Séance 5/12/06 - IMJ-PRG

(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET
VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
20. Théorème du point fixe et sous-groupes de Borel
20.1. Morphismes propres et variétés complètes. —
(1)
Définition 20.1. — 1) Un morphisme de variétés algébriques f : X → Y est
propre s’il est universellement fermé, c.-à-d., si pour toute variété Z, le morphisme f × idZ : X × Z → Y × Z est fermé.
f
g
2) On voit facilement que si X −→ Y et Y −→ Z sont propres, alors g ◦ f
l’est aussi.
Définition 20.2. — Soit X une variété algébrique sur k. On dit que X est
propre (ou encore, complète) si le morphisme X → pt = Max(k) est propre,
c.à.d. si, pour toute variété Z le morphisme prZ : X × Z → Z est fermé.
Remarque 20.3. — A1 = k n’est pas propre car, par exemple, la projection sur
k du fermé {(x, y) ∈ k × k | xy = 1} est k ∗ , qui n’est pas fermé dans k.
Théorème 20.4. — Pn est propre, pour tout n.
Démonstration. — Voir, par exemple, [Die, § 3.3, Th. 1] ou [Sp, Th. 6.1.3].
Proposition 20.5. — Soit X une variété propre.
1) Toute sous-variété fermée Y de X est propre.
2) Si Y est propre alors X × Y l’est aussi.
3) Si φ : X → Y est un morphisme surjectif, alors Y est propre.
4) Soit φ : X → Y un morphisme. Alors φ(X) est une sous-variété fermée
et propre.
5) Si X est connexe, alors k[X] = k.
(0)
(1)
version du 7/12/06
On n’a traité en cours que les paragraphes 20.1 à 20.3.
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(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
6) Si X est de plus affine, alors X est un ensemble fini. Plus généralement,
si X est connexe, tout morphisme de X vers une variété affine est constant.
Démonstration. — Soit Z une variété arbitraire. 1) Y × Z est fermé dans X × Z
donc si F est fermé dans Y × Z il l’est aussi dans X × Z et donc prZ (F) est
fermé.
p
q
2) Notons X × Y × Z −→ Y × Z −→ Z. Alors prZ = q ◦ p. Si F est un
fermé de X × Y × Z alors p(F) est un fermé de Y × Z, car X est propre, et
prZ (F) = q(p(F)) est un fermé de Z, car Y est propre.
3) Soit F une sous-variété fermée de Y × Z. Considérons le diagramme
π=(φ,idZ )
X × Z −−−−−−→ Y × Z⊇ F


prY
X
prZ
y
y Z
Z
Z
Comme φ est surjectif, π l’est aussi et donc prZY (F) = prZX (π −1 (F)). Par conséquent, prZY (F) est fermé. Ceci montre que Y est propre.
Pour démontrer 4), on a besoin du lemme suivant.
Lemme 20.6. — Soit φ : X → Y un morphisme de variétés. Alors son graphe
Γφ := {(x, φ(x)), x ∈ X} est une sous-variété fermée de X × Y, isomorphe à
X.
Démonstration. — Considérons le morphisme θ = (φ, idY ) : X × Y −→ Y × Y,
(x, y) 7→ (φ(x), y). Alors Γφ = θ−1 (∆Y ), où ∆Y est la diagonale dans Y × Y,
qui est une sous-variété fermée. Donc Γφ est une sous-variété fermée. De plus,
si p désigne la restriction à Γφ de la projection prX , alors p et (idX , φ) sont des
morphismes inverses l’un de l’autre.
Revenons à la preuve de 4). On a φ(X) = prY Γφ , donc φ(X) est une sousvariété fermée de Y. Elle est propre, d’après 3).
5) Soit f ∈ k[X]. Alors f (X) est une sous-variété fermée connexe et propre
de k. Comme k n’est pas complet, alors f (X) est un point, i.e. f est constante.
6) Soient X1 , . . . , Xr les composantes irréductibles de X. Alors chaque Xi
est propre et connexe, donc k[Xi ] = k. Comme Xi est affine, ceci entraı̂ne que
Xi est un point, et donc X est fini.
Soit φ : X → Y un morphisme, avec Y affine. Alors φ(X) est une sous-variété
fermée, donc propre et aussi affine. Donc φ(X) est fini, et égal à un point si X
est connexe.
Corollaire 20.7. — a) Toute variété projective est propre.
b) Toute variété quasi-projective propre est projective.
Démonstration. — a) résulte du théorème et de 1) ; b) résulte de 4).
20. THÉORÈME DU POINT FIXE ET SOUS-GROUPES DE BOREL
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Lemme 20.8. — Soient G un groupe algébrique, X, Y des G-variétés homogènes, et φ : X → Y un morphisme bijectif G-équivariant. Si Y est complète,
X l’est aussi.
Démonstration. — Soient Z une variété et θ = (φ, idZ ) : X × Z → Y × Z. Alors
θ est un morphisme bijectif ; il est ouvert, d’après le corollaire 14.7, c’est donc
un homéomorphisme. Donc, si F est un fermé de X × Z, θ(F) est un fermé de
Y × Z. Or, prZX (F) = prZY (F) ◦ θ, donc si Y complète alors prZX (F) est un fermé
de Z. Ceci prouve le lemme.
Remarque 20.9. — On peut en fait montrer que tout morphisme bijectif entre
variétés normales est propre, cf. la sous-section suivante.
20.2. Théorème du point fixe de Borel. —
Lemme 20.10. — Soient H un groupe algébrique et Z une H-variété. Alors
ZH := {z ∈ Z | hz = z, ∀ h ∈ H}
est une sous-variété fermée de Z.
T
Démonstration. — En effet, ZH = h∈H Zh , et Zh = φ−1
h (∆Z ), où ∆Z est la
diagonale de Z × Z et φh le morphisme Z → Z × Z, z 7→ (z, hz).
Théorème 20.11 (Théorème du point fixe de Borel). — Soit G un groupe résoluble connexe, et X une G-variété complète non vide. Alors G a un point fixe
dans X.
Démonstration. — Démontrons le théorème par récurrence sur d = dim G.
C’est vrai si d = 0, car alors G = {1}. Si G 6= {1} alors D(G) := N est un
sous-groupe fermé connexe propre, donc de dimension < d. Par hypothèse de
récurrence, XN := Y est non-vide. D’après le lemme, c’est une sous-variété
fermée, et donc complète, de X. Puisque N est normal dans G, alors Y est
G-stable ; en effet, si y ∈ Y, g ∈ G, h ∈ N alors hgy = g (g −1 hg)y = gy.
Soit y ∈ Y tel que l’orbite Gy soit de dimension minimale, et donc fermée.
Comme Gy contient D(G), c’est un sous-groupe fermé normal et donc la variété
G/Gy est affine et connexe.
D’autre part, le morphisme φ : G/Gy → Gy est équivariant et bijectif, et
Gy est complète. Donc, d’après le lemme 20.8, G/Gy est complète.
On a donc obtenu que G/Gy est complète, connexe et affine. Elle est donc
réduite à un point, et il en est de même de Gy ; par conséquent y est un point
fixe. Le théorème est démontré.
On déduit du théorème du point fixe une autre démonstration du théorème
de Lie-Kolchin pour les groupes résolubles connexes :
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(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Corollaire 20.12 (Théorème de Lie-Kolchin, cas résoluble connexe)
Soient G un groupe résoluble connexe et V un G-module rationnel de dimension finie. Alors G a un point fixe dans la variété des drapeaux F (V),
c.-à-d., G stabilise un drapeau de V.
Démonstration. — La variété des drapeaux F (V) de V est une sous-variété
Q
Qn−1
i
fermée de la variété projective n−1
i=1 Gri (V) ⊆
i=1 P(Λ V) (où n = dim V),
et G y agit morphiquement. Par conséquent, G y a un point fixe.
20.3. Sous-groupes et paires de Borel. — Soit G un groupe algébrique
affine.
Définition 20.13. — On appelle sous-groupe de Borel de G tout sous-groupe
fermé résoluble connexe maximal.
Théorème 20.14 (Sous-groupes de Borel). — Soit G un groupe algébrique affine
connexe. Tous les sous-groupes de Borel de G sont conjugués, et si B est l’un
d’eux la variété G/B est projective.
Démonstration. — Soit S un sous-groupe de Borel de dimension maximale.
D’après le théorème de Chevalley, il existe un G-module rationnel de dimension
finie V et une droite V1 ⊆ V tels que S = StabG (V1 ) ; de plus on peut supposer
que V est fidèle, quitte à remplacer V par V⊕E, où E est un G-module rationnel
fidèle de dimension finie.
Observons que S stabilise un drapeau F0 = (V1 ⊆ V2 ⊆ · · · ⊆ Vn =
V) dont le premier terme est V1 . En effet, S agit dans V/V1 , et on peut
appliquer le théorème de Lie-Kolchin dans V/V1 (S étant résoluble connexe).
Alors S ⊆ StabG (F0 ), mais l’on a aussi StabG (F0 ) ⊆ StabG (V1 ) = S et donc
S = StabG (F0 ). Par conséquent, on a un morphisme bijectif
(∗)
bijectif
G/S −−−−→ GF0 ⊆ F (V).
