Exercice - Colegio Francia

6 février 2006
Contrôle C#5 (2 heures)
Probabilités
Exercice 1 (8 points)
Une boîte contient 8 cubes :
 1 gros rouge et 3 petits rouges
 2 gros verts et 1 petit vert
 1 petit jaune.
Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la boîte. (On admettra que la probabilité de tirer
un cube donné est indépendante de sa taille et de sa couleur).
Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
1. On note A l'événement : "Obtenir des cubes de couleurs différentes" ;
B l'événement : "Obtenir au plus un petit cube." ;
a. Calculer la probabilité de A
b. Vérifier que la probabilité de B est égale à
2
7
2. Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges tirés par l'enfant.
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer l'espérance mathématique de X.
3. L'enfant répète 5 fois l'épreuve "tirer simultanément 3 cubes de la boîte", en remettant dans la
boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage suivant. Les tirages sont indépendants.
On note p la probabilité que l'événement B soit réalisé.
a. Déterminer la probabilité que B soit réalisé au moins une fois à l'issue des 5 épreuves.
b. Déterminer la probabilité que l'événement B soit réalisé exactement 3 fois.
Exercice 2. (8 points)
Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.
On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton, puis on remet le jeton tiré
dans l'urne.
On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne, et on note b le numéro du jeton tiré.
On note G l'événement : "La partie est gagnée", lorsque la somme des numéros a et b est égale à 5.
1. Montrer que la probabilité de gagner est égale à
1
4
.
2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques
décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans
la question 1.
Si A gagne et B perd, A est déclaré vainqueur, et le jeu s'arrête, si A perd et B gagne, B est déclaré
vainqueur, et le jeu s'arrête, dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le
jeu continue.
Pour tout entier n, on désigne les événements suivants :
An : "A gagne la nième partie".
Bn : "B gagne la nième partie".
Cn : "Le jeu continue après la nième partie."
a. Calculer les probabilités p(A1), p(B1), et p(C1).
b. Exprimer p(Cn+1) en fontion de p(Cn) et montrer que
5
() 8
n
n
pC 
.
c. Exprimer p(An+1) en fonction de p(Cn) et en déduire que
1
35
()16 8
n
n
pA 
d. Déterminer la limite de p(An) quand n tend vers +.
e. Déterminer le plus petit entier n tel que p(An) soit inférieur ou égal à 0,01.

Exercice 3. (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions, chacune comporte trois
réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse
choisie. (On notera, par exemple : Question 1, Réponse a. : 0,4)
Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui
propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains biographiques sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
a. 0,4 b. 0,75 c.
1
150
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :
a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4
3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3
4. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est :
a.
4
150
b.
12
19
c. 0,3