Donner la ou les réponses justes. Soit A, B deux

Exemples de questions de sujets d'oraux possibles.
Session 2013.
Complexes.
Donner la ou les réponses justes.
Soit A, B deux points d'affixes respectives :
i
a =− 5 i  15

b=4 e 6
et
2n
a. Soit n ∈ℕ;. Un argument de a n est
3
b. O appartient à la médiatrice de [AB].
c. OAB est un triangle rectangle.
d. Le cercle circonscrit à OAB a pour rayon 3
1 i√3
a. l'argument de an est n×arg ( a ) ; a=√ 5 (−1+i √ 3 )=2 √ 5 − +
2
2
est Vrai
(
) et arg ( a)= 23π
donc a.
b est faux car OA≠OB il suffit d'observer les modules de a et b. ∣a∣=2 √ 5 et ∣b∣=4
OA , ⃗
OB )=arg ( b−a ) = π − − π = π . La réponse c. est Vrai Le triangle est rectangle en O
c (⃗
6
3
2
(
)
d. Théorème de la médiane : K milieu de l’hypoténuse [AB] est le centre du cercle circonscrit du
AB
triangle rectangle et le rayon est alors OK=
or AB=∣b−a∣=6 (calculatrice) donc d est vrai.
2
Espace
Vrai/Faux
{
x =−4 t
La droite y =1 3 t , t ∈ ℝ et le plan P : x − 2 y 5 z = 0 ne sont ni orthogonaux ni parallèles.
z =22 t
−4
1
⃗
u 3 est vecteur directeur de la droite. ⃗
n : −2 est vecteur normal de P.
2
5
( )
( )
⃗
u et ⃗
n ne sont pas colinéaires donc la droite n'est pas orthogonale au plan.
u .⃗
n =−4×1+3×(−2 ) +2×5=−4−6+10=0 Les vecteurs sont orthogonaux la droite et le plan
⃗
sont parallèles. L'affirmation est donc fausse
Donner la ou les bonnes réponses.
Dans un repéré orthonormé, soit P le plan d'équation 2 x 3 y − z  4 = 0 et d la droite de
représentation paramétrique :
{
x=t
t ∈ℝ
y =t
z = 8 t
a. .P et d sont sécants.
dans .P.
b. P et d sont strictement parallèles.
c. d est incluse
même raisonnement, les vecteurs ne sont pas orthogonaux danc la droite et le plan ne sont pas
parallèles et c'est a qui est vrai
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Intégration
Donner la ou les réponses justes...
La valeur moyenne de :
a. la fonction cosinus sur [ 0 ;  ] est 0.
b. la fonction inverse sur
[ ]
1
; e est 2.
e
la valeur moyenne d'une fonction continue sur [a,b] est
b
1
f ( t ) dt alors.
∫
b−a a
π
1
1
1
1
π
cos ( t ) dt= π [−sin ( t ) ]0 = π (−sin ( π ) −( −sin ( 0 ) ) )= π ( 0−0 ) =0 a. est vrai.
∫
0
π−0
1
e−
e
1
e
∫1
e
1
e
e
1
e
2e
e
dt= 2
[ ln ( t ) ] 1 = 2
ln ( e ) −ln
= 2
×2= 2
b. est faux
t
e
e −1
e −1
e −1
e −1
e
(
( ))
Donner la ou les réponses justes...
4
K= ∫
2
3x
d x=
x 2 −1
a. 3 ln 12
1
ln 125
2
b.
c.
3
ln 12
2
d. autre
Il faut calculer l'intégrale pour justifier. (L'utilisation correcte de la calculatrice peut aussi servir ici)
Soit u ( x ) =x 2−1 alors u' ( x ) =2 x et
u' ( x )
2x
2
3x
3x
3 u' ( x )
= 2
= × 2
=
ainsi : f ( x ) = 2
u ( x ) x −1 3 x −1
x −1 2 u ( x )
u'
est ln ( u ) si u est positive sur I. Ici I=[2;4] et u est positive
u
3
sur I. Une primitive de f est donc : ln ( u ) de là :
2
4
3 ( 2 )
3
3
15
3
K= ln x −1 = ( ln ( 15 ) −ln ( 3 ) ) = ln
= ln ( 5 )
2
2
2
3
2
2
!!!!! Dans les réponse proposé ln(12) est là comme piège à ln(15)-ln(3) Faites attention. !!!!
