Primitives de Fonctions – Calcul Intégral ∫

Primitives de Fonctions – Calcul Intégral
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I– Primitives d’une fonction numérique :
1- Activité : Soit la fonction f : x ֏ 2x + 3 ;
Calculer la dérivée de chacune des fonctions F ; G ; H définies par :
2
3

F ( x) = x + 3 x + 10 ; G ( x) = x + 3 x − 17 ; H ( x) =  x +  + 11 . Que remarque-t-on ?
2

Pour tout x de Df , F’(x) = f (x) ; G’(x)= f (x) ; H’(x) = f (x).
2
2
On dit que F ; G ; H sont des primitives de f sur Df.
2- Définition :
Soit f une fonction définie sur une partie non vide [a ; b] de ℝ. On appelle
fonction primitive de f sur [a ; b], toute fonction F telle que :
∀ x ε [a ; b] , F’(x) = f (x).
a pour Dérivée
3- Notations: Pr im f = F
ou
[ a;b ]
∫ f ( x)dx = F ( x)
; .
[ Prim f = F ] ⇔ [ ∀ x ε [a ; b] , F’(x) = f (x) ]
fɅ
f
a pour Primitive
4- Remarques :
• Si f est continue sur [a ; b] alors sa primitive F est continue sur [a ; b]
( car F est dérivable sur [a ; b] ).
• Les fonctions qui à x ֏F(x) + C (Cεℝ) sont appelées les primitives de f
sur [a ; b]
5- Théorème (admis) :
a) Si F est une primitive de f sur [a ; b], toute autre primitive G de f sur
[a ; b] est de la forme : G(x) = F(x) + C.
b) Si f admet de primitives sur [a ; b], il en existe une et une seule
prenant au point x0 donné une valeur y0 donnée.
Exemple : Soit la fonction f définie par f(x)= cosx. Trouver la primitive F de f
qui s’annule pour x =
π
4
et celle qui prend la valeur 2 pour x =
3π
.
4
6- Propriétés :
Soient f et g deux fonctions définies sur [a ; b] ; F et G leurs primitives
respectives sur [a ; b] .
a) Prim (f+g) = Prim (f) + Prim (g) = F + G + Cste.
b) Soit α un réel, Prim (α f) = α Prim (f).
c) Prim (f’ × g) = [ f × g ]–Prim (f × g’) (appelée Formule de primitivation par parties ).
Exemple : Trouver les primitives de f définie par f(x) = x sinx.
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7- Calcul de Primitives :
a) Primitives de fonctions usuelles: Soient f ; u et v des fonctions numériques.
Fonctions f définies par
Fonctions Primitives F
f(x) = 0
F(x) = c
f(x) = a
F(x) = a x + c
n
f(x) = a x
a x n +1
F ( x) =
f(x) =
+c
n +1
−1
F ( x) =
+c
x
x r +1
F ( x) =
+c
r +1
F ( x) = 2 x + c
1
x2
f(x) = x r
f(x) =
1
x
f(x) = (x–a)m ; m ≠ -1
F(x) = (a x + b)n; n ≠ -1
f(x) =
f(x) =
f(x) =
F ( x) = ln u ( x) + c
u ' ( x)
u ( x)
F ( x) =
u ' ( x)
2 u ( x)
u ' ( x) × v ( x ) − v ' ( x) × u ( x)
( v( x) )
2
f(x) = u’(x).un(x)
f(x) =
( x − a ) m +1
F ( x) =
+c
m +1
(a x + b) n+1
F ( x) =
+c
a (n + 1)
u ' ( x)
( u ( x ) )n
F ( x) =
; u ( x) ≠ 0
u ( x ) + c ; u ( x) f 0
u ( x)
+ c ; v( x) ≠ 0
v ( x)
U n +1 ( x)
F ( x) =
+c
n +1
−1
F ( x) =
+ c ; n ≠1
n −1
(n − 1)(u ( x) )
b) Primitives de fonction circulaires :
Sinx
Dérivée
Primitive
N.B : Cette nouvelle technique
que je mets à votre disposition
vous permettra de retenir le plus – cosx
simplement possible la dérivée
et la primitive des fonctions
Sinus et Cosinus
O
cosx
– Sinx
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Fonction f définies par
f (x) = cosx
f (x) = cos (ax + b)
Fonctions Primitives F
F(x) = sinx + c
f (x) = sinx
f (x) = sin (ax + b)
F(x) = – cosx + c
F(x) =
F(x) = −
1
sin (ax + b) + c
a
1
cos (ax + b) + c
a
F(x) = tgx + c
1
= 1 + tg 2 x
2
cos x
1
f (x) =
2
cos (ax + b)
1
f (x) =
= 1 + ctg 2 x
sin 2 x
1
f (x) =
2
sin (ax + b)
f (x) =
F(x) =
1
tg (ax + b) + c
a
F(x) = – cotgx + c
1
a
F(x) = − cot g (ax + b) + c
c) Cas divers :
Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
f(x) = cos2xsin3x ; h(x) = cos4x
;
f(x) =
1
.
cos 4 x
(Méthodes utilisées: linéarisation, transformations trigonométriques)
1
cos 2 x + sin 2 x cos 2 x sin 2 x
1
1
=
=
+
=
+
× tan 2 x d’où
4
4
4
4
2
2
cos x
cos x
cos x cos x cos x cos x
1
F ( x) = tan x + tan 3 x + c
3
f ( x) =
d) Primitives de sin n x × cos p x où n et p sont des entiers naturels non nuls :
