PROBABILITES ET STATISTIQUES 1) Loi Binomiale (rappels)

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Lycée Bernard Palissy Année 2012-2013
Terminale STI2D2 Mr FOUTEL
PROBABILITES ET STATISTIQUES
1) Loi Binomiale (rappels)
a) Exemple : En France, la probabilité de la naissance d’un garçon est de p=0,515. Pour une
famille de 3 enfants on note X le nombre de garçons. X est une VARIABLE ALÉATOIRE.
A l’aide de l’arbre, déterminer la probabilité qu’une famille de 3 enfants ait 3 garçons :
P(X=3)=
A l’aide de l’arbre, déterminer la probabilité qu’une famille de 3 enfants ait exactement 2
garçons :
P(X=2)=
Déterminer la LOI DE PROBABILITÉ de X. Autrement dit, compléter le tableau suivant :
k
0
1
2
3
P(X=k)

2
b) Définition et résultat : On considère un schéma de Bernoulli formé de n répétitions
(indépendantes) d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p. On note X la variable aléatoire qui
compte le nombre de succès à l’issue des n épreuves. On dit que X suit la LOI BINOMIALE DE
PARAMÈTRES n et p. On le note
X B(n; p)
.
On fait un arbre pour n=3 ou S représente le succès et E l’échec.
Déterminer, en fonction de p, la loi de probabilité de X.
k
0
1
2
3
P(X=k)
La généralisation du résultat n’est pas simple.
S’il y a n répétions alors la probabilité qu’il ait k succès est :
nk
k
n
P(X k) p 1 p
k
où le nombre
n
k
se calcule à la machine à l’aide de la touche nCr ou
combinaison dans option PROBA.
c) Exemples : Calculer à l’aide de votre machine :
7
2
=
5
4
=
25
12
=
3
0
=

3
d) Exemple : On jette cinq fois un dé. On considère la variable aléatoire X=» le nombre de 6
obtenue à l’issue des cinq lancers ».
Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres (cette phrase est à apprendre par
cœur pour le bac).
Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux 6 à l’issue des cinq lancers?
P X 2
Calculer, à la machine, la loi de probabilité de X (on donnera les valeurs à 0,001 près).
En déduire la probabilité d’avoir au moins un 6 à l’issue des cinq
lancers.
P X 1
Question : Combien de 6 peut-on espérer obtenir à l’issue de 600 lancers de dé ?
e) Définition et résultats : Lorsque l’on répète n fois (de façon indépendante) une même épreuve de
Bernoulli de probabilité de succès p, on a en moyenne
pn
succès.
Si X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès à l’issue des n répétitions on dit que
l’ESPÉRANCE DE X est
pn
et on le note E(X).
Autrement dit : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p alors
E(X)=np.
On admettra que l’écart-type de x est
X np 1 p  
.
Si
X B(n; p)
alors
nk
k
n
P(X k) p 1 p
k
,
E(X)=np et
X np 1 p  
f) Exemple : On jette cinq fois un dé. On considère la variable aléatoire X=» le nombre de 6
obtenue à l’issue des cinq lancers ». Déterminer E(X) et
X
.
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)

4
2-1 0 1
1
x
y
2) Loi uniforme
a) Introduction : On va tirer au hasard un nombre réel X entre 0 et 1. Pour cela on met dans une
urne dix boules numérotées de 0 à 9, puis on fait une infinité de tirage successif d’une boule avec remise.
Par exemple : si les premiers tirages sont 5-3-5-9-0-1 alors le début du nombre tiré est 0,535901…
Un tel tirage permet (en théorie) de tirer au hasard un nombre réel de l’intervalle [0 ; 1] (rappel :
0,99999…=1)
En supposant qu’un tirage soit réalisable jusqu’au bout, quelle est intuitivement la probabilité
que le réel tiré soit le 0,3333333… ?
P(X=O,3333333…)=…
Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit le O,5 ?
P(X=O,5)=…
Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre 0 et 0,5 ?
P(
0 X 0,5)
=…
Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre 0,3 et 0,4 ?
P(
0,3 X 0,4)
=…
P X 0; 0, 7
=…
Prenons deux réels
1
x
et
2
x
(
12
xx
) entre 0 et 1.
Quelle est intuitivement la probabilité que le réel tiré soit compris entre
1
x
et
2
x
?
12
P x X x
=…
b) Remarques : Dessiner le graphe de la fonction f définie par :
f(x) 0 pour x ;0 1;
f(x) 1 pour x 0;1
Pour tout réel
1
x
et
2
x
de
a;b
avec
12
xx
la probabilité
12
P x X x
est égale à l’aire
comprise entre le graphe de f , l’axe des
abscisses et les droites d’équation
x=
1
x
et x=
2
x
.
Ce que l’on peut écrire :
12
P x X x
=
2
1
x
x1 dx
.

5
c) Définition :
i) Si une variable aléatoire X peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle I, on dit que X
est une VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE sur I.
ii) Une variable aléatoire X suit la LOI UNIFORME SUR
0;1
si, et seulement si, pour
tout réel
1
x
et
2
x
de
0;1
avec
12
xx
on a
12
P x X x
=
2
1
x
x1 dx
.
iii) La fonction f s’appelle la DENSITÉ DE PROBABILITÉ de la loi uniforme sur
0;1
d) Remarques: Puisque P(X=
1
x
)=0 et que P(X=
2
x
)=0 on peut dire que :
1 2 1 2 1 2 1 2
P(x X x ) P(x X x ) P(x X x ) P(x X x )          
Autrement dit : Dans la suite, lorsque les variables aléatoires seront continues, on pourra
remplacer les inégalités au sens large, comme , par des inégalités au sens strict, comme < , sans
changer la valeur des probabilités.
e) Loi uniforme sur un intervalle
2; 7
Généralisons la loi uniforme sur l’intervalle
2; 7
. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi
uniforme sur l’intervalle
2; 7
. La densité de probabilité de X est une fonction constante
f x c
sur
2; 7
. On a P(
2 X 7)
=1 donc l’aire « sous la fonction constante » vaut 1.
Autrement dit :
7 2 c 1  
donc
11
c7 2 5
.
Pour tout réel
1
x
et
2
x
de
2; 7
avec
12
xx
on a
12
P x X x
=
2
1
x
x
1dx
5
.
Déterminer
P(2 X 3)
=
P(3 X 7)
=
P(2, 9 X 3,4)
=
f) Définition et résultat : Une variable aléatoire X suit la LOI UNIFORME SUR
a;b
si, et
seulement si, pour tout réel
1
x
et
2
x
de
a;b
avec
12
xx
on a
2
1
x
12
x
1
P x X x dx
ba
.