Montrons que l’orbite GF0 est fermée. Soit F ∈ F (V) un drapeau arbitraire. Alors GF est résoluble, puisque GF est triangulaire dans toute base
adaptée à F . Donc, par l’hypothèse de maximalité faite sur dim S, on a
dim GF 6 dim S (car dim GF = dim G0F ), et donc dim GF > dim GF0 . Donc
GF0 est une orbite de dimension minimale, elle est donc fermée, et complète.
Donc, d’après le lemme 20.8 et (∗), G/S est complète.
Enfin, soit B un sous-groupe de Borel arbitraire. Il agit par translation à
gauche sur G/S, et y possède donc un point fixe gS. Alors Bg ⊆ gS, d’où
B ⊆ g −1 Sg. Mais g −1 Sg est fermé résoluble connexe, et donc la maximalité
de B entraı̂ne B = g −1 Sg, d’où la première assertion du théorème. De plus,
clairement, Int(g) induit un isomorphisme de variétés G/S ∼
= G/B et donc
G/B est complète. Le théorème est démontré.
20. THÉORÈME DU POINT FIXE ET SOUS-GROUPES DE BOREL
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Définition 20.15. — On appelle paire de Borel de G tout couple (T, B) où B
est un sous-groupe de Borel de G et T un tore maximal de G contenu dans B.
Corollaire 20.16 (Conjugaison des paires de Borel). — a) Tout tore maximal
est contenu dans un sous-groupe de Borel, et toutes les paires de Borel sont
conjuguées.
b) Les sous-groupes fermés connexes unipotents maximaux de G sont tous
conjugués, et chacun est de la forme Bu , pour B un sous-groupe de Borel.
Démonstration. — a) Soit T un tore maximal. Comme T est fermé, connexe
et résoluble (car abélien), il est contenu dans un Borel B. Par maximalité, c’est
un tore maximal de B.
Soit (T0 , B0 ) une autre paire de Borel. D’après le théorème précédent, il
existe g ∈ G tel que gB0 g −1 = B. Alors, gT0 g −1 est un tore maximal de B et,
d’après le résultat établi dans le cas résoluble (théorèmes 19.1 ou 19.10), T et
gT0 g −1 sont conjugués par un élément b ∈ C ∞ (B). Le point a) en découle.
Pour b), la démonstration est analogue et laissée au lecteur.
Définition 20.17. — Soient G un groupe algébrique affine connexe et P un sousgroupe fermé. On dit que P est un sous-groupe parabolique si la variété G/P
est complète (et donc projective).
Proposition 20.18 (Caractérisation des paraboliques). — P est parabolique ⇔
P contient un Borel. Par conséquent, B est un Borel ⇔ B est parabolique,
résoluble et connexe.
Démonstration. — ⇒ Supposons G/P complet et soit B un Borel. Alors B a
un point fixe gP dans G/P et donc Bg ⊆ gP, d’où g −1 Bg ⊆ P.
⇐ Le morphisme G → G/P se factorise à travers G/B. On a donc un
morphisme surjectif G/B → G/P, avec G/B complète. Donc G/P est complète,
d’après la proposition 20.5.3).
La deuxième assertion s’obtient facilement.
Théorème 20.19. — (Tores et sous-groupes de Borel d’un groupe quotient)
Soit φ : G → G0 un morphisme surjectif de groupes algébriques affines et soit
H un sous-groupe fermé de G de l’un des types suivants : parabolique, Borel,
tore maximal, unipotent connexe maximal. Alors φ(H) est du même type, et
tout sous-groupe de G0 de ce type est obtenu de cette manière.
Démonstration. — On considère G0 comme un G-espace homogène, via gg 0 =
φ(g)g 0 , pour g ∈ G, g 0 ∈ G0 . Alors φ se factorise en un morphisme Géquivariant, et donc surjectif, G/H → G0 /φ(H). Donc, d’après la proposition
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(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
20.5.3), si H est parabolique, φ(H) l’est aussi. Si H est un Borel, φ(H) est parabolique, résoluble et connexe, donc un Borel. Si H est unipotent connexe maximal, alors H = Bu pour un Borel B, d’où φ(Bu ) = φ(B)u (car φ(b)u = φ(bu )).
Comme φ(B) est un Borel de G0 , il en résulte que φ(H) est unipotent connexe
maximal. Si H est un tore maximal, contenu dans un Borel B, on a B = TBu
et donc φ(B) = φ(T)φ(B)u . On en déduit, d’après le théorème 19.10, que φ(T)
est un tore maximal de φ(B), et donc de G0 .
De plus, si H0 est un Borel, tore maximal, ou unipotent connexe maximal
de G0 , et si H est du même type, il existe g 0 = φ(g) tel que H0 = g 0 φ(H)g 0−1 =
φ(gHg −1 ). Enfin, si P0 est un parabolique de G0 , il contient un Borel φ(B).
Alors P := φ−1 (P0 ) contient B et est donc parabolique ; et P0 = φ(P).
20.4. Centralisateurs de tores, sous-groupes de Cartan. —
Lemme 20.20. — Soit G connexe et B un Borel de G. Si f est un automorphisme de G tel que f|B = id, alors f = id. Par conséquent, si g ∈ G centralise
B alors g ∈ Z(G). En particulier, Z(B) ⊆ Z(G).
Démonstration. — Soit f ∈ Aut(G) tel que f|B = id. Considérons le morphisme ψ : G → G défini par ψ(g) = f (g)g −1 . Alors ψ se factorise à travers
ψ 0 : G/B → G, i.e. ψ(g) = ψ 0 (gB) pour tout g. Comme G/B est complète et
G affine, il vient ψ 0 (G/B) = ψ 0 (e) = e, d’où f = id. La deuxième assertion en
résulte en prenant f = Int(g). Donc Z(B) ⊆ Z(G).
Proposition 20.21. — Soit G un groupe algébrique affine, B un sous-groupe de
Borel. Si B est nilpotent, alors G0 = B.
Démonstration. — On peut supposer G connexe. On procède par récurrence
sur d = dim G. Si B = {1} alors G = G/B est affine, complète et connexe,
donc égale à {1}. Sinon, B est nilpotent connexe non-trivial et donc H :=
Z(B)0 6= {1}. D’après le lemme précédent, H est central dans G. On peut donc
former le groupe quotient G/H, qui est de dimension < dim G. De plus, d’après
le théorème 20.19, B/H est un sous-groupe de Borel, nilpotent, de G/H. Par
hypothèse de récurrence, il vient G/H = B/H, d’où G = B.
Corollaire 20.22. — Soit G connexe, de dimension 6 2. Alors G est résoluble.
Démonstration. — Soit B un sous-groupe de Borel de G. Montrons que G = B.
On a B = TBu , où T est un tore maximal de B. Si on avait dim B 6 1, on
aurait B = T ou B = Bu , d’où B nilpotent, et G = B d’après la proposition
précédente. On en déduit que dim B = 2, d’où B = G.
Corollaire 20.23. — Soit G un groupe algébrique affine connexe.
1) Si G = Gs alors G est un tore.
2) Si Gu est un sous-groupe, G est résoluble.
20. THÉORÈME DU POINT FIXE ET SOUS-GROUPES DE BOREL
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3) Si Gs est un sous-groupe, G est nilpotent.
Démonstration. — Soient B un Borel de G, et B = TBu . Prouvons 1). Si
G = Gs , alors B = T. Donc B = Z(B) ⊆ Z(G), et donc B est normal. Alors
G/B est affine, connexe, et complète, donc un point, d’où G = B = T.
2) Gu est un sous-groupe fermé normal, et donc H = G/Gu est un groupe
algébrique affine connexe. De plus, H est formé d’éléments semi-simples (car
H = {π(gs ), g ∈ G}). Donc H est un tore, donc commutatif. Il en résulte que
G est résoluble, puisque 1 → Gu → G → T → 1.
3) Supposons que Gs soit un sous-groupe de G. Alors Bs = B ∩ Gs est
un sous-groupe normal de B, commutatif d’après 19.10. Il est donc fermé
car, d’après le lemme 15.14, on peut plonger B dans un GLn de sorte que
Bs = B ∩ Dn . Donc Bs est un sous-groupe diagonalisable normal, et donc
central dans B, d’après le théorème de rigidité. Donc B est nilpotent, et G = B
d’après la proposition précédente.
Remarque 20.24. — On peut aussi montrer que si Gs est fermé alors G est
nilpotent.
Proposition 20.25. — Soient T un tore maximal, et C = CG (T)0 . Alors C est
nilpotent, et C = NG (C)0 .
Démonstration. — Soit B un sous-groupe de Borel de C. Alors T est un tore
maximal de B. Comme T est central, B est nilpotent d’après la proposition
19.3, et donc C = B d’après la proposition 20.21.
Par le théorème de rigidité, on a C = NG (T)0 . Montrons que NG (C) ⊆
NG (T), d’où résultera l’égalité voulue. Soit x ∈ NG (C). Alors Int(x) est un
automorphisme de C, qui stabilise T car T = Cs . Donc x ∈ NG (T). La proposition est démontrée.
Définition 20.26. — Si T est un tore maximal, C = CG (T)0 est appelé un
sous-groupe de Cartan. En fait, on verra plus loin que CG (T) est connexe.
20.5. La réunion des sous-groupes de Borel. —
Lemme
20.27. — Soient G connexe, H un sous-groupe fermé connexe, et X =
S
−1 .
gHg
g∈G
a) X contient un ouvert dense de X.
b) Si G/H est complète, X est fermé.
c) Si NG (H)/H est fini et s’il existe un élément de G qui n’est contenu que
dans un nombre fini de conjugués de H, alors X = G.
