CHAPITRE II. GROUPE SYMÉTRIQUE 14
Définition. Deux cycles i1, . . . , iket j1, . . . , jlde Snsont dits disjoints si
i1, . . . , ikj1, . . . , jl∅.
Exemples.
(a) Dans S6, les cycles 1, 3 et 2, 4, 5 sont disjoints.
(b) Dans S7, les cycles 2, 6, 8, 5 et 4, 5 ne sont pas disjoints.
Théorème 16 (Propriétés du groupe symétrique).Dans le groupe Sn:
(a) Deux cycles disjoints commutent.
(b) Toute permutation σest produit de cycles deux à deux disjoints : σ α1αr. Cette décomposition est unique à
ordre près.
(c) L’ordre de la permutation σ α1αrdécomposée en produit de cycles deux à deux disjoints est égal au ppcm
des longueurs des αi.
(d) Toute permutation est produit de transpositions.
Démonstration.
(a) Soient αi1, . . . , iket βj1, . . . , jldeux cycles disjoints. On va montrer que pour tout m
1, . . . , n,β α mα β m. On distingue trois possibilités :
(i) m i1, . . . , ik. Alors αm i1, . . . , ik, donc m j1, . . . , jlet αm j1, . . . , jl. Donc β α m
αmα β m.
(ii) m j1, . . . , jl. En échangeant les rôles de αet β, on se ramène au premier cas.
(iii) m i1, . . . , ik,j1, . . . , jl. Alors αm m et βm m, donc β α m m α β m.
(b) Soit σId. Il existe i11, . . . , ntel que σi1i1. Pour j2, on pose ijσij1. Soit k2 le plus
petit entier tel que
ik1σiki1,i2, . . . , ik.
On doit avoir σiki1, car sinon σikij, où 2 j k, mais alors on aurait σikσij1ijet
ij1ik, ce qui contredit l’injectivité de σ. On obtient alors un cycle α1i1, . . . , ikde longueur k. Le
restriction de σà 1, . . . , n i1, . . . , ikest une permutation. Par récurrence sur n, on peut écrire cette
restriction comme le produit de cycles deux à deux disjoints α2αr. Ces cycles sont aussi deux à deux
disjoints avec α1.
(c) Soient σId et σ α1αrsa décomposition en cycles disjoints. Pour tout entier k, on a
σkαk
1αk
rcar les cycles commutent. Puisque les cycles αisont deux à deux disjoints, on a σkId
si et seulement si αk
1Id, αk
2Id, . . . , et αk
rId. Si σest d’ordre m, on a que oβimpour tout
i1, . . . , r, et donc le ppcm des oαidivise m. Réciproquement, si sest le ppcm des oαi, on a que
σsαs
1αs
rId, donc mdivise s, d’où m s.
(d) D’après le (b), il suffit de démontrer le résultat pour les cycles. Or, on voit que :
i1, . . . , iki1,iki1,ik1i1,i2. (1)
Remarque. L’écriture d’une permutation en produit de transpositions n’est pas unique : par exemple,
1, 2, 3 1, 3 1, 2 1, 2 2, 3 2, 3 1, 3 . De plus, si n3, et i,j2, . . . , n,i j, alors on peut
toujours remplacer la transposition i,jpar le produit 1, i1, j1, i.