On considère la fonction f définie sur [ 0, + ∞
∞∞
∞ [ par f (x) = ln (x + 3)
x + 3 .
On admet que le tableau de variations de f est le suivant.
Justification du tableau
x ln (x + 3) est la composée de deux fonctions dérivables elle est donc
dérivable sur son ensemble de définition donc sur [ 0, + ∞ [ ⊂ ] – 3 , + ∞ [
f est donc le quotient de deux fonctions dérivables sur [ 0, + ∞ [ et x x +
3 ne s'annule pas sur [ 0, + ∞ [ donc f est dérivable sur [ 0, + ∞ [
x 0 +
∞
f ' (x) –
f (x) ln 3
3
0
u(x) = ln (x + 3) et u '(x) = 1
x + 3
v(x)= x + 3 et v '(x) = 1
donc f ' (x) =
1
x + 3 × (x + 3) – ln (x +3) × 1
(x + 3)2 = 1 – ln (x + 3)
(x + 3)2
Pour tout réel x de [ 0, + ∞ [
f ' (x) ≥ 0 ⇔ 1 – ln (x + 3) ≥ 0 ⇔ 1 ≥ ln (x + 3) ⇔ x + 3 ≤ e ⇔ x ≤ e – 3
e – 3 < 0 donc pour tout réel x de [ 0, + ∞ [ f ' (x) < 0. f est donc décroissante sur [ 0, + ∞ [
On pose X = x + 3 on a : lim
x → + ∞ ln (x + 3)
x + 3 = lim
X → + ∞ ln X
X = 0.
1° On définit la suite (Un)n ≥
≥≥
≥ 0 par son terme général Un =
⌡
⌠
n
n + 1 f (x) dx.
a) Justifier que, si n ≤
≤≤
≤ x ≤
≤≤
≤ n + 1, alors f (n + 1) ≤
≤≤
≤ f (x) ≤
≤≤
≤ f (n).
f est décroissante sur [ n, n + 1] donc si n ≤ x ≤ n + 1, alors f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n).
b) Montrer, sans chercher à calculer Un, que pour tout entier naturel n, f (n + 1) ≤
≤≤
≤ Un ≤
≤≤
≤ f (n).
Pour tout réel x de [ n, n + 1 ], f (n + 1) ≤
≤≤
≤ Un ≤
≤≤
≤ f (n).
On peut intégrer les inégalités sur [ n, n + 1 ]
⌡
⌠
:n
n + 1
f (n + 1) dx ≤ ⌡
⌠
:n
n + 1
f (x) dx ≤ ⌡
⌠
:n
n + 1
f (n) dx
donc [ f (n + 1) x]
n+1
n
≤ ⌡
⌠
:n
n + 1
f (x) dx ≤ [ f (n) x]
n+1
n
donc f (n + 1) × (n + 1 – n) ≤ Un ≤ f (n) × (n + 1 – n)
donc f (n + 1) ≤ Un ≤ f (n).
c) En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
lim
n → +∞
f (n + 1) =
lim
n → +∞
f (n) = 0 donc d'après le théorème des gendarmes la suite (Un) est converge vers 0.
2° Soit F la fonction définie sur [ 0, + ∞
∞∞
∞ [ par F (x) = [ ln (x + 3) ]2.
a) Justifier la dérivabilité de F sur [ 0, + ∞
∞∞
∞ [ et déterminer pour tout réel positif x le nombre F ' (x).
x ln (x + 3) est dérivable sur [ 0, + ∞ [ et la fonction x
x
2 est dérivable sur IR donc la fonction F est la
composée de deux fonction dérivable elle est donc dérivable sur son ensemble de définition.
F ' (x) = 2 ln (x + 3) × 1
x + 3 = 2 f (x)
b) On pose, pour tout entier naturel n, In =
⌡
⌠
0
n f (x) dx. Calculer In.
F
2 est une primitive f donc In =
F (x)
2
n
0
= [ln (n + 3) ]2
2 – [ln (0 + 3) ]2
2 = [ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
2
4° On pose, pour tout entier naturel n, Sn = U0 + U1 + … Un–1. Calculer Sn. La suite (Sn) est-elle convergente ?
Sn = ⌡
⌠
0
1
f (x) dx + ⌡
⌠
1
2
f (x) dx + …. + ⌡
⌠
n – 1
n
f (x) dx = ⌡
⌠
0
n
f (x) dx = In = [ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
2
lim
n → +∞
[ln (n + 3) ]2 – [ ln 3 ]2
2 = + ∞ donc la suite (Sn) diverge.
1° Soit g la fonction définie sur l’intervalle ] 1 ; + ∞
∞∞
∞ [ par : g(x) : g(x) = 1
x (x2 – 1)
a) Démontrer que pour tout réel x de ] 1 , + ∞ [ on a : g(x) = 1
2 (x + 1) + 1
2 (x – 1) – 1
x
1
2 (x + 1) + 1
2 (x – 1) – 1
x = x (x – 1) + x (x + 1) – 2 (
x
2 – 1)
2 x (
x
2 – 1) =
x
2 – x +
x
2 + x – 2
x
2 + 2
x (
x
2 – 1) = 2
x (
x
2 – 1) = g(x)
b) Trouver une primitive G de g sur l’intervalle ] 1 ; + ∞
∞∞
∞ [.
G(x) = – ln x + ln (x + 1)
2 + ln (x – 1)
2
2° Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1; +∞
∞∞
∞[ par : f (x) = 2 x
(x2 – 1)2. Trouver une primitive F de f sur l’intervalle ]1; +∞
∞∞
∞[ .
u(x) =
x
2 – 1 et u '(x) = 2 x donc f (x) = u '(x)
(u(x) )2 et une primitive de f est donc F(x) = – 1
u(x) = – 1
x
2 – 1