APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1. Dérivée et sens de variation

1ère S Applications de la dérivation – Collège de Juilly – H. Kerneïs
APPLICATIONS DE LA DERIVATION
1. Dérivée et sens de variation
1.1. Exemples graphiques
On considère la représentation graphique d’une fonction f et de trois de ses tangentes
sur un intervalle I, dans les deux cas de figure suivants :
Toutes les tangentes ont un coefficient directeur positif ; autrement dit, tous les
nombres dérivés sont positifs ; la courbe ne peut être que croissante.
Toutes les tangentes ont un coefficient directeur négatif ; autrement dit, tous les
nombres dérivés sont négatifs ; la courbe ne peut être que décroissante.
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1.2. Théorèmes fondamentaux
On suppose que f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Théorème 1 :
i. Si f est croissante sur I, alors pour tout x de I, f '(x ) 0 .
ii. Si f est décroissante sur I, alors pour tout x de I, f '(x ) 0 .
iii. Si f est constante sur I, alors pour tout x de I, f '(x ) = 0 .
Preuve :
i. Soit x I et h * tel que x + h I . f est croissante sur I
donc, par définition, x + h > x implique f(x + h) > f(x). On en
f (x + h) f (x )
déduit que le rapport
est toujours positif et
h
que sa limite en 0 est necessairement positive. Or f est dérivable
f (x + h) f (x )
= f '(x ) ; on a donc f '(x ) 0 .
en x donc lim
h0
h
ii. et iii. raisonnement identique…
Théorème 2 :
i. Si pour tout x de I, f '(x ) 0 , alors f est croissante sur I.
ii. Si pour tout x de I, f '(x ) 0 , alors f est décroissante sur I.
iii. Si pour tout x de I, f '(x ) = 0 , alors f est constante sur I.
Preuve : admis…
Remarque : si f '(x ) > 0 alors on parle d’une fonction f strictement croissante.
Exemple : Si f (x ) = x 2 alors f '(x ) = 2x . Or 2x > 0 si x > 0 , et
2x < 0 si x < 0 . Donc f est strictement croissante sur l’intervalle
0; + et strictement décroissante sur l’intervalle ; 0 .
2. Applications des fonctions dérivées
2.1. Détermination des variations d’une fonction
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. L’étude du signe de la dérivée de f
permet, à l’aide du théorème 2, d’obtenir les variations de f.
Exemple : Etude des variations de la fonction définie sur par :
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f (x ) = x 3 + x 2 2x + 5 .
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Remarque : Pour étudier le sens de variation d’une fonction, il n’est pas toujours utile
de dériver ; ne pas oublier : la définition, les compositions de fonctions et les sommes
de fonctions.
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2.2. Détermination des extremums locaux d’une fonction
Une fonction f présente un extremum local en x0 s’il existe un intervalle I contenant x0
tel que f présente en x0 un extremum sur I.
Théorème 3 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si f admet un extremum local en x0 de I alors f '(x 0 ) = 0 .
Remarque : Attention, la réciproque de ce théorème est fausse comme le
montre l’exemple de la fonction x x 3 qui est dérivable sur et dont la
dérivée s’annule en 0 sans qu’elle admette un extremum en 0 !
Exemple : Dans l’exemple précédent, la fonction f admet :
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; en effet : f (1) =
et pour
• un minimum local en 1 qui vaut
6
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tout x de 2; + f ( x ) .
6
25
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; en effet : f ( 2 ) =
et pour
• un maximum local en – 2 qui vaut
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tout x de ;1 f ( x ) .
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On peut remarquer que, dans ces deux cas, la dérivée s’annule et change de signe…
Théorème 4 :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I.
Si la dérivée de f s’annule en x0 en changeant de signe, alors la fonction admet
un extremum local sur I en x0.
Preuve : à l’aide des deux cas de figure possibles représentés
dans deux tableaux de variation…
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