Vous pouvez répondre d. autre avec la bonne réponse mais il faut aussi observer que 125=5 3 et
donc que ln ( 125 ) =ln ( 53 ) =3 ln ( 5 ) donc b. est aussi réponse vraie.
Or je sais qu'une primitive sur I de
[
]
( )
Loi continues.
Quand Brad joue avec son jeu vidéo, la durée de vie moyenne du monstre qu'il combat est 10
minutes. On admet que la variable aléatoire T qui associe à une partie jouée la durée de vie du
monstre, en minutes, suit une loi exponentielle de paramètre  .
1. Justifier que la valeur de  est 0,1.
2. Quelle est la probabilité que le monstre
a. .Soit encore en vie après dix minutes.
b. périsse avant la vingtième minute ?
c. soit encore combatif à la cinquième minute et succombe avant la dixième ?
3. Au bout d'un quart d'heure, le monstre est encore vaillant.
Calculer la probabilité qu'il ne survive pas au-delà de vingt-cinq minutes.
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1. Cours l'espérance d'une loi exponentielle est l'inverse du paramètre λ donc :
1
E ( X )= ⇔ λ=0,1
λ
Il faut dans cet exercice savoir rappeler qu'elle est la définition du calcul de la probabilité de
la loi exponentielle....
Rappel cours...
On définit alors une loi de probabilité X sur [0,+ õ [ appelé loi exponentielle de
paramètre λ en posant : pour tous 0ÂcÂd
d
d
P ( c ⩽X ⩽d ) =∫c λ e−λ t d t =[ −eλ t ] c
On a encore :
a
P ( xÂa )=p ( X < a )=∫0 f λ ( t ) d t =1 −e−λ a
et
P ( X⩾a )=1 −P ( XÂa )=1 − ( 1−e−λ a )=e−λ a
f λ la fonction définie sur [ 0;+ õ[ par : f λ ( t )=λ e−λ t est la fonction d e n s i t é de
la loi E ( λ )
En pratique X désigne souvent durée de vie, exprimée en années, d’un noyau
radioactif ou d’un composant électronique , la durée d’un temps d’attente etc…
P ( c < X < d ) s’interprète comme la
mesure de l’aire représentée par
l’intégrale.
2. P ( T⩾10 )=0 ,368 calculatrice direct..ou e^(-0,1 × 10)=e^-1=1/e≈0,368
3. P ( T⩽20 )=0 ,865 idem
4. PT⩾5 ( T⩽10 )=P ( T⩽5 ) ≈0,393 j'utilise ici la propriété de durée de vie sans vieillissement
de la loi exponentielle (voir propriété 2 et sa démo p 404)
Le calcul peut aussi se faire à la main à partir de la définition de la probabilité
conditionnelle.
Soit Y une variable aléatoire suivant la loi normale N  9 ; 22  et U la variable centrée réduite
associée.
1. La probabilité P  Y 7  est égale à :
a. P  Y 11  b. 1 − P  Y 11 
c. P  U 1 
d. P  U 1 
2. On donne P  U  0,5  =0⋅691. On a alors :
a. P  Y 10  = 0,691
c. P  U −0,5  = 0,691
b. P  Y 10  = 0⋅691
d. P  −0,5 U  0,5  =−0⋅382
1. bonnes réponses 1a. Pour comprendre voir le cours sur la loi normale : la courbe de la densité est
symétrique par rapport à la droite d'équation x=μ=E ( Y ) ici μ=E ( Y ) =9
Y−μ Y−9
mais aussi 1d puisque U= σ =
2
2. ( U<0 , 5 ) ⇔ ( Y<10 ) donc b. est vrai.
aussi ( Y⩾11 ) ⇔ ( U⩾1 )
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Par symétrie de la courbe P(U<0,5)=P(U>0,5) donc c. est vrai.
d. ne peut être vrai une probabilité n'étant jamais négative.
Une usine utilise une machine automatique pour remplir des sachets de fleur de sel. Sur chaque
sachet, le poids net de fleur de sel annoncé est 200 g.
Mais une observation statistique montre qu'en fait, le poids net de sel par sachet suit une loi normale
de moyenne  et d'écart type  = 0.9 g.
La machine est réglée sur  = 201.6 g.
