s3062

Solution – Probabilités – Variables Aléatoires Continues – s3062
On estime que le nombre total de milliers de kilomètres que peut parcourir une voiture avant d'être mise
à la ferraille est une variable aléatoire exponentielle X de paramètre λ =
1
.
75
Une voiture n'ayant parcouru que 10 000 km est à vendre.
1/ Quelle est la probabilité pour que cette voiture soit utilisable pendant encore au moins 50 000 km ?
Une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ , admet pour densité de
 t < 0 ⇒ f(t ) = 0
- λt .
 t ≥ 0 ⇒ f(t) = λe
probabilité : 
Sa fonction de répartition est F(x) =
⌠-∞x f(t ) dt .
⌡
 x < 0 ⇒ F(x) = 0

-λx
 x ≥ 0 ⇒ F(x) = 1 – e
.
Pour tous réels a et b tels que a ≤ b :
La probabilité d'obtenir a ≤ X ≤ b est p(a ≤ X ≤ b) =
b
⌠
⌡a f(t ) dt = F(b ) – F(a ) .
⌠-∞ f(t ) dt = F(a) .
p(X ≤ a) = ⌡
a
p(X ≥ b) = ⌠
⌡b
+∞
f(t) dt = 1 –
b
⌠
⌡-∞ f(t ) dt = 1 – F(b) .
Soit l'événement A : "La voiture a une durée de vie d'au moins 10 000 km" , soit X ≥ 10 .
Soit l'événement B : "La voiture a une durée de vie d'au moins 50 000 km" , soit X ≥ 50 .
On cherche la probabilité de l'évênement C = B/A .
p(A ∩ B) = p(B) et p(A ∩ B) = p(A) × p(B/A) , soit p(B/A) =
p(B)
.
p(A)
p(A) = p(X ≥ 10) = 1 – F(10) = 1 – (1 – e-10λ) = e-10λ = e-10/75 = e-2/15 .
p(B) = p(X ≥ 50) = 1 – F(50) = 1 – (1 – e-50λ) = e-50λ = e-50/75 = e-10/15 .
p(B/A) =
p(B) e-10/15 -8/15
=
=e
≈ 0,587 par excès, soit 58,7% de chances.
p(A) e-2/15
Remarque : Une loi exponentielle est dite sans mémoire :
La probabilité d'une durée de vie de 40 000 km au moins, ne dépend pas du fait que l'on ait précédemment
parcouru 10 000 km ou non.
Soit l'événement D : "La voiture a une durée de vie d'au moins 40 000 km" , soit X ≥ 40 .
p(D) = p(X ≥ 40) = 1 – F(40) = 1 – (1 – e-40λ) = e-40λ = e-40/75 = e-8/15 = p(B/A) .
1
2/ Reprendre la question en estimant que la durée de vie de la voiture, exprimée en milliers de km , suit
une loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 150] .
Une loi uniforme sur [a ; b] admet une densité de probabilité constante f(t) = k sur cet intervalle.
b
b
+∞
1
⌠
⌡-∞ f(t ) dt = 1 ⇒ ⌠
⌡a f(t ) dt = 1 , soit k ⌠
⌡a 1 dt = 1 ⇔ k(b – a) = 1 ⇔ f(t) = b – a .
Donc : k =
1
1
= (unité : 1000 km)
150 4
 t < 0 ou t > 150 ⇒ f(t) = 0
.
 0 ≤ t ≤ 150 ⇒ f(t) = 1

150
 x < 0 ⇒ F(x) = 0
x
1
F(x) = p(X ≤ x) = ⌠
⌡0 f(t ) dt = 150 x .
⌡-∞ f(t ) dt ⇒  0 ≤ x ≤ 150 ⇒ F(x) = ⌠
 x > 150 ⇒ F(x) = 1
x
p(A) = p(X ≥ 10) = 1 – F(10) = 1 –
10
14
=
.
150 15
p(B) = p(X ≥ 50) = 1 – F(50) = 1 –
50
2
= .
150 3
p(B/A) =
p(B) 2 15 5
= ×
= ≈ 0,714 par défaut, soit 71,4% de chances.
p(A) 3 14 7
2