calculs de primitives et d`intégrales (je sais faire)

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
CALCULS DE PRIMITIVES ET D’INTÉGRALES
(JE SAIS FAIRE)
Je sais qu’on ne dit pas « LA primitive » mais « une primitive ».
Je sais donner instantanément les primitives des fonctions : x7−→ ex,x7−→ ln x,x7−→ 1
x,x7−→ xαavec
α6=−1, x7−→ sin x,x7−→ cos x,x7−→ tan x,x7−→ sh x,x7−→ ch x,x7−→ th x,x7−→ 1
1+x2et
x7−→ 1
p1−x2.
Je sais que la primitivation est un problème difficile en général — on peut savoir primitiver fet gsans savoir
primitiver f g,f
get g◦f.
1Calculer une primitive des fonctions : x7−→ sin(3x+2),x7−→ cos px
px,x7−→ 1
tan xet x7−→ ex ex+1.
Je sais calculer les primitives des fonctions x7−→ 1
ax2+bx +cpour lesquelles : b2−4ac <0.
2Calculer une primitive des fonctions : x7−→ 1
x2+4et x7−→ 1 x2+x+1.
Je sais calculer les primitives des fonctions x7−→ ea x cos(bx)et x7−→ eax sin(bx).
3Calculer une primitive de la fonction : x7−→ e2xsin(5x).
Je sais calculer les primitives des fonctions du genre : x7−→ sin4x,x7−→ sin3xcos5x,x7−→ sin2xcos(2x)...
4Calculer une primitive de la fonction : x7−→ sin4xcos2x.
Je sais calculer les primitives d’une fraction rationnelle.
5Calculer une primitive de la fonction : x7−→ x
x2+1(x−1).
Je sais énoncer les deux formes du théorème fondamental du calcul intégral.
1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
6Dériver les fonctions : xf
7−→ Zx
0
et
t+1dt,xg
7−→ Zex
0
sin ptdtet xh
7−→ Z2x
x
et
tdt.
Je sais utiliser la notation « Zf(x)dx» sans bornes.
Je sais définir la notion de fonction de classe C1.
Je sais effectuer rapidement une intégration par parties, y compris pour des intégrales sans bornes.
7Calculer une primitive des fonctions : x7−→ xln xet x7−→ x2Arctan x.
Je sais énoncer la formule de changement de variable et la mettre en œuvre rapidement, y compris pour des intégrales
sans bornes.
8Effectuer sucessivement dans l’intégrale : Z2
1
sin t
t2+t+1dtles changements de variable suivants : x=t2, puis :
u=ln x.
2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1CORRECTION DES EXERCICES
1Zsin(3x+2) = −cos(3x+2)
3,Zcos px
px=2 sin px,Z1
tan x=ln |sin x|et Zex ex+1=ln ex+1.
————————————–
2Z1
x2+4=1 2Arctan x 2et Z1 x2+x+1=2
p3Arctan 2x+1 p3.
————————————–
3Ze2xsin(5x) = e2x
29 2 cos(5x) + 5 sin(5x).
————————————–
4Zsin4xcos2x=x
16 −sin(2x) 64 −sin(4x) 64 +sin(6x) 192 .
————————————–
5Après calcul de la décomposition en éléments simples : X
X2+1(X−1)=0+X−1
2X2+4+1
2(X−1).
Par conséquent : Zx
x2+1(x−1)=ln x2+4
4−x 4Arctan x 2+ln |x−1| 2.
————————————–
6Pour tout x∈]−1, +∞[:f′(x) = ex
x+1.
Pour tout x∈R:g′(x) = ex×sin pex=exsin e x
2.
Pour tout x∈R∗:h′(x) = 2×e2x
2x−ex x=exex−1 x.
————————————–
7Zxln x=x2
2ln x−x2 4et Zx2Arctan x=x3 3Arctan x−x2 6+1 6ln x2+1.
————————————–
8Z2
1
sin t
t2+t+1dtx=t2
=Z4
1
sin px
x+px+1×dx 2px
u=ln x
=Z2 ln 2
0
sin e u
2
eu+eu
2+1×1
2e u
2×eudu=1
2Z2 ln 2
0
eu
2sin e u 2
eu+eu
2+1
du.
————————————–
3