182
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Démonstration. — Soit M = {(x, y) ∈ G × G | y ∈ xHx−1 }. C’est une sousvariété fermée irréductible de G × G car c’est l’image de G × H par l’isomorphisme G × G ∼
= G × G, (x, z) 7→ (x, xzx−1 ). Comme
± X = pr2 (M), on obtient
a). Considérons le morphisme ψ : G×G → (G×G) (H×{1}) = G/H×G ; il est
ouvert. On a M = ψ −1 ψ(M) : en effet, si (x, y) ∈ M et h ∈ H alors (xh, y) ∈ M.
Donc V := ψ(M) est une sous-variété fermée de G/H×G. Comme X = prG (V),
on obtient b).
Notons q et π les restrictions à V de prG/H et prG . Comme V = {(xH, y) |
y ∈ xHx−1 }, on voit que q est surjective et que dim q −1 (q(v)) = dim H, pour
tout v. On en déduit que dim V = dim G.
Supposons que |NG (H)/H| < ∞ et qu’il existe y ∈ G qui ne soit contenu
que dans un nombre fini de conjugués de H, disons g1 Hg1−1 , . . . , gr Hgr−1 . Alors,
π −1 (y) = {xH ∈ G/H | y ∈ xHx−1 } est la réunion des classes gi NG (H)/H
et est donc fini. L’égalité 0 = dim π −1 (y) > dim V − dim X entraı̂ne alors
dim X = dim V = dim G. Le lemme est démontré.
Théorème 20.28 (Union des sous-groupes de Cartan ou Borel)
Soit G connexe.
a) La réunion des CG (T)0 , pour T un tore maximal, contient un ouvert
dense.
b) G est la réunion de ses sous-groupes de Borel.
c) Tout élément semi-simple de G appartient à un tore maximal.
d) Tout élément unipotent de G appartient à un sous-groupe unipotent
connexe maximal.
Démonstration. — a) Soient T un tore maximal et C = CG (T)0 . D’après la
proposition 20.25, C = NG (C)0 et donc NG (C)/C est fini. D’après le lemme
16.15, il existe t ∈ T tel que CG (T) = CG (t). Soit x ∈ G tel que t ∈ xCx−1 .
Alors x−1 tx ∈ C, d’où x−1 tx ∈ T puisque T = Cs . Alors, C ⊆ CG (x−1 tx) =
x−1 CG (t)x = x−1 CG (T)x, et on en déduit que C = x−1 Cx. Ceci montre que
C est l’unique conjugué de C contenant t, et a) résulte alors de la proposition
20.27.
b) C est connexe et nilpotent donc contenu dans un Borel. Par conséquent,
la réunion des sous-groupes de Borel est un fermé contenant un ouvert dense,
d’où b).
c) Soit t semi-simple. D’après b), t est contenu dans un Borel B, puis t est
contenu dans un tore maximal de B d’après le théorème 19.1. Enfin, soit u
unipotent. Il est contenu dans un Borel B, et donc dans Bu . Le théorème est
démontré.
Corollaire 20.29. — Soit G connexe contenant un sous-groupe de Borel B normal. Alors G = B, c.-à-d., G est résoluble.
20. THÉORÈME DU POINT FIXE ET SOUS-GROUPES DE BOREL
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Démonstration. — B est le seul sous-groupe de Borel de G, puisqu’ils sont
tous conjugués. Comme, d’après le théorème précédent, leur réunion est G, on
obtient G = B.
Corollaire 20.30. — Soit G connexe. Alors Z(G) = Z(B), pour tout Borel B.
Démonstration. — Soit x ∈ Z(G). D’après le théorème, x est contenu dans un
Borel, mais alors dans tous puisqu’ils sont conjugués. Donc x ∈ Z(B), pour
tout B. L’inclusion réciproque a été vue dans la proposition 20.20.
20.6. Connexité des centralisateurs de tores. —
Lemme 20.31. — Soient G connexe, S un sous-groupe résoluble connexe, et
x ∈ G commutant à S. Il existe un sous-groupe de Borel contenant S et x.
Démonstration. — D’après le théorème 20.28, il existe un Borel B contenant
x. Donc la sous-variété fermée X = (G/B)x = {gB | xg ∈ gB} est non-vide
(elle contient eB). Si gB ∈ X et s ∈ S, alors x sgB = sxgB = sgB. Donc X est
stable par S. Comme S est résoluble connexe, et X complète et non-vide, S a
un point fixe gB dans X. Alors le Borel gBg −1 contient x et S.
Théorème 20.32. — (Sous-groupes de Borel du centralisateur d’un
tore) Soient G connexe, S un tore de G.
a) CG (S) est connexe.
b) Soit B un sous-groupe de Borel de G contenant S. Alors B ∩ CG (S) est
un sous-groupe de Borel de CG (S).
c) De plus, tout sous-groupe de Borel de CG (S) est obtenu de cette façon.
Démonstration. — a) Soit x ∈ CG (S). D’après le lemme, x et S sont contenus
dans un Borel B. Mais alors x ∈ CB (S), qui est connexe d’après le résultat
établi dans le cas connexe (théorème 19.1). Donc x ∈ CG (S)0 . Ceci montre que
CG (S) = CG (S)0 .
b) Posons C = CG (S). Alors B ∩ C = CB (S) est résoluble et connexe. Pour
montrer que c’est un sous-groupe de Borel de C, il suffit de montrer que la
variété C/C∩B est propre. Notons eB le point B/B de G/B. Alors StabC (eB ) =
C ∩ B et donc on a un morphisme bijectif C-équivariant C/C ∩ B −→ CeB .
D’après le lemme 20.8, il suffit de montrer que CeB est complète, i.e. que
l’orbite CeB est fermée. Donnons deux démonstrations de ce fait ; la seconde
établira
Comme π : G → G/B est ouvert, il suffit de montrer que Y := π −1 (CeB ) =
CB est fermé dans G. Comme Y est une orbite du groupe connexe C × B, alors
Y est irréductible, et il en est de même de son adhérence Y.
184
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Comme S ⊆ B, alors pour tout y ∈ Y = CG (S)B, on a y −1 Sy ⊆ B et, par
continuité, ceci vaut aussi pour tout y ∈ Y, c.-à-d.,
(1)
y −1 Sy ⊆ B
∀ y ∈ Y,
Soit T un tore maximal de B contenant S.
Soit π la projection B/Bu ; elle induit un isomorphisme de T sur B/Bu .
Considérons le morphisme
ψ : Y × S −→ B/Bu ,
(y, s) 7→ π(y −1 sy).
D’après le théorème de rigidité 16.14, ψ est indépendant de la variable y ∈ Y,
c.-à-d., on a :
(2)
∀ y ∈ Y,
π(y −1 sy) = π(s).
Fixons y ∈ Y. Alors y −1 Sy est un tore de B, donc il existe u ∈ Bu tel que
u−1 y −1 Syu ⊆ T.
Alors, d’après (2), pour tout s ∈ S on a
π(u−1 y −1 syu) = π(y −1 sy) = π(s);
et comme la restriction de π à T est bijective, il vient u−1 y −1 syu = s pour
tout s ∈ S, et donc c := yu appartient à CG (S) = C. Donc y = cu−1 appartient
à Y. Ceci montre que Y est fermé. L’assertion b) est démontrée.
L’assertion c) en découle, par conjugaison des sous-groupes de Borel. En
effet, si H est un sous-groupe de Borel de CG (S), il existe g ∈ CG (S) tel que
H = g(B ∩ CG (S))g −1 = gBg −1 ∩ CG (S),
et gBg −1 est un sous-groupe de Borel de G contenant gSg −1 = S. Le théorème
est démontré.
Corollaire 20.33. — Soient G connexe, T un tore maximal, C = CG (T).
a) C est connexe, nilpotent, et égal à NG (C)0 .
b) Tout Borel contenant T contient aussi C.
Démonstration. — a) découle du théorème et de la proposition 20.25. Voyons
b). Soit B un Borel contenant T. D’après le théorème, B ∩ C est un Borel de
C, et comme C est nilpotent connexe il vient B ∩ C = C, d’où C ⊆ B.
20.7. Normalisateur d’un sous-groupe de Borel. —
Théorème 20.34 (Chevalley). — Soit G connexe.
i) Pour tout Borel B, on a NG (B) = B.
ii) Pour tout parabolique P, on a NG (P) = P = P0 .
iii) Pour tout Borel B, on a NG (Bu ) = B.
20. THÉORÈME DU POINT FIXE ET SOUS-GROUPES DE BOREL
185
Démonstration. — Prouvons i) par récurrence sur dim G. Si dim G 6 2 alors
G est résoluble, d’après 20.22, d’où B = G.
Posons N = NG (B) et soit n ∈ N. On va montrer que n ∈ B. Soit T un
tore maximal de B, alors nTn−1 en est un autre, donc il existe b ∈ B tel que
bnT(bn)−1 = T. Donc, remplaçant n par bn, on peut supposer que n normalise
T. Alors,
ψ : T −→ T,
t 7→ ntn−1 t−1
est un morphisme de groupes algébriques ; soit S = (Ker ψ)0 . Alors n appartient à CG (S), qui est un groupe connexe. Distinguons deux cas.
a) S 6= {1}. Alors n normalise B ∩ CG (S), qui est un sous-groupe de Borel
du groupe connexe CG (S). Donc, si CG (S) 6= G, il résulte de l’hypothèse de
récurrence que n ∈ B ∩ CG (S), d’où n ∈ B.
