Rédaction de quelques points de cours en calcul formel - IMJ-PRG

CALCUL FORMEL POUR
L’AGRÉGATION
Cours à l’Université de Rennes 1 (2008–2009)
Antoine Chambert-Loir

Antoine Chambert-Loir
IRMAR, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.
E-mail : [email protected]
Url : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir
Version du 24 mars 2009
La version la plus à jour est disponible sur le Web à l’adresse http://perso.univ-rennes.fr/
antoine.chambert-loir/2008-09/cf/

SOMMAIRE
Introduction ................................................................ 1
Bibliographie .............................................................. 3
1. Nombres entiers ........................................................ 5
Représentation des entiers, 5 ; Les quatre opérations, 7.
2. Algorithme d’Euclide .................................................... 11
L’algorithme d’Euclide étendu, 11 ; Complexité de l’algorithme d’Euclide
pour les entiers, 13 ; Complexité dans le cas des polynômes, 15.
3. Nombres premiers, factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Nombres premiers, 17 ; Factorisation, 25.
4. Corps finis .............................................................. 29
Rappels sur les corps finis, 29 ; Polynômes à coeficients dans un corps
fini, 31 ; Extraction de racines m-ièmes, 37.

INTRODUCTION
Programme spécifique de l’option C.
a) Représentation et manipulation des entiers longs, flottants
multiprécision, nombres complexes, polynômes, éléments de
Z/nZet des corps finis. Addition, multiplication, division, extrac-
tion de racine carrée.
b) Algorithmes algébriques élémentaires. Exponentiation (n7→
an, pour n∈N), algorithme d’Euclide étendu. Test de primalité de
Fermat.
c) Matrices à coefficients dans un corps. Méthode du pivot
de Gauss, décomposition LU. Calcul du rang, du déterminant.
Exemples de codes correcteurs linéaires : codes de répétition,
codes de Hamming binaires.
d) Matrices à coefficients entiers. Opérations élémentaires sur
les lignes et les colonnes. Application aux systèmes linéaires sur Z
et aux groupes abéliens de type fini.
e) Polynômes à une indéterminée. Évaluation (schéma de Hor-
ner), interpolation (Lagrange, différences finies). Localisation des
racines dans Rou C: majoration en fonction des coefficients.
f) Polynômes à plusieurs indéterminées. Résultants, élimina-
tion ; intersection ensembliste de courbes et de surfaces algé-
briques usuelles.
g) Estimation de la complexité des algorithmes précités dans le
cas le pire. Aucune formalisation d’un modèle de calcul n’est exi-
gée.