• Si n ou p est impaire : f ( x) = cos 5 x sin 8 x .
(prendre la puissance impaire cos5x = cosxcos4x) ;
d’où f(x)= cosxsin8x–2cosxsin10x+cosxsin12x et on a
F(x) =
1 9
2
1
sin x − sin 11 x + sin 13 x + c .
9
11
13
• Si n et p sont paires : (utiliser les relations suivantes)
cos 2 x =
1 + cos 2 x
2
;
sin 2 x =
1 − cos 2 x
2
Exemples : f ( x) = cos 4 x sin 2 x
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;
;
sin 2 x = 2 sin x cos x .
h( x) = sin 2 x cos 2 x .
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II – Calcul Intégral :
1- Définition : Soit F une primitive d’une fonction f sur [a ; b].
On appelle intégrale définie de f sur [a ; b] le réel noté :
∫
.
b
f (t )dt =
a
[F (t) ]
b
a
= F (b) − F (a ) .
2- Théorèmes : on admettra les théorèmes suivants
a) Théorème 1: Toute fonction continue sur [a ; b] est intégrable sur [a ; b].
b) Théorème 2: Toute fonction monotone et bornée sur [a ; b] est intégrable sur [a ; b].
3- Propriétés :
b
c
a) ∫ a f (t ) dt + ∫b f (t )dt =
b)
c)
d)
e)
∫
∫
∫
∫
a
a
b
a
b
a
b
a
∫
c
a
f (t )dt ;
f (t )dt = 0 ;
a
f (t )dt = − ∫ f (t )dt ;
b
b
b
a
a
( f + g )(t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ g (t )dt ;
b
λ f (t )dt = λ ∫ f (t )dt ;
a
f) Si f ≥ 0 sur [a ; b] ; alors
g) Si f ≥ g sur [a ; b] ; alors
h)
∫
b
a
∫
∫
b
a
b
a
f (t )dt ≥ 0 ;
b
f (t )dt ≥ ∫ g (t )dt ;
a
f ' (t )dt = [ f (t ) ] a = f (b) − f (a ) .
b
4- Définition :
On appelle moyenne de l’intégrale sur [a ; b] le nombre :
. m=
b
1
f (t )dt
∫
b−a a
.
5- Intégration par parties :
Soient u et v deux fonctions dérivables donc continues sur [a ; b] .
(u v)’ = u’v – v’u ⇔ Prim(u’v)= [uv] – Prim(uv’) donc pour tout x ε [a ; b] ,
on a :
La formule d’intégration par parties
∫
b
a
U ( x) × V ' ( x) dx = [ U ( x) × V ( x) ] a −
b
∫
b
a
U ' ( x) × V ( x) dx .
π
Exemples : Soient I = ∫0 t cos t dt et J = ∫02 x sin x dx .
x
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III – Applications du Calcul Intégral :
1. Calcul d’aires :
Si f est intégrable et positive sur [a ; b] ,
∫
b
a
f ( x)dx donne l’aire A du domaine
D compris entre l’axe des abscisses, la droite d’équation x = a ; x = b et la
courbe (Cf) de f sur [a ; b].
y
Cf
b
A = ∫ f ( x)dx
a
D
o
a
b
x
2- Conséquences :
Les configurations ci-dessous nous donnent les aires des domaines D.
y
y
b
a
o
+
c
x
D
o
b
a
–
b
A = − ∫ f ( x)dx
a
Cf
c
b
a
c
A = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx
a)
b)
y
Cg
D
c)
Cf
O
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a
A=∫
b
a
[ f ( x) − g ( x) ] dx
b x
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Exemple :
Soit la fonction f définie sur [– 4 ;2] par f ( x) = x 2 + x − 2 .Soit (Cf) sa courbe
représentative dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2cm sur
l’axe des abscisses et 1cm sur l’axe des ordonnées.
Déterminer l’aire A du domaine limité par l’axe des abscisses les droites
d’équations x = – 4 ; x = 2 et par la courbe (Cf) de f.
y
10
Cf
4
–1
–4
–2
–3
0 – 1
–2
x
2
f est positive sur [–4 ; –2] et sur [1 ; 2] ; f est négative sur [–2 ;1] ; On a :
A=∫
−2
−4
f ( x)dx − ∫
1
−2
f ( x)dx + ∫
2
1
f ( x)dx = 15 u.a .
3- Unité d’aire :
L’aire d’un domaine est mesurée en unité d’aire (U.a).
L’unité d’aire
1 u.a = 2 × 3 cm2 = 6 cm2
L’unité d’aire
1 u.a = 2 cm2
2
2
j
j
O i
1
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O
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i
3
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4- Volume d’un solide de révolution :
a) Théorème 3 : Le volume engendré par une aire plane limitée par l’axe
(x’ox), les droites d’équations x = a ; x = b (a < b) et l’arc de courbe
d’équation y = f(x) est donné la formule :
b
. V = π ∫ a [ f ( x) ] 2 dx .
b) Exemple : Le volume limité par l’arc de sinusoïde d’équation y = sinx, x
ε [0 ; π] tournant autour de l’axe (ox).
y
1
π
0
π
2
x
–1
V =π
∫
π
0
sin xdx = π
2
∫
π
0
π
2
1 − cos 2 x
1
1