Sinon, si CG (S) = G, alors S est central et on peut passer au groupe quotient
G = G/S, qui est connexe et de dimension < dim G. Alors B/S est un Borel de
G, normalisé par n. Donc, par hypothèse de récurrence, n ∈ B/S, d’où n ∈ B.
Ceci règle le premier cas.
b) Si S = {1}, alors ψ est surjective (car son image est un sous-groupe fermé
connexe de même dimension que T). D’après le théorème des semi-invariants
de Chevalley, N est le stabilisateur d’une droite kv dans une représentation
V de G. Donc N agit sur kv via un caractère χ, qui est trivial sur Bu mais
aussi sur T, puisque tout élément de T est un commutateur dans N (car ψ est
surjective).
Donc le morphisme φv : G → V, g 7→ gv se factorise à travers G/B. Comme
G/B est propre et connexe, ceci entraı̂ne que φv est constant, c.-à-d., v est fixé
par G, d’où G = N. Mais alors B est normal dans G, d’où G = B d’après le
corollaire 20.29. L’assertion i) est démontrée.
Démontrons ii). Soit P un parabolique, contenant un Borel B. Alors B ⊆ P0 ,
puisque B est connexe. Soit x ∈ NG (P). Alors xBx−1 est un Borel de P0 .
Donc il existe p ∈ P0 tel que xBx−1 = pBp−1 , d’où p−1 x ∈ NG (B) = B, et
x ∈ pB ⊆ P0 . Ceci montre que NG (P) = P0 , d’où ii).
Démontrons iii). Posons U = Bu et N = NG (U). D’abord, B normalise U,
donc B est un Borel de N0 . Alors, d’après le Théorème 20.28, tout élément
unipotent de N0 appartient à un conjugué sous N0 de U. Or U est normal dans
N, et est donc égal à l’ensemble des éléments unipotents de N0 . On en déduit
que N0 /U est un groupe affine connexe formé d’éléments semi-simples, donc
un tore, d’après le corollaire 20.23. Il en résulte N0 est résoluble et connexe.
Comme B ⊆ N0 , il vient N0 = B, et N ⊆ NG (B) = B (car N normalise N0 ). Le
théorème est démontré.
Corollaire 20.35. — Soient G connexe, B un Borel, et P, Q deux paraboliques
contenant B et conjugués dans G. Alors P = Q.
186
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Démonstration. — Si Q = x−1 Px, alors B et x−1 Bx sont deux sous-groupes
de Borel de Q. Donc il existe q ∈ Q tel que q −1 Bq = x−1 Bx, d’où xq −1 ∈
NG (B) = B, et x ∈ Bq ⊆ Q. Alors P = xQx−1 = Q.
21. Géométrie de la variété des drapeaux
21.1. Radical et radical unipotent. —
Définition et proposition 21.1. — Soit G un groupe algébrique affine. On pose :
¡T
¢0
a) R(G) =
B∈B B ; c’est le plus grand sous-groupe fermé connexe résoluble normal de G, on l’appelle le radical de G.
¡T
¢0
b) On a R(G)u =
; c’est le plus grand sous-groupe fermé
B∈B Bu
connexe unipotent normal de G, on l’appelle le radical unipotent de G.
On le note aussi Ru (G).
Démonstration. — a) Il est clair que R(G) est un sous-groupe
¡T fermé¢connexe
résoluble. De plus, tout automorphisme de G stabilise H :=
B∈B B et donc
aussi R(G). A fortiori, R(G) est normal. Réciproquement, si S est un sousgroupe fermé connexe résoluble normal, il est contenu dans un sous-groupe de
Borel et donc dans tous, d’où S ⊆ H, et S ⊆ R(G).
b) Puisque R(G) est résoluble connexe, R(G)u est un sous-groupe fermé
unipotent connexe. Il est normal, et en fait caractéristique, car tout automorphisme de G stabilise R(G) et donc R(G)u . Si U est un sous-groupe fermé
connexe unipotent normal, il est contenu dans R(G), et donc dans R(G)u . Ceci
prouve l’inclusion ⊇. Mais R(G)u , étant fermé connexe unipotent et normal,
est contenu dans un Bu et donc dans tous, d’où l’inclusion ⊆.
21.2. Groupes réductifs et semi-simples. —
Définition 21.2. — Soit G un groupe algébrique affine. On dit que G est réductif, resp semi-simple, si Ru (G) = {1}, resp. R(G) = {1}.
φ
Lemme 21.3. — Soit 1 → N → M → H → 1 une suite exacte de groupes
algébriques. Si N, K sont unipotents, M l’est aussi.
Démonstration. — Soit g ∈ M et soit g = gs gu sa décomposition de Jordan.
Alors φ(gs )φ(gu ) est la décomposition de Jordan de φ(g). Comme ce dernier
est unipotent, par hypothèse, on a φ(gs ) = 1, c.-à-d., gs ∈ Ker φ = N. Comme
tout élément de N est unipotent, on obtient gs = 1. Ceci montre que M est
unipotent.
Proposition 21.4. — a) G/R(G) est semi-simple.
b) G/Ru (G) est réductif.
21. GÉOMÉTRIE DE LA VARIÉTÉ DES DRAPEAUX
187
Démonstration. — a) Soient π : G → G/R(G) et H un sous-groupe fermé
connexe résoluble normal de G/R(G). Alors π −1 (H) est un sous-groupe fermé
normal, résoluble d’après le lemme 17.4, et connexe d’après le lemme 10.17.b).
Donc π −1 (H) = R(G), i.e. H = {1}.
En utilisant le lemme précédent, on démontre b) de façon analogue.
21.3. La variété des sous-groupes de Borel. —
Définition 21.5. — Soient G connexe et B un Borel de G. Tout Borel de G est
de la forme gBg −1 et, comme NG (B) = B, alors : gBg −1 = hBh−1 ⇔ h ∈ gB.
Par conséquent, l’ensemble B = B(G) de tous les sous-groupes de Borel de G
s’identifie à G/B. On munit ainsi B d’une structure de G-variété projective
homogène. On l’appelle la variété des drapeaux de G, car pour G = GL(V)
elle s’identifie à la variété des drapeaux de V.
Remarque 21.6. — 1) La structure de variété de B ne dépend pas, à isomorphisme près, du choix de B. En effet, si B0 = g0 Bg0−1 est un autre Borel, on a
un diagramme commutatif
Int(g0 )
G/B −−−−→ G/B0




gB7→gBg −1 y
yhB0 7→hB0 h−1
B
Int(g0 )
−−−−→
B
2) Observons que, pour B ∈ B et g ∈ G, on a g · B = gBg −1 .
Lemme 21.7. — Si S est un sous-ensemble quelconque de G, on note B S =
T
s
s∈S B l’ensemble des points fixes de S dans B ; c’est une sous-variété fermée. De plus, on a B S = {B Borel de G | B contient S}.
Démonstration. — On a déjà vu que B S est fermée (éventuellement vide). De
plus, s fixe B ⇔ s ∈ NG (B) = B, d’où la 2ème assertion.
21.4. Groupe de Weyl et points fixes de T dans B. —
Définition et proposition 21.8. — Soient G connexe, T un tore maximal. On
pose W = W(T) = NG (T)/CG (T). Alors W est un groupe fini, qui ne dépend
que de G. On l’appelle le groupe de Weyl de G.
Démonstration. — On a déjà vu que W(T) est un groupe fini (théorème
16.14). Si T0 est un autre tore maximal de G, il existe g ∈ G tel que
T0 = gTg −1 , et alors Int(g) induit un isomorphisme W(T) ∼
= W(T0 ).
Théorème 21.9 (Points fixes de T dans B). — Soient G connexe, B la variété
des drapeaux de G, et T un tore maximal. Alors W(T) agit de façon simplement
transitive sur B T . Par conséquent, |B T | = |W| < ∞.
188
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Démonstration. — Si n ∈ NG (T) et B ∈ B T , alors n · B = nBn−1 contient
nTn−1 = T, d’où n · B ∈ B T . Donc NG (T) stabilise B T . D’autre part, si B
est un Borel contenant T alors, d’après le théorème 20.32.b, il contient aussi
CG (T), et est donc un point fixe de CG (T). Donc CG (T) agit trivialement B T ,
et l’action de NG (T) se factorise à travers W(T).
Montrons que l’action est transitive. Soient B et B0 = gBg −1 dans B T .
Alors T et g −1 Tg sont deux tores maximaux de B, donc il existe b ∈ B tel
que g −1 Tg = b−1 Tb. Alors gb−1 := n appartient à NG (T), et g = nb, d’où
B0 = nBn−1 = n·B. Il reste à voir que le stabilisateur de B dans NG (T) est égal
à CG (T). Si nBn−1 = B, alors n ∈ B ∩ NG (T) = NB (T). Or NB (T) = CB (T),
d’après le théorème 19.1. Rappelons l’argument : si g ∈ NB (T), alors, pour
tout t ∈ T, on a (gtg −1 ) t−1 ∈ T ∩ D(B) = {1}, donc g centralise T.
