Leçon 105: Groupe des permutations d`un ensemble fini. Applications.

Leçon 105: Groupe des permutations d’un
ensemble fini.
Applications.
Adrien Fontaine
24 avril 2013
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Table des matières
1 Généralités sur le groupe symétrique 3
1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Orbitesetcycles .......................... 3
1.3 Groupealterné ........................... 5
2 Structure des groupes symétriques et alternés 6
2.1 Étude de cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Générateurs............................. 6
2.3 Centre................................ 7
2.4 Simplicité .............................. 7
2.5 Automorphismes intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Applications 7
3.1 Ledéterminant ........................... 7
3.2 Les polynômes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 Groupes d’isométries particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
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1 GÉNÉRALITÉS SUR LE GROUPE SYMÉTRIQUE 3
1 Généralités sur le groupe symétrique
1.1 Définitions et premières propriétés
Tauvel p38
Perrin et le livre
de Rached
Mneimné, Element
de géométrie pour
un résumé très
synthétique de la
preuve des
théorèmes de
Sylow
Définition 1
Soit Eun ensemble fini. Une bijection de Edans Eest appelée une per-
mutation de E. On note S(E)l’ensemble des permutations de E.
Proposition 1
S(E)muni de la loi de composition des applications est un groupe.
Notation : Pour E={1, ..., n}, on note Snau lieu de S(E).
Proposition 2
Si Card(E) = n, alors S(E)∼
=Sn. De plus, Card(Sn) = n!.
Pour cette raison, on s’intéresse désormais uniquement à Sn. De plus, cela
permet d’utiliser l’ordre naturel sur {1, ..., n}et la notation
"1... n
σ(1) ... σ(n)#
pour signifier que la permutation que la permutation σ∈Snprend les valeurs
σ(1) en 1, ..., σ(n)en n.
Par ailleurs, le théorème suivant justifie une partie de l’intérêt que l’on porte
au groupe symétrique :
Théorème 1 (de Cayley)
Tout groupe Gde cardinal nest isomorphe à un sous-groupe de Sn.
Application : On peut déduire du théorème de Cayley une preuve des théo-
rèmes de Sylow.
On montre d’abord le théorème de Sylow pour GLn(Fp), puis on injecte Gdans Snet Sndans GLn(Fp)
via les matrices de permutation. Enfin, on montre que si on connait un Sylow d’un groupe G, on peut en
trouver un pour un sous-groupe H.
1.2 Orbites et cycles
Définition 2
Pour j∈ {1, ..., n}et s∈Sn, on note Os(j) = {sk(j), k ∈Z}. On dit que
Os(j)est la s-orbite de j. Une s-orbite est une partie de {1, ..., n}de la
forme Os(j)pour au moins un j∈ {1, ..., n}.
Définition 3
[i∼j⇔j∈ Os(i)⇔ ∃k∈Z/j =sk(i)] est une relation d’équivalence sur
{1, ..., n}.

1 GÉNÉRALITÉS SUR LE GROUPE SYMÉTRIQUE 4
Tauvel p39
Arnaudiès-Fraysse
p181
Tauvel p39
Arnaudiès-Fraysse
p180
Tauvel
Arnaudiès-Fraysse
Définition 4
On dit que s∈Snest un cycle s’il existe une s-orbite Otelle que Card(O)>
1et que cette orbite est unique. Alors, Card(O)est appelé la longueur du
cycle et Oson support. Un q-cycle est un cycle de longueur qet un 2-cycle
est une transposition.
Exemple 1
"1 2 3 4 5 6
1 4 5 3 2 6#est un cycle de longueur 4, de support {2,3,4,5}. On
le note h2 4 3 5i.
Proposition 3
Un p-cycle est un cycle d’ordre p. De plus, tous les p-cycles sont conju-
gués dans Sn. En effet, si τ= (a1, ..., ap)et σ∈Sn, alors στσ−1=
(σ(a1), ..., σ(ap)et l’action de σ(n)sur {1, ..., n}est n-transitive.
On a même le résultat suivant :
Théorème 2
Deux cycles de Snsont conjugués dans Snsi et seulement si, ils ont même
longueur.
Théorème 3
(i) Deux cycles à supports disjoints commutent.
(ii) Tout σ∈Sn\ {Id}est produit de cycles de supports deux à deux
disjoints, et un tel produit est unique à l’ordre près des facteurs.
N.B : Ce produit en cycles de supports deux à deux disjoints est appelé
décomposition canonique de la permutation σ.
Corollaire 1
Pour σ∈S\ {Id}, l’ordre de σest égal au ppcm des longueurs des cycles
intervenant dans la décomposition canonique.
Exemple 2
"1 2 3 4 5 6
3 4 1 5 2 6#=h1 3ih2 4 5i
et ce cycle est d’ordre 6.
Corollaire 2
Toute permutation de {1, ..., n}est produit de transpositions.
Corollaire 3
Pour toute permutation σ∈Sn, notons ν1(σ)le nombre de points fixes

1 GÉNÉRALITÉS SUR LE GROUPE SYMÉTRIQUE 5
de σ,νk(σ)le nombre de k-cycles dans la décomposition de σen cycles à
supports disjoints pour 2≤k≤n. Alors, pour que deux permutations σ
et σ0de Snsoient conjuguées dans Sn, il faut et il suffit que
∀1≤k≤n, νk(σ) = νk(σ0)
1.3 Groupe alterné
Tauvel
Tauvel
Tauvel
Tauvel
Définition 5
Soit σ∈Snet m(σ)le nombre de σ-orbites. La signature de σest l’élément
ε(σ)∈ {−1,1}défini par :
ε(σ)=(−1)n−m(σ)
Exemple 3
ε(Id) = 1,ε(σ) = (−1)q−1pour un q-cycle, ε(τ) = −1pour une transposi-
tion.
Théorème 4
Soient s∈Snet τune transposition. Alors, ε(sτ) = −ε(s).
Corollaire 4
(i) Si σ∈Snest un produit de ptranspositions, alors ε(σ) = (−1)p.
(ii) L’application ε:Sn→ {−1,1}est un morphisme de groupes surjec-
tif.
(iii) Si n≥2et σ∈Sn, on a
ε(σ) = Y
1≤i<j≤n
σ(i)−σ(j)
i−j
Définition 6
Le noyau du morphisme ε:Sn→ {−1,1}est appelé le groupe alterné de
{1, ..., n}, et noté An. Un élément de Anest appelé une permutation paire.
Proposition 4
Sn/An∼
={−1,1}et donc Card(An) = n!
2.