Quelle est la probabilité que le poids net de sel d'un sachet quelconque soit inférieur au poids
annoncé ?
Sur quelle valeur de  faut-il régler la machine pour qu'au plus 3 % des sachets aient un poids de
sel inférieur a 200 g ?
Y suit N( 201.6 ; 0.9²) alors P ( Y⩽200 )≈0,0377
(calculatrice)
Si Y suit N( μ ; 0.9²) alors P ( Y⩽200 ) ⩽0 ,03 dès que μ⩾201 ,7 (par essais...)
Analyse
ex
{
}
I. Soit f la fonction définie sur ℝ− 1 par : f  x  =
1− x
Justifier rapidement tous les éléments qui figurent dans le tableau de variation de f .
x
signe de f ′
−∞
1
2
0
−e 2
+
+
+∞
+∞
-
f
0
-∞
-∞
Il faut dériver, signe de la dérivée et limites...
II. On définit la suite  u n  n ∈ℕ par u0 = 1 et, pour tout n 0 un 1 =−2 un 9 , .
Démontrer que , pour tout entier n 0 un =  −2  n 1  3 .
Démonstration par récurrence... initialisation en n=0 simple , hérédité si vrai en k alors
uk +1 =−2uk + 9=−2 ( (−2 )
k +1
+3 ) + 9=(−2 )
k+2
−6+9= (−2 )
k +2
+3 ….
III.
a) Résoudre l’inéquation ( I ) : 2e
4x−2
−6< 0
b) Résoudre l’équation ( E ) : ln ( 2 x – 1 ) + ln ( 2 x+1 ) =ln ( x+2 )
a) ⇔ e4 x−2 <3⇔ 4 x−2< ln (3 ) ⇔ x<
2+ln ( 3 )
domaine d'étude ℝ
4
b) Domaine d'étude ( 2 x−1>0 et 2 x+1>0 et x+2>0 ) ⇔ x>
1
dans ce cas,
2
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( E ) ⇔ ln
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( ( 2 x−1x+2) ( 2 x +1) )=0 ⇔ ( 2 x−1x+2) ( 2 x +1 ) =e =1 ⇔4 x −1=x+2 ⇔ 4 x²−x−3=0
0
2
cette dernière équation du 2nd admet deux solutions réelles : 1 et −
3
mais comme
4
x∈ ] 1: 2;+∞ [ seule x =1 est une solution de (E).
Échantillonnage.
Un grossiste a acheté 50000 clés USB à un fabricant qui lui a certifié que 60 % avaient une capacité
de 4 Go et 40 % une capacité de 2 Go.
Un technicien prélève au hasard 400 clés USB parmi les quelles 220 ont une capacité de 4 Go.
a) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clés de 4
Go pour un échantillon de taille 400
b) Quelle hypothèse le technicien peut-il tester par cette méthode ?
c) Le technicien doit-il alerter son patron ?
La situation est bien telle que n=400>30 np=400**0,6>5 e n(1-p)=400**0,4>5
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de clés de 4Go
]
est alors : In = p − 1,96
[
√ p (1 − p ) ; p+1, 96 √ p ( 1− p ) avec p=0,6 et n=400 on obtient :
√n
√n
I400= ] 0,552 ; 0 ,648 [
b) il peut tester si la proportion annoncée par le fabricant est bien raisonnable avec un risque de
5 % de se tromper.
c)
220
=0 ,550 cette valeur n'appartient pas à I400 donc il peut rejeter l'hypothèse de
400
60 % avec 5 % de risque de se tromper... Il signale au patron...
26 % des français se déclarent allergiques aux pollens de fleurs. On étudie la fréquence f des
personnes allergiques sur un échantillon de 400 personnes.
1. Sous l'hypothèse p = 0.26. déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de
la variable aléatoire F correspondant a la fréquence de personnes allergiques sur un échantillon de
taille 400.
2. Sur les 400 personnes, on trouve 120 personnes allergiques. Au seuil de décision de 5 %, peut-on
considérer que l'échantillon observé présente un nombre anormal de personnes allergiques ?
1. n=400>30 , np=400×0,26>5 et n ( 1− p ) >5 les conditions sont réunies et comme
précédemment IF=]0,217;0,303[.
2.
120
=0 , 3∈IF L'hypothèse p=26 % ne peut être rejetée avec un risque inférieur à 0,05
400