Soient G, G0 affines, π : G → G0 un morphisme surjectif, et B = B(G),
= B(G0 ). D’après la proposition 20.19, pour tout B ∈ B, on a π(B) ∈ B 0 ,
et tout Borel de G0 est obtenu de la sorte. Donc π induit une application
surjective B → B 0 , encore notée π. De plus, si Ker π est contenu dans un
Borel, il est contenu dans tous (car normal), et donc l’on a π −1 (π(B)) = B
pour tout B ∈ B. Donc dans ce cas φ est une bijection.
B0
Proposition 21.10 (Groupe de Weyl d’un groupe quotient)
Soient π : G → G0 comme plus haut, T un tore maximal de G, B ∈ B T et
T0 = π(T), B0 = π(B).
1) π induit un morphisme de groupes ϕ : WG (T) → WG0 (T0 ).
0
2) φ(B T ) = B 0T , et l’on a un diagramme commutatif :
ϕ
WG (T) −−−−→ WG0 (T0 )



 0 0 0
w7→w·By
yw 7→w ·B
π
0
B T −−−−→ B 0T .
Par conséquent, ϕ est surjectif.
3) Si Ker π est contenu dans un Borel, alors ϕ est un isomorphisme.
Démonstration. — D’abord, T0 est un tore maximal de G0 , d’après la proposition 20.19. Il est clair que π envoie normalisateur et centralisateur de T dans
leur analogues pour T0 , d’où 1). Voyons 2). Si B ∈ B T , alors π(B) contient
0
π(T) = T0 . Donc φ(B T ) ⊆ B 0T . La commutativité du diagramme est immé0
0
diate. Montrons que B 0T = φ(B T ). Soit B0 ∈ B 0T . D’après la proposition
20.19, à nouveau, il existe B0 ∈ B tel que π(B0 ) = B0 . Alors T est un tore
maximal de P := π −1 (B0 ), donc est contenu dans un Borel B de P. Or B0 est
un Borel de G contenu dans P, donc aussi un Borel de P. Alors B et B0 sont
conjugués, donc B est aussi un Borel de G (∗). Alors, d’après la proposition
21. GÉOMÉTRIE DE LA VARIÉTÉ DES DRAPEAUX
189
20.19, π(B) est un Borel de G0 . Comme π(B) ⊆ B0 , il vient π(B) = B0 . Ceci
prouve 2). Enfin, 3) est immédiat.
Remarque 21.11. — Dans la démonstration précédente, on a montré : si P est
un parabolique de G et B un Borel de P, alors B est un Borel de G.
21.5. Action d’un tore dans P(V) et conséquences pour B. —
Lemme 21.12. — Soient M un Z-module, et M1 , . . . , Mn des sous-modules propres et tels que M/Mi soit sans torsion. Alors M 6= M1 ∪ · · · ∪ Mn .
Démonstration.
— Supposons M = M1 ∪ · · · ∪ M
S
S n . On peut supposer que
Mi 6⊆ j6=i Mj , pour tout i. Soit alors mi ∈ Mi \ j6=i Mj . Comme M/M1 est
sans torsion, alors pour tout k, m1 + km2 ∈
/ M1 ∪ M2 . Donc il existe k 0 > k
0
tels que m1 + km2 et m1 + k m2 appartiennent au même Mi , avec i > 3,
d’où (k 0 − k)m2 ∈ Mi . Comme M/Mi est sans torsion, il vient m2 ∈ Mi ,
contradiction.
Définition 21.13 (Le couplage X(T) × X∨ (T) → Z). — Soit T un tore. Un cocaractère de T est un morphisme de groupes algébriques Gm → T. On note
X∨ (T) l’ensemble de ces cocaractères ; c’est un groupe abélien, la multiplication étant définie par (µµ0 )(z) = µ(z)µ0 (z).
Soient χ ∈ X(T) et µ ∈ X∨ (T). Alors χ ◦ µ est un morphisme de groupes
algébriques Gm → Gm , donc il existe n ∈ Z tel que
(χ ◦ µ)(z) = z n ,
∀ z ∈ k× .
On pose n = hχ, µi. Ceci définit une application biadditive X(T)×X∨ (T) → Z.
Proposition 21.14 (Dualité entre X(T) et X∨ (T)). — Soit T ∼
= (Gm )r un tore.
Alors X(T) et X∨ (T) sont des Z-modules libres de rang r, et le couplage
X(T) × X∨ (T) −→ Z
est parfait, c.-à-d., il permet d’identifier X(T) au dual de X∨ (T) et réciproquement.
Démonstration. — Identifions T à {(z1 , . . . , zr ) | zi ∈ k × }. On a déjà vu qu’on
a un isomorphisme de groupes
∼
Zr −→ X(T),
ν 7→ Xν .
D’autre part, à tout ν ∈ Zr on associe le cocaractère
µν : z 7→ (z ν1 , . . . , z νr ).
On a µν+ν 0 = µν µν 0 . Si µ : Gm → T est un cocaractère, alors en composant
µ avec les projections sur chaque facteur Gm , on voit que µ = µν pour un
ν uniquement déterminé. Ceci montre que ν 7→ µν est un isomorphisme de
groupes.
190
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Notons εi l’élément de Zr dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf la
i-ème qui vaut 1, et posons µi = µεi . Alors µi (z) = (1, . . . , z, . . . , 1), où z est à
la i-ème place, et on voit facilement que (X1 , . . . , Xr ) et (µ1 , . . . , µr ) sont des
bases de X(T) et X∨ (T), duales l’une de l’autre. Ceci prouve la proposition.
Soient T un tore, et V un T-module rationnel de dimension finie. Alors T
agit morphiquement dans P(V), cf. proposition 14.11.
Lemme 21.15. — Il existe λ ∈ X∨ (T) tel que P(V)T = P(V)λ(Gm ) (∗). Plus
précisément, il existe φ1 , . . . , φs ∈ X(T) tels que (∗) ait lieu pour tout λ ∈
X∨ (T) vérifiant hφi , λi =
6 0, pour i = 1, . . . , s.
Démonstration. — Soient χ1 , . . . , χr ∈ X(T) les poids de T dans V, i.e. V =
Vχ1 ⊕ · · · ⊕ Vχr . Pour i 6= j, chaque φi,j := χi − χj définit, via le couplage h , i,
un élémentSnon-nul de HomZ (X∨ (T), Z). On déduit alors du lemme 21.12 que
X∨ (T) 6= i6=j Ker(φi,j ). Donc il existe λ ∈ X∨ (T) tel que χi ◦ λ 6= χj ◦ λ,
pour i 6= j. Alors, on voit sans peine qu’une droite de V est stable par λ(Gm )
ssi elle est contenue dans un Vχi , c.à.d. ssi elle est stable par T. Le lemme en
découle.
Lemme 21.16. — Soit v ∈ V \ {0} et soit [v] son image dans P(V). Alors, [v]
est un point fixe de Gm si, et seulement si, v est un vecteur propre de Gm . Si
ce n’est pas le cas, écrivons
X
v=
vi ,
r6i6s
avec vi ∈ Vi et r < s. Dans ce cas, le morphisme σ : Gm → P(V), t 7→ t · [v],
s’étend en un morphisme σ
e : P1 → P(V), tel que σ
e(0) = [vr ] et σ
e(∞) = [vs ].
On a
σ
e(P1 ) = Gm [v] = Gm [v] ∪ [vr ] ∪ [vs ],
et [vr ], [vs ] sont les seuls points fixes de Gm dans Gm [v].
Démonstration. — La première assertion est claire. Pour démontrer la seconde, soit {e1 , . . . , en } une base de V formée de vecteurs propres de Gm ,
où chaque ei est de poids mi et où
Pn
m1 6 m2 6 · · · 6 mn .
Ecrivons v = j=1 αj ej . Soit J = {j | αj 6= 0} et soient j1 = min J, j2 =
max J. Posons r = mj1 et s = mj2 . Par hypothèse, r < s. Posons
X
X
vr =
α j ej ,
vs =
αj ej .
mj =r
mj =s
21. GÉOMÉTRIE DE LA VARIÉTÉ DES DRAPEAUX
191
Rappelons que P1 = U ∪ U0 , où k[U] = k[t] et k[U0 ] = k[t−1 ]. Posons X :=
Gm [v]. Pour tout t ∈ k × , on a


X
tmj −r αj ej  .
(1)
σ(t) = t · [v] = vr +
mj >r
Ceci montre que σ se prolonge en un morphisme, noté f , de U vers P(V), tel
que f (0) = [vr ]. Alors f −1 (X) est un fermé de U contenant k × , donc égal à U.
Par conséquent, [vr ] ∈ X.
De même, pour tout t ∈ k × , posons g(t−1 ) = σ(t). On a


X
(2)
g(t−1 ) = 
(t−1 )s−mj αj ej + vs  .
mj <s
Comme précédemment, ceci entraı̂ne que g se prolonge en un morphisme,
encore noté g, de U0 vers P(V), tel que g(∞) = [vs ], d’où [vs ] ∈ X.
Alors f et g sont des morphismes de U et U0 vers P(V), qui vérifient f (t) =
g(t−1 ) sur U ∩ U0 = Gm , donc induisent un morphisme σ
e : P1 → P(V), tel que
σ
e(0) = [vr ],
σ
e(∞) = [vs ].
Ce sont deux points fixes distincts, puisque vr et vs sont des vecteurs propres
de Gm , de poids r < s.
D’autre part, comme P1 est une variété complète, σ
e(P1 ) est un fermé de
P(V). Il est de plus irréductible et de dimension 1. Il est donc égal à Gm [v].
