102 Permutations ensemble fini _ Groupe symetrique

102 Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.
C. Cycles.
Soit n∊ℕ*. On notera Fn = {1;...; n}
I.
Def 3: (Gourdon) Si σ∊Sn et a∊{1;..;n}, on appelle orbite
A. Définitions, premières propriétés.
Def 4: (Gourdon) Soit σ∊Sn. On dit que σ est un cycle si
parmi les Oσ ( a ) , 1 ≤ a ≤ n , il n'existe qu'une seule
{ ( a ) / k ∈ } .
de a suivant σ l'ensemble Oσ ( a ) = σ
(
σ = a , σ ( a ) .., σ
Prop 2: ( S n , ) est un groupe, appelé groupe symétrique.
symétrique
B. Transpositions.
1 2 3 4 5 
Exemple: Pour n=5, τ2,4 = (2,4) = 

1 4 3 2 5 
2
Remarques: Sn contient exactement C n transpositions.
Toute transposition est involutive. (dc d'ordre 2 ds Sn).
Th 1:
1 Les transpositions de {1;...;n} engendrent le
groupe Sn. Autrement dit, toute permutation de {1;...;n}
est décomposable en produit de transpositions.
3
7
( a )) .
1 2 3 4 5 
Exemple: 
 est le 3-cycle (2,5,3).(Mon)
1 5 2 4 3 
4
4
5
8
6
1
7
5
Prop 4:
4 Si t , s ∊ Sn, alors ε(ts) = ε(t).ε(s).
Remarques: Une transposition est de signature -1.
La Prop.4 dit que ε est un mph. de groupes: Sn → {-1;1}.
L'ensemble Kerε = An = ε


2
({1})
est un sg distingué de
n!
, et An s'appelle le
2
groupe alterné d'indice n. (ε mph. surjectif).
Prop 5:
5 La signature d'un cycle de longueur p est (-1)p-1.
Applications.
A. En algèbre linéaire. (Monier p.307 + 309)
Remarques: L'ordre d'un p-cycle dans Sn est p. (Gou.)
Les 2-cycles sont les transpositions. (Mon.)
L'identité n'est pas un cycle, mais pour le th. suivant, on
conviendra qu'elle est décomposable en un produit
vide de cycles. (Mon.)
Def 6:
6 Soirnt E, F des K-ev, K=ℝ ou ℂ. Soit p∊ℕ*.
Th 2:
2 Toute permutation de {1;..;n} est décomposable
en produit de cycles à supports disjoints,
disjoints et cette
décomposition est unique à l'ordre des cycles près.
Si de plus F=K, on dit que φ est une forme n-linéaire
alternée.
p
Une application p-linéaire ϕ : E → F est dite alternée
ssi pour tout couple
( i, j ) de {1,.. p}
2
tq. iHj, et pour
tout ( x1 ,..., x p ) ∈ E : xi = x j ⇒ ϕ ( x1 ,..., x p ) = 0 .
p
Prop 6:
6 Une application p-linéaire φ:Ep→F est alternée
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

 4 6 9 1 5 8 2 7 10 3 
Exemple: 
ssi:
ssi ∀σ ∈ S p , ∀ ( x1 , ..., x p ) ∈ E ,
p
(
)
ϕ xσ (1) ,..., xσ ( p ) = ε (σ ) ϕ ( x1 ,..., x p )
Conséquence:
Conséquence
8
=(2,8)o(5,7)o(1,6)o(2,5)o(2,3).
−1
Sn, d'indice 2. On a Card ( An ) =
Prop 3:
3 (Gourdon) Deux cycles à support disjoint
commutent.
= (1,4)o(2,6,8,7)o(3,9,10)
Exemple:
3
p −1
impaire.
III.
Def 2:
2 Pour tout (i,j)∊Fn2 t.q. i<j, on appelle
transposition échangeant i et j, et on note τi,j ou (i,j) la
permutation de Fn définie par: τi,j(i) = j, τi,j(j) = i, et
pout tout k ∈ Fn − {i , j} , τi,j(k) = k.
2
k
orbite non réduite à un élément. cette orbite est
appelée support du cycle, son cardinal p la longueur du
cycle, on dit que σ est un p-cycle, et on note:
Prop 1:
1 Card Sn = n!
Monier MPSI, Gourdon, Mercier
Si ε (σ ) = 1 , σ est dite paire. Si ε (σ ) = −1 , σ est dite
Permutations d'un ensemble fini,
groupe symétrique.
Def 1:
1 On appelle permutation de Fn toute bijection de
Fn dans Fn. On notera Sn l'ensemble de ces
permutations.
1

6
Sn engendré par les cycles
II.
Signature d'une permutation (Gou.).
Def 5:
5 Soit σ∊Sn. On appelle signature de σ le produit:
σ ( j ) − σ (i )
∈ {−1;1} .
ε (σ ) =
j −i
1≤ i < j ≤ n
∏
L'ensemble
Λ n ( E ) des
formes
n-
linéaires alternées sur E est un Kev de dimension 1.
Pour tout base B = ( e1 , ...en ) de E, on note
n
det B : E → K
l'application
définie
pour
tout
102 Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications. Sn engendré par les cycles
(V1,...Vn)∊En par: det B (V1 ,...Vn ) =
∑ ε (σ ) a ( ) ....a ( )
σ 1 ,1
σ n ,n
,
σ ∈S n
où les
ai j , j , i j ∈ 1, n sont les composantes de Vj ds B.
Pour toute base B de E, (detB) est une base de Λ n ( E ) .
∀ϕ ∈ Λ
n
( E ) , ∀S ∈ E
n
, ∀B base de E, ϕ ( S ) = ϕ ( B ) . det
B
(S)
.
B. En géométrie. (Mercier p.282 + 304)
Prop 7:
7 Le groupe du triangle équilatéral est isomorphe
à S3.
Prop 8:
8 Le groupe du tétraèdre régulier est isomorphe à
S4.
IV.
Notes.
Application principale:
principale Théorie des déterminants.
Historiquement,
Historiquement l'étude du groupe des permutations
des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à
l'origine du concept de groupe.
Un théorème de Cayley(1) assure que tout groupe peut
être considéré comme sous-groupe d'un groupe
symétrique.
(1)Th.
(1)Th. de Cayley:
Cayley Tout groupe fini d'ordre n est
isomorphe à un sg de Sn.
Rabe: Pour n≥5, An est simple, i.e. ne possède pas de sg
distingué non trivial.
Gourdon ex.6 p.24: Si n≥3, les 3-cycles engendrent An.
Rapport de jury 2010 : les exemples d’applications de
ces groupes aux déplacements et/ou isométries sont
souvent évoqués mais les candidats arrivent rarement
à les interpréter ; par ailleurs l’étude du groupe des
isométries qui conservent un tétraèdre régulier peut
faire l’objet d’un développement intéressant.
Def 4 (version par Monier)
Monier): Soit p∊ℕ, 2≤p≤n. On
appelle p-cycle de {1;...;n} toute permutation σ de
{1;...;n} telle qu'il existe x1 , ..., x p ∈ {1;..; n} , deux à deux
distincts, tels que:
σ ( x1 ) = x2 , σ ( x2 ) = x3 , ..., σ ( x p −1 ) = x p

∀k ∈ {1;...; n} \ { x1 , .., x p } , σ ( xk ) = xk
{ x ,.., x } , unique pour un p-cycle donné,
est appelé support de σ, et on note σ = ( x ,.., x ) .
L'ensemble
1
p
1
p
σ∊Sn est appelée cycle ssi ∃p tq. σ soit un p-cycle.
Monier MPSI, Gourdon, Mercier