dérivées et intégrales

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dérivées et intégrales
rappel sur les dérivées et les intégrales
1. Dérivée d’une fonction
1.1. Défintion
La fonction F(x) est dérivable en x0 si la limite lorsque x tend vers x0 du quotient
On note
F( x ) − F( x o )
existe et est finie.
x − xo
dF( x )
= F' ( x ) la dérivée de la fonction F(x) par rapport à x.
dx
1.2. Opérations sur les dérivées
d(F( x ) + G( x )) dF( x ) dG( x )
=
+
= F' ( x ) + G' ( x )
dx
dx
dx
somme des 2 fonctions :
produit de 2 fonctions :
dG( x )
dF( x )
d(F( x ) × G( x ))
= G( x )
+ F( x )
= F' ( x ) × G( x ) + F( x ) × G' ( x )
dx
dx
dx
d(F( x ) / G( x ))
quotient de 2 fonctions :
=
dx
(G( x )
dF( x )
dG( x )
)
− F( x )
F' ( x ) × G( x ) − F( x ) × G' ( x
dx
dx
=
G( x )2
G( x )2
1.3. Dérivées des fonctions usuelles
fonctions puissance
fonctions inverse et racine
fonction trigonométrique
fonction
dérivée
fonction
dérivée
fonction
x
1
1
x
−
1
x2
cosx
-sinx
x2
2x
1
x2
−
2
x3
sinx
cosx
x
1
1
tanx
2 x
x
1
2x 3 / 2
1
cos2 x
nxn-1
1
xn
xn
fonction exponentielle
dérivée
−
−
n
x
n +1
fonction logarithmique
fonction
dérivée
fonction
dérivée
ex
ex
ln(x)
1
x
e-x
-e-x
log(x)
1
2,3x
1.4. Les méthodes pour dériver
On veut par exemple dériver la fonction ln(ax 2 + b) par rapport à x. En posant u = ax 2 + b , on peut écrire que :
d(ln(ax 2 + b)) d ln(u) du
=
×
dx
du
dx
, on calcule facilement
généralisation de la méthode
:
d ln(u) 1
=
d(u)
u
et
du
= 2ax
dx
d’où
d(ln(ax 2 + b))
2ax
= 2
dx
ax + b
d[F(G( x )] d[F(G( x )] d(G( x ))
d(G( x ))
=
×
= F' (G( x )) ×
dx
d(G( x )
dx
dx
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2. Intégrale d’une fonction
2.1. Définition
b
L’intégration d’une fonction F(x) entre 2 bornes a et b, notée ∫ F( x )dx consiste à rechercher sa primitive.
a
Soit F(x) une fonction continue sur l’intervalle I, alors F admet une primitive P sur I tel que : ∀x ∈ I , F' ( x ) =
dF( x )
= P( x )
dx
b
L’intégrale s’écrit alors ∫ F( x )dx = [P( x )]ba = P(b) − P(a)
a
2.2. Primitive des fonctions usuelles
fonctions puissance et racine
fonctions inverse et racine
fonction trigonométrique
fonction
primitive
fonction
primitive
fonction
primitive
a
ax + cste
1
x
ln(x) + cste
cos(ax)
1
sin(ax)
a
ax
a 2
x + cste
2
1
x2
−
1
+ cste
x
sin(ax)
x
2 3/2
x
3
1
axn (n ≠ -1)
a n+1
x + cste
n +1
1
( n ≠ 1)
xn
1
cos(ax)
a
− ln(cos x)
tan(x)
− 2 x + cste
x
-
1
1
+ cste
1 − n xn−1
fonction exponentielle
fonction
primitive
ex
ex
e-x
cste est appelée la constante d’intégration
-e-x
2.3. Intégration par partie
Cette technique utilise le résultat de la dérivée d’un produit de 2 fonctions : [F( x ) × G( x )]' = F' ( x ) × G( x ) + F( x ) × G' ( x )
On peut alors écrire que :
b
b
∫ F' ( x ) × G( x )dx =[F( x ) × G( x )]a − ∫ F( x ) × G' ( x )dx
b
a
a
b
exemple : calcul de ∫ x 2 e x dx
a
on pose: F' ( x ) = e x ⇔ F( x ) = e x et G( x ) = x 2
b
[
]
b
b
[
] [
b
]
b
b

a

[
] [ ] = [e
b
2 x
x 2
x
x 2
x
x
x
2
x
∫ x e dx = e x a − ∫ 2x e dx = e x a −  2x e a − ∫ 2 e dx  = e ( x − 2x ) a + 2e
a
a

b
a
x
]
b
( x 2 − 2 x + 2) a
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TESTEZ-VOUS !
x2
− 3x + 2
2
cos2 x
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x +1
x2 − 2
sin(3 x + 4)
4 x(1 − 2x )e2 x
réponse
4 1
+
x x2
Trouver les primitives des fonctions suivantes : sin(2x ) cos(2x )
2+ x−
2x − 1
En intégrant par partie, trouver la primitive de la fonction : sin x e x
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REPONSES
d
dx

 x2

− 3x + 2  = x − 3

 2


d(cos2 x )
= −2 cos x sin x
dx
Dérivées :
d  x + 1 
=
dx  x 2 − 2 
1 ( x + 1)
2 x2 − 2
=
x2 − 2
x2 − 2 −
1
2
x −2
−
1 ( x + 1)
2 x2 − 2 3 / 2
(
)
(
)
d
( 4 x(1 − 2x )e2 x ) = −8 x e2 x + 4(1 − 2x )e2 x + 2( 4 x(1 − 2x )e2 x ) = 4 − 8 x − 16 x 2 e2 x
dx
1
1 2
x − 4 ln( x ) − + cste
x
2
1
1
2
sin( 2x ) cos( 2x ) ⇒
cos x + cste ou
sin2 x + cste
2
2
1
⇒ (2x − 1)3 / 2 + cste
2x − 1
3
2+x−
primitives :
4 1
+
x x2
⇒ 2x +
sin x e x
: on
pose F' ( x ) = e x ⇒ F( x ) = e x
[
]
[
] [
G( x ) = sin x
x
x
x
∫ sin x e dx = sin x e − ∫ cos x e dx
intégration par partie
]

x
x
x
x
x
∫ sin x e dx = sin x e −  cos x e + ∫ sin x e dx  en posant F' ( x ) = e et G( x ) = cos x
x
[

2∫ sin x e dx = (sin x − cos x ) e
la primitive de sin x e x
x
]

est (sin x − cos x ) e x + cste