Par conséquent, on obtient que
Gm [v] = σ
e(P1 ) = Gm [v] ∪ [vr ] ∪ [vs ].
Enfin, il est clair que l’orbite Gm [v] ne contient pas de point fixe de Gm . Le
lemme est démontré.
Lemme 21.17 (Sections hyperplanes). — Soient H un hyperplan de P(V) et X
une sous-variété fermée irréductible de P(V), de dimension d > 1, non contenue dans H. Alors, X ∩ H est non vide, et chacune de ses composantes irréductibles est de dimension d − 1.
Démonstration. — Si on avait X ∩ H = ∅, alors X serait une sous-variété
fermée de l’espace affine P(V) \ H. Alors X serait complète, irréductible, et
affine, donc réduite à un point. Cette contradiction montre que X ∩ H 6= ∅.
Pour l’assertion concernant la dimension, voir [Ku, Chap.V, Prop.3.9], ou
[Die], § 4.3, Cor.2 de la Prop.7, ou [Bo, Lemma 13.4].
Remarque 21.18. — Dans le lemme 21.12, l’hypothèse que M/Mi soit sans torsion est nécessaire. Considérer l’exemple où M = Z2 et M1 , resp. M3 , est
engendré par 2e1 et e2 , resp. e1 et 2e2 , tandis que M2 = {(x, y) | x + y ∈ 2Z}.
192
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Proposition 21.19. — Soient T un tore, V un T-module rationnel de dimension
finie, et X une sous-variété fermée irréductible T-stable de P(V). Alors
#XT > dim(X) + 1.
Démonstration. — D’après le lemme 21.15, il existe λ ∈ X∨ (T) tel que
P(V)λ(Gm ) = P(V)T . Remplaçant T par λ(Gm ), on peut donc se ramener
au cas où T = Gm .
Soient d = dim(X) et n = dim V, et soit {e1 , . . . , en } une base de V formée
de vecteurs propres de Gm , c.-à-d., où chaque ei est de poids mi . Quitte à
renuméroter, on peut supposer que
m1 6 m2 6 · · · 6 mn .
Soient W l’hyperplan de V engendré par e2 , . . . , en , et H = P(W) ; alors W
et H sont T-stables. On procède par récurrence sur d + n. On peut supposer
d > 1 et X 6⊆ H. Alors, X ∩ H est T-stable et, d’après le lemme 21.17, toutes
ses composantes sont de dimension d − 1. Comme Gm est connexe, il stabilise
chaque composante de X ∩ H. Donc, par hypothèse de récurrence, Gm possède
au moins d points fixes dans X ∩ H. De plus, comme X 6⊆ H, alors X contient
un élément de la forme


X
αi ei  .
x = e1 +
i>2
D’après la démonstration du lemme 21.16, on obtient que Gm x contient la
limite en t = 0 de t · x, c.-à-d., l’élément
#
"
X
e1 +
αi ei .
mi =m1
C’est un élément de XT \ H. Il en résulte que #XT > 1 + d. La proposition est
démontrée.
Corollaire 21.20. — Soient G connexe, et T un tore maximal.
a) Pour tout parabolique P, on a #(G/P)T > 1 + dim G/P.
b) W = {1} ⇔ G est résoluble.
c) #W = 2 ⇔ dim B = 1 ; dans ce cas B = P1 .
d) G est engendré par les sous-groupes de Borel contenant T.
Démonstration. — D’après le théorème de Chevalley 14.12, G/P est une sousvariété fermée d’un P(V), où V est un G-module rationnel de dimension finie.
L’assertion a) découle donc de la proposition précédente.
22. SOUS-GROUPES DE CARTAN D’UN GROUPE RÉDUCTIF, D’APRÈS LUNA 193
Voyons b). Si G est résoluble, alors NG (T) = CG (T) d’après le théorème
19.1.4), et donc W = {1}. Réciproquement, si W = {1} et si B est un sousgroupe de Borel, la proposition 21.19 entraı̂ne que G/B est un point, d’où
G = B.
c) De même, si #W = 2 alors dim B = 1. Réciproquement, supposons
dim B = 1. D’après le lemme 21.15, il existe λ ∈ X∨ (T) tel que B T = B λ(Gm ) .
Alors B T 6= B (car B T est fini), et pour x ∈ B \ B T on a
(∗)
λ(Gm )x = B,
puisque dim B = 1. D’une part, ceci implique #B T = 2, d’après le lemme
21.16 et la proposition 21.19. D’autre part, (∗) entraı̂ne que le morphisme
φx : Gm → B, z 7→ z · x est dominant, donc induit une inclusion
k(B) ⊆ k(Gm ) = k(t),
où t désigne une indéterminée. D’après le théorème de Luröth, on a donc
k(B) ∼
= k(t), c.-à-d., B est une courbe lisse complète rationnelle. D’après la
classification des courbes, ceci entraı̂ne que B ∼
= P1 .
Prouvons d) par récurrence sur d = dim G. C’est vrai si d 6 2, car dans ce
cas G est résoluble, d’après le corollaire 20.22. Soit P le sous-groupe engendré
par les sous-groupes de Borel contenant T. Il est fermé, d’après la proposition
17.1 ; c’est donc un sous-groupe parabolique. Si P 6= G, alors dim G/P > 1
et donc T a au moins deux points fixes dans G/P. Donc T est contenu dans
un conjugué Q = gPg −1 , distinct de P. Par hypothèse de récurrence, Q est
engendré par ses sous-groupes de Borel qui contiennent T. Mais, d’après la
remarque 21.11 ceux-ci sont des sous-groupes de Borel de G contenant T,
et sont donc contenus dans P, d’où Q ⊆ P, contradiction ! Le corollaire est
démontré.
22. Sous-groupes de Cartan d’un groupe réductif, d’après Luna
22.1. Théorème de Kostant-Rosenlicht. — Le théorème ci-dessous aurait pu être énoncé dans le chapitre sur les groupes unipotents.
Théorème 22.1 (Kostant-Rosenlicht). — Soit U un groupe unipotent et X une
G-variété affine. Alors toute orbite de U dans X est fermée.
Démonstration. — Soit O une orbite de U ; elle est ouverte dans son adhérence
Y. Soit I l’idéal dans k[Y] du fermé U-stable Z = Y \ O. Alors I est un Umodule rationnel donc, d’après le théorème de Lie-Kolchin (cas unipotent), I
contient un élément f ∈ k[Y]U non nul. Mais comme O est dense dans Y, alors
k[Y]U = k, et donc I contient un scalaire non nul, d’où I = k[Y] et Z = ∅.
Ceci prouve que O est fermée.
194
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Remarque 22.2. — Le théorème s’étend au cas où X est quasi-affine, c.-à-d.,
un ouvert d’une variété affine ; voir [Bo, Prop. 4.10].
22.2. Sous-groupes de Cartan et radical unipotent. — Soient G un
groupe réductif connexe et T un tore maximal de G. On désigne par I(T) la
composante connexe de l’intersection des sous-groupes de Borel de G contenant
T, c.-à-d.,
³ \ ´0
I(T) =
B .
B∈B T
C’est un groupe résoluble connexe. Par conséquent, l’ensemble I(T)u de ses éléments unipotents est un sous-groupe fermé connexe, égal au radical unipotent
Ru (I(T)). De plus, on voit facilement que
³ \
´0
I(T)u =
Bu .
B∈B T
D’autre part, T est un tore maximal de I(T), et donc I(T) est le produit
semi-direct TI(T)u , d’après le théorème 19.1. Le but de cette section est de
démontrer le théorème ci-dessous.
Théorème 22.3 (Chevalley). — On a I(T)u = {1} et donc I(T) = T.
Corollaire 22.4. — Soit G réductif connexe.
a) Si T est un tore maximal, CG (T) = T.
b) Z(G) est l’intersection des tores maximaux.
b) Si S est un tore de G, alors CG (S) est réductif et connexe.
Démonstration du corollaire. — Soit T un tore maximal. D’après le corollaire
20.33, CG (T) est contenu dans I(T), d’où l’assertion a).
Il en résulte que Z(G) est contenu dans T et donc dans l’intersection de tous
les tores maximaux. Or, cette intersection est un sous-groupe fermé diagonalisable normal, donc contenu dans Z(G) d’après le théorème de rigidité 16.14.
Ceci prouve b).
Voyons c). On a déjà vu, dans le 20.32.a), que CG (S) est connexe. D’autre
part, comme U := Ru (CG (S)) est le radical unipotent de l’intersection de tous
les sous-groupes de Borel de CG (S), on déduit du théorème 20.32.b) que U est
contenu dans I(T)u , donc trivial. le corollaire est démontré.
Démontrons maintenant le théorème de Chevalley. Nous suivrons la démonstration donnée récemment par Luna [Lu99]. On pose J := I(T)u et X = B.
Rappelons que, d’après le théorème 21.9, le groupe de Weyl W agit de façon
simplement transitive sur XT ; en particulier, XT est fini.
22. SOUS-GROUPES DE CARTAN D’UN GROUPE RÉDUCTIF, D’APRÈS LUNA 195
22.3. La démonstration de Luna. —
Définition 22.5. — Pour tout p ∈ XT , soit X(p) := {x ∈ X | p ∈ Tx}.
Théorème 22.6 (Luna). — Les X(p), pour p ∈ XT , sont des ouverts affines de
X, stables par J.
