n + 3) ]2 [ln (0 + 3) ]2 [ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
F
est une primitive f donc In = 
=
–
=

2
2
2
2
 2 0
4° On pose, pour tout entier naturel n, Sn = U0 + U1 + … Un–1. Calculer Sn. La suite (Sn) est-elle convergente ?
1
2
n
n
Sn = ⌠
⌡0 f (x) dx + ⌠
⌡1 f (x) dx + …. + ⌠
⌡n – 1 f (x) dx = ⌠
⌡0 f (x) dx = In =
[ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
2
[ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
= + ∞ donc la suite (Sn) diverge.
n → +∞
2
lim
1° Soit g la fonction définie sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [ par : g(x) : g(x) =
1
x (x2 – 1)
1
1
1
+
–
2 (x + 1) 2 (x – 1) x
1
1
1 x (x – 1) + x (x + 1) – 2 (x2 – 1) x2 – x + x2 + x – 2 x2 + 2
2
+
– =
=
=
= g(x)
2
2
2
2 (x + 1) 2 (x – 1) x
2 x (x – 1)
x (x – 1)
x (x – 1)
a) Démontrer que pour tout réel x de ] 1 , + ∞ [ on a : g(x) =
b) Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ] 1 ; + ∞ [.
G(x) = – ln x +
ln (x + 1) ln (x – 1)
+
2
2
2° Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞
∞[ par : f (x) =
u(x) = x2 – 1 et u '(x) = 2 x donc f (x) =
2x
. Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1; +∞
∞[ .
(x2 – 1)2
u '(x)
1
1
=– 2
2 et une primitive de f est donc F(x) = –
(u(x) )
u(x)
x –1
2x
3° En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : I = ⌠ 3
ln x dx.
⌡2 (x2 – 1)2
On donnera le résultat sous la forme p ln 2 + q ln 3 avec p et q rationnels.
 u(x) = ln x et u '(x) = 1x
3
3
2x
– ln x × 1  – ⌠ 3 1 × – 1  dx
⌠
:
ln
x
dx
=


 2

2

 (x2 – 1)2
2x
1
x – 1 2 

⌡2 x  x – 1
⌡2
v '(x) = 2
2 = f(x) et v(x) = F(x) = – 2

(x – 1)
x –1
= – ln 3 ×
3
1
1
3 g(x) dx = ln 2 – ln 3 + – ln x + ln (x + 1) + ln (x – 1)
+ ln 2 ×
+⌠


9–1
4 – 1 ⌡2
3
8
2
2

2
ln 2 ln 3
ln 4 ln 2
ln 3 ln 1 ln 2 2 ln 2 ln 2
ln 3
ln 3
–
– ln 3 +
+
+ ln 2 –
–
=
+
+
+ ln 2 –
– ln 3 –
3
8
2
2
2
2
3
2
2
8
2
13
2 ln 2 + 6 ln 2 + 3 ln 2 + 6 ln 2 ln 3 + 8 ln 3 + 4 ln 3 17
=
–
=
ln 2 –
ln 3
6
8
6
8
=
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est
exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie. Un lecteur d’une bibliothèque est
passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des
écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au
hasard parmi les 200 ouvrages.
0,4
Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et
150
50 biographies donc P(P) =
= 0,75
200
40% des écrivains de romans policiers sont français
donc PP(F) = 0,4
70% des écrivains de biographies sont français donc
PB(F) = 0,7
F
P
0,75