π
 π
dx = π  x − sin 2 x  = π  − 0  =
.
2
4
2
0
 2
 2
IV – Changement de variable affine :
Soient f et g deux fonctions où g est une fonction affine définie par g(x) = ax + b.
1 an+b
n
L’intégrale de la forme : ∫m f (ax + b) dx = ∫am+b f (u ) du .
a
En effet en posant : u = ax + b alors du = a dx et dx =
1
du.
a
Cherchons les nouvelles bornes
u = ax + b
Si x = m

 Si x = n
alors
u = am + b
alors u = an + b
.
Exemple ;
1
Soit à calculer I = ∫0
x
dx . On pose u = 2x +1 ⇒ du = 2dx et dx =
1
du.
2
1 + 2x
u −1
2x = u −1 ⇒ x =
. Donc cherchons les nouvelles bornes :
2
 Si x = 0 alors u = 1

Si x = 1 alors u = 3
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1
par suite on obtient I = .
3
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V – Valeur approchée d’une intégrale (méthode des rectangles) :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et [a ; b] ⊂ I.
Supposons que f ne possède pas de primitives connues.
b
Cherchons une valeur approchée de K = ∫ a f (t )dt .
Activité 1 : Partageons [a ; b] en n intervalles de même amplitude h =
b−a
n
(ou n subdivisions égales). Déterminer les bornes : x0 ; x1 ; x2 ; …. ; xn de ces
intervalles.
Réponses:
x0 = a ; x1 = a +
(b − a )
(b − a )
(b − a )
b−a
; x2 = a + 2
; …. ; xi = a + i
; xn = a + n
=b .
n
n
n
n
Activité 2 : f est donnée par sa représentation graphique ci-dessous.
(Cf)
a) Construire dans le plan les rectangles de
côtés (xi – xi –1) et f (xi –1) dans le cas ( n = 5 )
subdivisions.
* Comparez dans le plan la somme K1 des
aires de ces rectangles et l’aire que représente
K. Donnez l’expression de K1.
f (x )
5
f (x )
0
a x1 x2
x0
x3
Réponses : K1≤ K et K 1 =
x4
b
x5
n
n
i =1
i =1
∑ ( xi − xi −1 ) f ( xi −1 ) = ∑
b−a
f ( x i −1 ) .
n
Posons j = i –1
 pour i =1, j =0 ⇒ K = b − a n∑−1 f ( x ) ⇔ K = b − a n∑−1f ( x ) . car i et j sont
 pour i = n , j = n −1
1 n
j
1 n
i

