102 Permutations ensemble fini _ Groupe symetrique

102
Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.
Sn engendré par les cycles Monier MPSI, Gourdon, Mercier
{
}
1;...;
n
F n
=
I. Permutations d'un ensemble fini,
groupe symétrique.
A. Définitions, premières propriétés.
(
)
,
n
S
B. Transpositions.
{
}
,
n
k F i j
∈ −
1 2 3 4 5
1 4 3 2 5
2
n
C
Exemple:
1 2 3 4 5 6 7 8
6 3 7 4 8 1 5 2
=(2,8)o(5,7)o(1,6)o(2,5)o(2,3).
C. Cycles.
(
)
(
)
{
}
/
k
O a a k
σ
σ = ∈
(
)
O a
σ
1
a n
≤ ≤
(
)
(
)
(
)
1
, ..,
p
a a a
σ σ σ
−
=
1 2 3 4 5
1 5 2 4 3
Exemple:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 6 9 1 5 8 2 7 10 3
= (1,4)o(2,6,8,7)o(3,9,10)
II. Signature d'une permutation (Gou.).
( )
(
)
(
)
{ }
1
1;1
i j n
j i
j i
σ σ
ε σ
≤ < ≤
−
=− ∈ −
∏
(
)
1
ε σ
=
(
)
1
ε σ
= −
{
}
(
)
1
1
n
Ker A ε ε
−
= =
!
( )
2
n
n
Card A =   
III. Applications.
A. En algèbre linéaire. (Monier p.307 + 309)
:
p
E F
ϕ →
(
)
,
i j
{ }
2
1,..
p
(
)
1
,...,
p
p
x x E
∈
(
)
1
,..., 0
i j p
x x x x ϕ
=⇒=
(
)
1
, ,..., ,
p
p p
S x x E
σ ∀ ∈ ∀ ∈
( ) ( )
(
)
( )
( )
1
1
,..., ,...,
p
p
x x x x
σ σ
ϕ ε σ ϕ =
(
)
n
E
Λ
(
)
1
,...
n
B e e
=
det :
n
B
E K
→    

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Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.
Sn engendré par les cycles Monier MPSI, Gourdon, Mercier
(
)
(
)
( ) ( )
1 1 ,1 ,
det ,... ....
n
B n n n
S
V V a a
σ σ
σ
ε σ
∈
=
∑
,
j
i j
a
1,
j
i n
∈
(
)
n
E
Λ
( ) ( ) ( ) ( )
, , base de E, . det
n
n B
E S E B S B S
ϕ ϕ ϕ ∀ ∈ Λ ∀ ∈ ∀ =
B. En géométrie. (Mercier p.282 + 304)
IV. Notes.
{
}
1
,..., 1;..;
p
x x n
∈
(
)
(
)
(
)
{ }
{ }
( )
1 2 2 3 1
1
, ,...,
1;...; \ , .., ,
p p
p k k
x x x x x x
k n x x x x
σ σ σ
σ
−
= = =
∀ ∈ =
{
}
1
,..,
p
x x
(
)
1
,..,
p
x x
σ =