0,6
F
0,7
0,25
F
B

0,3
F
1° La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
P(P) =
150
= 0,75
200
a) 0,4
c)
b) 0,75
1
.
150
2° Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
PP(F) = 0,4
a) 0,3
b) 0,8
c) 0,4
3° La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est :
P(F ∩ P) = P(P) × PP(F) = 0,75 × 0,4 = 0,3
a) 1,15
b) 0,4
c) 0,3
4° La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
P(F) = P(P ∩ F) + P(B ∩ F) = 0,3 + 0,25 × 0,7 = 0,475
a) 0,9
b) 0,7
c)0,475
5° La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est :
PF(P) =
P(P ∩ F)
0,3
12
=
=
P(F)
0,475 19
a)
4
150
b)
12
19
6° Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :
c) 0,3
b) 20 × 0,75
c) 0,75 × (0,25)20
a) 1 – (0,25)20
Evénement contraire Il n'a choisi aucun roman policier c'est à dire qu'il a choisi 20 biographies : (0,25)20
P = 1 – (0,25)20
A Clochemerle, la campagne électorale fait rage :deux listes A et B s'affrontent lors de joutes oratoires hebdomadaires. Chaque
semaine de campagne on « sonde » au hasard un électeur. Les arguments des uns et des autres font qu'à l’issue de chaque
semaine de campagne, 8 % des électeurs favorables à la liste A et 7 % des électeurs favorables à la liste B changent d’avis. Au
début de la campagne 70 % des électeurs sont favorables à la liste A, les autres étant favorables à la liste B. On définit les
évènements suivants A0 l'événement : "l'électeur est favorable à la liste A au début de la campagne " B0 l'événement :
"l'électeur est favorable à la liste B au début de la campagne " et pour n entier naturel non nul : An l'événement : "l’électeur est
favorable à la liste A à l’issue de la nième semaine de campagne" Bn l'événement : "l’électeur est favorable à la liste B à l’issue
de la nième semaine de campagne" On note pn la probabilité de An et on admet que chaque électeur vote et ne se détermine que
pour une des deux listes.
1° Déterminer la probabilité qu'un électeur ait changé d'avis à l'issue de la première semaine.
A l’issue de chaque semaine de campagne, 8 % des électeurs favorables à la liste A et 7 % des électeurs
favorables à la liste B changent d’avis donc pA(B1) = 0,08 et pB(A1) = 0,07
Au début de la campagne 70 % des électeurs sont favorables à la liste A, les autres étant favorables à la liste B
donc p(A0) = 0,7 et p(B0) = 0,3
La probabilité qu'un électeur ait changé d'avis est égale à :
p(A0 1 B1) + p(B0 1 A1) = pA(B1) 1 p(A0) + pB(A1) 1 p(B0) = 0,08 1 0,7 + 0,07 1 0,3 = 0,077
2° a) Déterminer les probabilités des événements A1 et B1 .
0,92
A1
p(A1) = p(A0 ∩ A1) + p(B0 ∩ A1) = 0,7 × 0,92 + 0,3 × 0,07 = 0,665
A0
p(B1) = p(A0 ∩ B1) + p(B0 ∩ B1) = 0,7 × 0,08 + 0,3 × 0,93 = 0,335
0,7
0,08
B1
b) Exprimer p(An +1 ∩ An ) et p ( An +1 ∩ Bn ) en fonction de pn .
p(An +1 ∩ An ) = pAn(An+1) × p(An) = 0,92 pn
0,3
p ( An +1 ∩ Bn ) = pBn(An+1) × p(Bn) = 0,07 (1 – pn)
pn +1 = p(An +1 ∩ An ) + p ( An +1 ∩ Bn ) = 0,07 (1 – pn) + 0,92 pn
= 0,07 + pn (0,92 – 0,07) = 0,85 pn + 0,07.
7
3° a) Soit (Un) la suite de terme général Un = pn – . Montrer que la suite (Un)
15
est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
0,93
B1
0,92
An+1
pn
0,08
Bn+1
1 – pn
0,07
An+1
0,93
Bn+1
An
7
7
7
119
7
= 0,85 pn +
–
= 0,85 pn –
= 0,85 pn – 
15
100 15
300
15

La suite (Un) est donc géométrique de raison 0,85 de premier terme p0 –
A1
B0
c) En déduire que pour tout entier n, pn+1 = 0,85 pn + 0,07
Un+1 = pn+1 –
0,07
Bn
7
7
=
15 30
b) Exprimer pn en fonction de n puis en déduire la limite de pn. Peut-on pronostiquer la liste gagnante ?
7
7
7
× (0,85)n et donc pn =
× (0,85)n + .
30
30
15
On sait que | 0,85 | < 1 donc la suite (Un) est décroissante et la suite (pn)aussi.
7
lim pn =
≈ 0,47. Au bout d'un certain temps le vote de B devient majoritaire.
n → +∞
15
Un =
4° Combien de semaines doit durer la campagne, au minimum, pour que la liste B remporte les élections ? Justifier votre réponse.
Pour que la liste b gagne il faut et il suffit que pn < 0,5.
1
7
7 1
7
1 7
1 30
1
pn < ⇔ × (0,85)n +
< ⇔ × (0,85)n < –
⇔ (0,85)n < × ⇔ n ln (0,85) < ln  
2
30
15 2
30
2 15
30 7
 7
– ln 7
⇔n>
ln (0,85)
– ln 7
≈ 11,97.
ln (0,85)
La campagne doit durer 12 semaines, au minimum, pour que la liste B remporte les élections.