Démonstration. — Soit B un sous-groupe de Borel de G. D’après le théorème
de Chevalley 14.12, il existe un G-module rationnel V de dimension finie, et
une droite B-stable D de V, tels que
StabG (D) = B,
StabLie(G) (D) = Lie(B).
On peut supposer V égal au sous-espace engendré par la G-orbite de D, quitte
à remplacer V par ledit sous-espace (ceci ne change pas les stabilisateurs cidessus). Alors, sous cette hypothèse, X = G/B est une sous-variété fermée
G-stable de P(V) qui n’est contenue dans aucun sous-espace propre P(W)
avec W 6= V.
D’après le lemme 21.15, il existe λ ∈ X∨ (T) tel que les points fixes de
λ(Gm ) dans P(V) et dans X soient les mêmes que ceux de T. Chaque p ∈ XT
est l’image dans P(V) d’un vecteur non-nul v(p) qui est vecteur propre de
λ(Gm ) ; soit mλ (p) ∈ Z le poids de vp pour l’action de λ(Gm ).
Observons que les v(p) sont dans la même orbite sous NG (T), donc a fortiori
sous G. Par conséquent, pour tout p ∈ XT , l’orbite G · v(p) engendre V.
Choisissons p0 ∈ XT tel que mλ (p0 ) soit minimal et notons e0 le vecteur
associé. Il fait partie d’une base (e0 , e1 , . . . , en ) de V formée de vecteurs propres
de Gm , où chaque ei est de poids mi , où m0 = mλ (p0 ) et où l’on peut supposer
m1 6 · · · 6 mn .
Soit (e∗0 , . . . , e∗n ) la base duale de V∗ .
Lemme 22.7. — On a m0 < m1 .
Démonstration. — Comme X n’est contenu dans aucun sous-espace W 6= V,
il existe v ∈ V tel que e∗i (v) 6= 0 pour i = 0, . . . , n et [v] ∈ X. Alors X contient
σv (0), la limite en 0 de λ(z) · [v], qui est un point fixe de λ(Gm ) et donc de T
dans X.
Si on avait m1 < m0 , alors σv (0) serait de poids m1 < m0 , contredisant la
minimalité de m0 . Donc m1 > m0 . Supposons m1 = m0 . L’ensemble
Z := {z ∈ k | ∃ v ∈ V tel que e∗0 (v) = 1, e∗1 (v) = z et [v] ∈ X}
est infini, car sinon X serait contenu dans une réunion finie d’hyperplans
d’équations e∗0 = 0 ou e∗1 = zi e∗0 , donc dans l’un d’eux (puisque X est irréductible), une contradiction. Mais tout z ∈ Z donne lieu à un point fixe pz de
196
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
λ(Gm ) dans X vérifiant
e∗0 (pz ) 6= 0
et
e∗1 (pz ) = ze∗0 (pz ).
En particulier, les pz sont deux à deux distincts. Ceci contredit le fait que
Xλ(Gm ) = XT est fini. Cette contradiction montre que m1 > m0 . Le lemme est
démontré.
Proposition 22.8. — Posons X(λ, p0 ) = {x ∈ X | e∗0 (x) 6= 0}. C’est un ouvert
affine, T-stable, de X. De plus, on a
X(λ, p0 ) = X(p0 ),
et X(λ, p0 ) est stable par J.
Démonstration. — Il est clair que U := X(λ, p0 ) est un ouvert affine, et il est
T-stable car e∗0 est un vecteur de poids pour T.
Démontrons la deuxième assertion. Soit x ∈ X(λ, p0 ). Comme m0 < mi
pour tout i > 1, alors λ(Gm )x contient p0 = [e0 ] dans son adhérence (comme
limite en 0). Ceci montre que
X(λ, p0 ) ⊆ X(p0 ).
D’autre part, soit x ∈ X(p0 ). Alors p0 ∈ Tx et donc l’orbite Tx rencontre
l’ouvert X(λ, p0 ). Comme ce dernier est T-stable, on obtient qu’il contient x.
Ceci montre que X(λ, p0 ) = X(p0 ).
∗
Montrons que X(λ, p0 ) est stable par J. Désignons par e⊥
0 l’hyperplan de V
∗
∗
orthogonal à e0 . Le groupe G agit rationnellement dans V et P(V ).
Lemme 22.9. — 1) Toute orbite de G dans P(V∗ ) rencontre l’ouvert P(V∗ ) \
P(e⊥
0 ).
2) Par conséquent, l’orbite G · [e0 ] est fermée dans P(V∗ ).
Démonstration. — Soit φ ∈ V∗ \ {0}. Si on avait Gφ ⊆ e⊥
0 alors φ serait
orthogonal à G · e0 , qui engendre V, et donc on aurait φ = 0, contradiction.
Ceci prouve la première assertion.
Montrons la seconde. Chaque e∗i est de poids −mi pour λ(Gm ), et comme
−mn 6 · · · 6 −m1 < −m0 ,
alors [e∗0 ] appartient à λ(Gm )x, pour tout x ∈ P(V∗ ) \ P(e⊥
0 ), et donc à l’adhé∗
rence de toute G-orbite dans P(V ), d’après le point 1). Ceci montre que
G · [e0 ] est une orbite de dimension minimale, donc fermée. Le lemme est
démontré.
22. SOUS-GROUPES DE CARTAN D’UN GROUPE RÉDUCTIF, D’APRÈS LUNA 197
Revenons à la démonstration de la proposition 22.8 et montrons que X(λ, p0 )
est stable par J. Notons P le stabilisateur dans G de [e∗0 ]. Puisque l’orbite G·[e∗0 ]
est fermée, donc complète, P est un sous-groupe parabolique de G. D’autre
part, e∗0 est vecteur propre de T, donc P contient T. On en déduit que P
contient un sous-groupe de Borel de G contenant T. Par conséquent, J est
contenu dans P donc stabilise la droite [e∗0 ] et donc l’ouvert
X(λ, p0 ) = {x ∈ X | e∗0 (x) 6= 0}.
(En fait, comme J est unipotent, il fixe non seulement la droite [e∗0 ] mais aussi
le vecteur e∗0 ). La proposition est démontrée.
On peut maintenant achever la preuve du théorème 22.6. On voit de voir que
X(p0 ) = X(λ, p0 ) est un ouvert affine de X, stable par T et par J. Soit p ∈ XT
arbitraire. Il existe n ∈ NG (T) tel que p = n · p0 . Alors X(p) égale n · X(p0 )
donc est un ouvert affine de X stable par T et par nJn−1 . Or, NG (T) permute
les sous-groupes de Borel contenant T et donc nJn−1 = J. Ceci termine la
démonstration du théorème 22.6.
Proposition 22.10 (Luna). — J agit trivialement sur X = G/B.
Démonstration. — Comme T est résoluble connexe et X complète, les seules
orbites fermées de T dans X sont les points fixes, et donc les X(p), pour p ∈ XT
recouvrent X.
Soit x ∈ X arbitraire. Comme J est résoluble connexe, Jx contient un point
y fixé par C. Soit p ∈ XT tel que y ∈ X(p). Alors X \ X(p) est un fermé stable
par J ; il ne peut rencontrer Jx car sinon il contiendrait Jx et son adhérence,
donc y, ce qui n’est pas le cas. Donc on a
Jx ⊆ X(p).
Comme J est unipotent et X(p) affine, l’orbite Jx est fermée dans X(p), d’après
le théorème de Kostant-Rosenlicht 22.1. Comme y ∈ X(p) ∩ Jx, on obtient que
y ∈ Jx, d’où Jx = Jy = y, puisque y est un point fixe de J ! Ceci montre que
x = y est fixé par J, et donc que J agit trivialement sur X. La proposition est
démontrée.
Corollaire 22.11 (Théorème de Chevalley). — On a J = {1}, c.-à-d., I(T) = T.
Démonstration. — Comme J agit trivialement sur X = B et est connexe et
unipotent, on obtient que
³ \
´0
J⊆
Bu = Ru (G).
B∈B
Comme Ru (G) = {1}, puisque G est supposé réductif, on obtient J = {1}.
Ceci prouve le corollaire, et donc le théorème 22.3.
198
(5 DÉC.) : SOUS-GROUPES DE BOREL ET VARIÉTÉS DE DRAPEAUX
Remarque 22.12. — L’hypothèse que G soit réductif n’est intervenue que dans
l’étape finale ci-dessus. Pour G un groupe linéaire connexe quelconque et T un
tore maximal de G, on peut définir J comme précédemment. Il est alors clair
que Ru (G) ⊆ J, et la démonstration précédente montre alors que J = Ru (G).
TABLE DES MATIÈRES
Séance du 18/9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Interlude sur les représentations de groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Représentations régulières gauche et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Intégration invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Théorème du point fixe de Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
5
5
6
6
Séance du 19/9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Représentations unitaires et théorème de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Représentations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Opérateurs à noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
11
12
16
16
17
18
19
Séance du 25/9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. L’algèbre des « fonctions représentatives » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Coefficients matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Fonctions représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Cas des groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Schur, Burnside et produits tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Résultats sur les modules semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Appendice : preuve du théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Théorème de Peter-Weyl (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Opérateurs à noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
21
23
24
25
26
28
29
29
ii
TABLE DES MATIÈRES
Séance du 26/9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Une conséquence du théorème de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Sous-groupes fermés de GLn (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Propriétés de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. L’algèbre de Lie d’un sous-groupe fermé de GLn (R) . . . . . . . . . . .
