Fonction carré.

Lycée JANSON DE SAILLY
25 novembre 2016 FONCTION CARRÉ 2nde 3
IFONCTION CARRÉ
1 – DÉFINITION
La fonction carré est la fonction définie pour tout réel xpar f(x) = x2
PROPRIÉTÉS
— Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel x, on a x2>0.
— Un nombre et son opposé ont le même carré. Pour tout réel x, on a x2= (−x)2.
2 – VARIATIONS DE LA FONCTION CARRÉ
La fonction carré définie pour tout réel xpar f(x) = x2est décroissante sur ]−∞;0]et croissante sur
[0;+∞[
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION CARRÉ
x−∞0+∞
f(x)
0
❊DÉMONSTRATION
Soient aet bdeux réels et fla fonction définie pour tout réel xpar f(x) = x2.
f(a)−f(b) = a2−b2= (a−b)(a+b)
— Si a<b60 :
a<b⇔a−b<0 et a<b60⇔a+b<0 donc f(a)−f(b)>0
Ainsi, sur l’intervalle ]−∞;0]si a<b, alors f(a)>f(b). La fonction carré est strictement décroissante
sur ]−∞;0].
— Si 0 6a<b:
a<b⇔a−b<0 et 0 6a<b⇔a+b>0 donc f(a)−f(b)<0
Ainsi, sur l’intervalle [0;+∞[si a<b, alors f(a)<f(b). La fonction carré est strictement croissante sur
[0;+∞[.
CONSÉQUENCES
— Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l’ordre contraire. Si a6b60 alors a2>b2
— Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0 6a6balors a26b2
EXEMPLE
Déterminer un encadrement de x2pour −36x62.
La fonction carré fn’est pas monotone sur l’intervalle [−3;2].
fest décroissante sur [−3;0]et croissante sur [0;2].
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— Si −36x60 alors 0 6x269
— Si 0 6x62 alors 0 6x264
x−302
f(x)
9
0
4
D’après les variations de la fonction carré, si −36x62 alors 0 6x269
3 – COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative de la fonction carré fdéfinie sur par f(x) = x2est la parabole Pd’équation
y=x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6 0x
yP
y=x
REMARQUE :
Si 0 6a61 alors a26a. Sur l’intervalle [0;1], la parabole Pd’équation y=x2est au dessous de la droite D
d’équation y=x.
4 – ÉQUATIONS,INÉQUATIONS
ÉQUATIONS x2=kAVEC kRÉEL
— Si k<0, comme un carré est positif, l’équation x2=kn’a pas de solution.
— Si k=0, l’équation x2=0 a pour unique solution x=0
— Si k>0, résoudre l’équation x2=k, revient à résoudre l’équation x2−k=0⇔x+√kx−√k=0.
On obtient les deux solutions x=−√kou x=√k.
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k<0k=0k>0
1
1
0x
y
k
1
1
0x
y
1
1
0x
y
k
−√k√k
x2=kn’a pas de solution x2=0 a pour unique solution 0 x2=ka deux solutions −√kou √k
INÉQUATIONS x26kOU x2>kAVEC kRÉEL
Résoudre une inéquation x26kou x2>kavec kréel revient à étudier le signe de x2−k.
k<0
1
1
0x
y
k
L’inéquation x26kn’a pas de
solution :
S=∅
L’inéquation x2>kest toujours vraie :
S=
k>0
1
1
0x
y
k
−√k√k
1
1
0x
y
k
−√k√k
L’inéquation x26ka pour ensemble solution :
S=h−√k;√ki
L’inéquation x2>ka pour ensemble solution :
S=i−∞;−√ki∪h√k;+∞h
EXEMPLE
Résoudre dans l’inéquation x2>9.
Pour tout réel x,
x2>9⇔x2−9>0⇔(x+3)(x−3)>0
Étudions le signe du produit (x+3)(x−3)à l’aide d’un tableau de signe.
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x−∞−33+∞
x+3−0++
x−3−−0+
(x+3)(x−3) + 0−0+
L’ensemble des solutions de l’inéquation x2>9 est S= ]−∞;−3[∪]3;+∞[.
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EXERCICE 1
Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant :
« Pour tout nombre réel x,x+1>x. D’où (x+1)2>x2
Soit en développant x2+2x+1>x2
On en déduit que 2x+1>0 soit x>−1
2et donc finalement que tout nombre réel est plus grand que −1 2. »
EXERCICE 2
fest la fonction carré définie pour tout réel xpar f(x) = x2. Sa courbe représentative est la parabole (P)tracée
ci-dessous, dans le plan muni d’un repère orthogonal.
4
8
12
16
20
24
28
-4
1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6 0x
y
(P)
1. Calculer les images des réels : −√6, 1−√2, 10−2et 7
13.
2. Quels sont les antécédents éventuels de 12?
3. Soit gla fonction affine définie pour tout réel xpar g(x) = 3
2x+10.
a) Tracer dans le repère précédent, la courbe Dreprésentative de la fonction g.
b) Lire graphiquement, les solutions de l’équation f(x) = g(x).
c) En déduire une factorisation de E(x) = x2−3
2x−10.
EXERCICE 3
Recopier et compléter les égalités suivantes :
A. x2+2x= (x+1)2−···
B. x2−x=x−1
22
−···
C. x2+3x−1=x+3
22
−···
D. x2−5x+7=x−5
22
+···
E. 2x2+3x=2h(x+···)2···i
F. −3x2−x+1=−3h(x+···)2···i
G. x2
2+3x−1=1 2h(x+···)2···i
H. −x2
4+3x+2=−1 4h(x−···)2···i
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