j =0
i =0
des var iables muettes .
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b) même questions pour les rectangles de côtés (xi – xi –1) et f (xi).
(Cf)
f (x )
5
f (x )
1
x0 = a
x1 x2
x3 x4 x5 =b
K ≤ K2 ;
b−a
K 2 = ∑ ( x i − x i −1 ) f ( x i ) = ∑
f ( xi )
n
i =1
i =1
n
n
⇔
b−a n
K2 =
∑ f ( xi ) .
n i =1
c) Donner un encadrement de K.
K1 ≤ K ≤K2
b − a n −1
∑ f ( xi ) ≤
n i =0
∫
b
a
f (t )dt ≤
b−a n
∑ f ( xi ) .
n i =1
On dit que K1 et K2 sont deux valeurs approchées de K obtenues par la
méthode des rectangles.
Remarque :
Si f est monotone sur [a ; b] ces deux valeurs approchées réalisent un
encadrement de K. Par contre si f n’est pas monotone ce n’est plus le
cas.(on ne pas préciser laquelle des deux valeurs K1 ou K2 est la meilleur
valeur approchée de K). Ceci nous amène à étudier l’erreur commise en
remplaçant K par l’une de ces valeurs approchées.
L’erreur e commise est telle que : |e| ≤ M
(b − a )2 , où M est un majorant de
2n
| f Ʌ(x)| sur [a ; b] et n le nombre de subdivisions.
1
Exemple : Soit à calculer K = ∫0
1
dx . Donner un encadrement de K puis
1 + x2
une valeur approchée de K en utilisant la méthode des rectangles pour
n = 10 subdivisions.
---- 0 ---Posons f ( x) =
1
; 0 ≤1 ⇒ f (0) ≥ f (1) donc f est décroissante sur [0 ; 1] et
1 + x2
on a :
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1 n
∑ f ( xi ) ≤
10 i =1
K2 ≤ K ≤ K1 . Pour n = 10 on a :
∫
1
f ( x)dx ≤
0
1
10
n −1
∑ f (x )
i
i =0
Posons d2(f(xi)) = approximation décimale d’ordre 2 par défaut de f(xi).
Et e2(f(xi)) = approximation décimale d’ordre 2 par excès de f(xi).
i
xi
d2(f(xi))
e2(f(xi))
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 Totaux
1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10
1
0,99 0,96 0,91 0,86 0,80 0,73 0,67 0,60 0,55 0,50 7,57
1
0,97 0,92 0,87 0,81 0,74 0,68 0,61 0,56
8,16
1
K2 =
1
× 7,57 = 0,757 ;
10
K1 =
1
× 8,16 = 0,816 .
10
D’où l’encadrement de K est : 0,757 ≤ K ≤ 0,816.
Donc une valeur approchée de K est :
K 2 + K1
= 0,7865
2
K=
;
K ≈ 0,79 à 10 − 2 près (arrondi d ' ordre 2 ) .
---- 0 ---K =∫
1
0
1
2
dx ; posons x = tanα ⇒ dx = ( 1 + tan α) dα.
2
1+ x
x2 = tan2α
Nouvelles bornes :
1
D’où K = ∫0
 si
Si

x = tanα
1
dx =
1+ x2
∫
π
1 + x2 = 1 + tan2α .
⇒
x = 0 alors
tan α = 0 ⇒ α = 0
x = 1 alors
tan α = 1 ⇒
(1 + tan α )
dα =
(1 + tan 2 α )
2
4
0
∫
π
4
0
dα = [ α ]
π
4
0
=
π
4
α=
π.
4
= 0,785 ≈ 0,79 .
VI – Majoration de l’intégrale d’une fonction continue :
1) Théorème : Supposons a<
< b et f une fonction continue sur [a ; b].
Alors on a :
∫
b
a
f (t )dt ≤
∫
b
a
f (t ) dt .
Preuve
En effet nous avons : –| f (t)| ≤ f (t) ≤| f (t)| d’où par croissance de
l’intégrale
−∫
b
a
∫
b
a
− f (t ) dt ≤
b
f (t ) dt ≤ ∫ f (t )dt ≤
a
∫
b
a
∫
b
a
f (t )dt ≤
∫
b
a
f (t ) dt d’où
f (t ) dt or
∫
b
a
f (t )dt ≤
∫
b
− f (t ) dt = − ∫
a
∫
b
a
b
a
f (t ) dt donc
f (t ) dt .
2) Inégalité de la moyenne :
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, m et M des
nombres réels, a et b des éléments de I.
b
- Si m ≤ f ≤ M sur I et si a≤
≤b alors m(b–a) ≤ ∫ a f (t ) dt ≤ M(b–a) ;
- Si | f ’|≤
≤M sur I alors
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∫
b
a
f (t )dt ≤ M (b − a ) .
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