dérivées et intégrales

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rappel sur les dérivées et les intégrales
1. Dérivée d’une fonction
1.1. Défintion
La fonction F(x) est dérivable en x0 si la limite lorsque x tend vers x0 du quotient
o
o
xx
)x(F)x(F
−
−
existe et est finie.
On note )x('F
dx
)x(dF = la dérivée de la fonction F(x) par rapport à x.
1.2. Opérations sur les dérivées
somme des 2 fonctions :
(
)
)x('G)x('F
dx
)x(dG
dx
)x(dF
dx
)x(G)x(Fd +=+= +
produit de 2 fonctions :
(
)
)x('G)x(F)x(G)x('F
dx
)x(dG
)x(F
dx
)x(dF
)x(G
dx
)x(G)x(Fd ×+×=+= ×
quotient de 2 fonctions :
()
22
)x(G
x('G)x(F)x(G)x('F
)x(G
)
dx
)x(dG
)x(F
dx
)x(dF
)x(G(
dx
)x(G/)x(Fd ×−×
=
−
=
1.3. Dérivées des fonctions usuelles
fonctions puissance fonctions inverse et racine fonction trigonométrique
fonction dérivée fonction dérivée fonction dérivée
x 1
x
1
2
x
1
−
cosx -sinx
x2 2x
2
x
1
3
x
2
−
sinx cosx
x
x2
1
x
1
2/3
x2
1
−
tanx
xcos
1
2
xn nxn-1
n
x
1
1n
x
n
+
−
fonction exponentielle fonction logarithmique
fonction dérivée fonction dérivée
ex ex ln(x)
x
1
e-x -e-x log(x)
x3,2
1
1.4. Les méthodes pour dériver
On veut par exemple dériver la fonction par rapport à x. En posant u = , on peut écrire que : )baxln(
2
+ bax
2
+
dx
du
du
)uln(d
dx
))bax(ln(d
2
×=
+
, on calcule facilement u
1
)u(d
)uln(d = et ax2
dx
du = d’où bax
ax2
dx
))bax(ln(d
2
2
+
=
+
généralisation de la méthode :
[]
[
]
dx
))x(G(d
))x(G('F
dx
))x(G(d
)x(G(d
)x(G(Fd
dx
)x(G(Fd ×=×=

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2. Intégrale d’une fonction
2.1. Définition
L’intégration d’une fonction F(x) entre 2 bornes a et b, notée consiste à rechercher
∫
b
a
dx)x(F sa primitive.
Soit F(x) une fonction continue sur l’intervalle I, alors F admet une primitive P sur I tel que : )x(P
dx
)x(dF
)x('F,Ix ==∈∀
L’intégrale s’écrit alors
[]
)a(P)b(P)x(Pdx)x(F
b
a
b
a
−==
∫
2.2. Primitive des fonctions usuelles
fonctions puissance et racine fonctions inverse et racine fonction trigonométrique
fonction primitive fonction primitive fonction primitive
a ax + cste
x
1
cste)xln(
+
cos(ax)
a
1
sin(ax)
ax
cstex
2
a
2
+
2
x
1
cste
x
1
+−
sin(ax) -
a
1
cos(ax)
x
2/3
x
3
2
x
1
cstex2 +−
tan(x)
)xln(cos
−
axn (n ≠ -1)
cstex
1n
a
1n
+
+
+
n
x
1
( n ≠ 1)
cste
x
1
n1
1
1n
+
−
−
fonction exponentielle
fonction primitive
ex ex
e-x -e-x
cste est a
pp
elée la constante d’inté
g
ration
2.3. Intégration par partie
Cette technique utilise le résultat de la dérivée d’un produit de 2 fonctions :
[
]
)x('G)x(F)x(G)x('F')x(G)x(F ×+×=×
On peut alors écrire que :
[]
∫∫ ×−×=×
b
a
b
a
b
a
dx)x('G)x(F)x(G)x(Fdx)x(G)x('F
exemple : calcul de
dxex
x
b
a
2
∫
on pose: et
xx
e)x(Fe)x('F =⇔=
2
x)x(G =
[] []
[
]
[
]
[
][ ]
b
a
2x
b
a
x
b
a
2xx
b
a
b
a
x
b
a
2xx
b
a
b
a
2xx
b
a
2
)2x2x(ee2)x2x(edxe2ex2xedxex2xedxex +−=+−=
−−=−=
∫∫∫

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TESTEZ-VOUS !
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
x2
2
2
2
e)x21(x4
)4x3sin(
2x
1x
xcos
2x3
2
x
−
+
−
+
+−
réponse
Trouver les primitives des fonctions suivantes :
1x2
)x2cos()x2
x
1
x
4
x2
2
−
+−+
sin(
En intégrant par partie, trouver la primitive de la fonction :
sin
x
ex

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REPONSES
Dérivées :
()
()
x22x2x2x2x2
2/3
2
2
2
2
2
2
2
2
ex16x84)e)x21(x4(2e)x21(4ex8)e)x21(x4(
dx
d
2x
)1x(
2
1
2x
1
2x
2x
)1x(
2
1
2x
2x
1x
dx
d
xsinxcos2
dx
)x(cosd
3x2x3
2
x
dx
d
−−=−+−+−=−
−
+
−
−
=
−
−
+
−−
=
−
+
−=
−=
+−
primitives :
cste)1x2(
3
1
1x2
cstexsin
2
1
oucstexcos
2
1
)x2cos()x2sin(
cste
x
1
)xln(4x
2
1
x2
x
1
x
4
x2
2/3
22
2
2
+−⇒−
++⇒
+−−+⇒+−+
intégration par partie
[]
[][ ]
[]
cstee)xcosx(sinestexsindeprimitivela
e)xcosx(sindxexsin2
xcos)x(Gete)x('Fposantendxexsinexcosexsindxexsin
dxexcosexsindxexsin
xsin)x(Ge)x(Fe)x('Fposeon:exsin
xx
xx
xxxxx
xxx
xxx
+−
−=
==
+−=
−=
==⇒=
∫
∫∫
∫∫