6.4. Composante connexe d’un groupe topologique . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
36
36
36
39
40
42
42
Séance du 2 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Groupes de Lie (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Variétés différentiables (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. « Rappels » de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Espace tangent en un point à une sous-variété de RN . . . . . . . . . .
7.4. Sous-variétés définies par des équations de rang constant . . . . . .
45
45
45
47
50
52
Séance du 3 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Groupes de Lie (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Dérivations et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Algèbre de Lie d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Retour aux sous-groupes fermés de GLn (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. Morphismes de groupes et d’algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
55
63
65
69
73
Partie II : Algèbres de Lie
Séances du 9 et 10 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Algèbres de Lie : définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Algèbres de Lie, idéaux, modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Algèbres de Lie résolubles ou nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Formes invariantes et forme de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Théorème d’Engel et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Théorème de Lie et critère de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Théorème de Lie et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Poids des algèbres de Lie nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Sous-algèbres de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Critère de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
75
80
82
85
87
87
90
93
97
Partie II : Algèbres de Lie
Séances du 16 et 17 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3. Racines d’une C-algèbre de Lie semi-simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1. Racines de h dans g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2. Algèbre enveloppante d’une k-algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
TABLE DES MATIÈRES
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
iii
Représentations de sl2 (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Retour à la preuve du théorème d’intégralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Passage à un R-espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Le système de racines R ⊂ h∗R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Partie II : Algèbres de Lie
Séances du 17 et 23 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3. Racines d’une C-algèbre de Lie semi-simple (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7. Le cas de sl2 (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4. Systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2. Systèmes de racines de rang 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3. Bases d’un système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.4. Matrices de Cartan, graphes de Coxeter, diagrammes de Dynkin 115
5. Classification des graphes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1. Premières réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2. Fin de la classification des graphes admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3. Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . . . . . . . . . . 121
6. Groupe de Weyl et classification des systèmes de racines . . . . . . . . . . . 122
Partie II : Algèbres de Lie
Séance du 24 octobre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6. Groupe de Weyl et classification des systèmes de racines (suite) . . . 125
6.1. Groupe de Weyl et conjugaison des bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2. Isomorphismes de systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3. Fin de la classification des systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7. Classification des C-algèbres de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.1. Le système de racines de g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2. Théorème d’existence et d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3. Type An−1 = sln (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4. Types B et D : groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.5. Type C : groupes symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Partie FI : Groupes et algèbres de Lie
Séance du 6 novembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Exponentielle et action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0. Un « rappel » sur espaces tangents et différentielles . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Champs de vecteurs et flots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Exponentielle d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Calcul différentiel sur G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. G-variétés et représentations d’isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Action adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Le yoga des -zateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
iv
TABLE DES MATIÈRES
Partie FI : Groupes et algèbres de Lie
Séance du 7 novembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Algèbres de Lie semi-simples compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. G- et g-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Automorphismes et dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. R-algèbres de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Revêtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Groupes de Lie semi-simples 1-connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Groupes et algèbres de Lie semi-simples compacts . . . . . . . . . . . . .
17
17
17
18
19
20
21
22
Partie FI :
R-algèbres de Lie semi-simples
séance du 13/11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Extension et restriction des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Extension des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Restriction des scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Formes réelles déployées ou bien compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Bases de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Formes déployées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Formes compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
31
31
34
36
Partie FI :
R-algèbres de Lie semi-simples
(suite)séance du 14/11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Astuce unitaire de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Involutions et décompositions de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Conjugaison par rapport à une forme réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Existence d’une décomposition de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Conjugaison des formes compactes et décompositions de Cartan
5.4. Correspondance entre formes réelles et involutions de g . . . . . . . .
5.5. R-algèbres de Lie absolument simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Aperçu de la classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
40
41
44
45
47
49
Partie FI :
Groupes algébriques affines
Séances 20-21 novembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Variétés algébriques affines (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Sous-variétés algébriques de k n et topologie de Zariski . . . . . . . . .
6.2. Applications polynômiales V → W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Le théorème des zéros de Hilbert et une équivalence de catégories
6.4. k-algèbres réduites et variété algébriques affines abstraites . . . . .
6.5. Morphismes : la bijection φ 7→ φ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Variétés finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
53
56
58
59
60
62
TABLE DES MATIÈRES
6.7. Factorisation d’un morphisme et immersions fermées . . . . . . . . . .
6.8. Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Groupes algébriques affines et algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Groupes algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Exemples de groupes algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Algèbres de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Exemples du point de vue Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Cogèbres et comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Représentations rationnelles des groupes algébriques affines . . .
7.7. Linéarité des groupes algébriques affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. G-variété affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Variétés algébriques, dimension, fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Espaces noethériens et composantes irréductibles . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Espaces annelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Variétés affines commes espaces annelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Prévariétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Produit de prévariétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Variétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8. Corps des fonctions rationnelles et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Image et fibres d’un morphisme, théorème de Chevalley . . . . . . .
9. Groupes algébriques, morphismes et orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1. Composante neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Lemme des deux ouverts et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Morphismes de groupes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Action sur une variété, stabilisateurs et orbites . . . . . . . . . . . . . . . .
v
63
65
66
66
66
68
71
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74
78
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80
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83
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90
90
90
91
92
93
Partie FI :
Variétés homogènes G/H
Séance du 27 novembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10. Propriétés locales d’une variété algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.1. Anneaux locaux et espaces tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2. Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.3. Morphismes séparables et morphismes birationnels . . . . . . . . . . . 98
10.4. Variétés homogènes : définition et premiers résultats . . . . . . . . . 101
10.5. Points lisses et points normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.6. Théorème principal de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11. Espaces tangents et différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.1. Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.2. Espaces tangents et dérivations ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.3. Différentielle d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.4. Distributions à support dans un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
vi
TABLE DES MATIÈRES
12. Algèbre de Lie d’un groupe algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.1. Dérivations invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.2. L’algèbre des distributions à l’origine (cas affine) . . . . . . . . . . . . . 113
12.3. L’algèbre des distributions à l’origine (cas général) . . . . . . . . . . . 114
12.4. Équivalence des deux constructions et fonctorialité . . . . . . . . . . . 116
12.5. Exemples de GLn et SLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.6. Action dérivée de Dist(G) sur une représentation de G . . . . . . . 118
12.7. Actions adjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13. Différentielles, lissité et séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.1. Module des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.2. Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13.3. Retour aux différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.4. Application géométrique : différentielles et espaces cotangents 130
13.5. Critères de séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.6. Localisation de modules et de morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.7. Séparabilité et différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.8. Application aux espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
14. Quotients G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.1. Morphismes plats et théorème de platitude générique . . . . . . . . . 138
14.2. Espace projectif d’un G-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.3. Le théorème des semi-invariants de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14.4. Unicité de G/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
14.5. Caractères, lemme de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14.6. Quotient par un sous-groupe fermé normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
(28 nov.) : Groupes diagonalisables, unipotents, résolubles . . . . 149
15. Décomposition de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
15.1. Décomposition de Jordan dans End (V) et GL(V) . . . . . . . . . . . . 149
15.2. Décomposition de Jordan pour les groupes algébriques affines 151
15.3. Groupes unipotents ou diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
15.4. Groupes algébriques affines commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
16. Groupes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
16.1. Groupes diagonalisables et d-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
16.2. Tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
16.3. Rigidité des groupes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
16.4. Le couplage X(T) × X∨ (T) → Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
17. Résolubilité et nilpotence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
17.1. Sous-groupe engendré par des parties irréductibles . . . . . . . . . . . 162
17.2. Groupes résolubles et nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
17.3. Exemple fondamental : les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . 164
18. Théorèmes de Lie-Kolchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.1. Théorème de Burnside et Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
TABLE DES MATIÈRES
vii
18.2. Groupes unipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
18.3. Groupes résolubles connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
19. Structure des groupes résolubles connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
19.1. Le théorème de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
19.2. Groupes nilpotents connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
19.3. Un lemme-clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
19.4. Sections de G → G/Gu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
19.5. Conjugaison des tores maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
(5 déc.) : Sous-groupes de Borel et variétés de drapeaux . . . . . . . 175
20. Théorème du point fixe et sous-groupes de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
20.1. Morphismes propres et variétés complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
20.2. Théorème du point fixe de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
20.3. Sous-groupes et paires de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
20.4. Centralisateurs de tores, sous-groupes de Cartan . . . . . . . . . . . . . 180
20.5. La réunion des sous-groupes de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20.6. Connexité des centralisateurs de tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.7. Normalisateur d’un sous-groupe de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
21. Géométrie de la variété des drapeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
21.1. Radical et radical unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
21.2. Groupes réductifs et semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
21.3. La variété des sous-groupes de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
21.4. Groupe de Weyl et points fixes de T dans B . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
21.5. Action d’un tore dans P(V) et conséquences pour B . . . . . . . . . 189
22. Sous-groupes de Cartan d’un groupe réductif, d’après Luna . . . . . . . 193
22.1. Théorème de Kostant-Rosenlicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
22.2. Sous-groupes de Cartan et radical unipotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
22.3. La démonstration de Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
viii
TABLE DES MATIÈRES
Bibliographie
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[AM]
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