FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE 1° La

FONCTION LOGARITHME
I FONCTION RECIPROQUE
1° La fonction carrée
La fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ]
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout y de [0, 4] l'équation x2 = y, où l'inconnue
est x, a une solution unique dans [0, 2]. cette solution est y
On peut donc associer à tout nombre y de [0, 4] le nombre réel unique x = y de [0, 2] tel que x2 = y
On a donc : [0, 2]
[0, 4]
x
carrée
y = x2
[0 , 4]
[0 , 2]
x
racine
x
Si x ∈ [0, 2] et si y ∈ [0, 4] on a 
 y = x
2
⇔ x = y
y = x ⇔ x = y
2
On dit que la fonction racine carrée définie sur [0,4] est la fonction réciproque de la fonction carrée définie sur
[0,2]. Remarques : Pour tout x de [ 0 , 4 ],
( )
x 2 = x et pour tout x de [ 0 ; 2 ], x
2
= x
Représentation graphique
Le plan est muni du repère orthonormal (O;
→
i ,
→
j ). x ∈ [0, 2] et y ∈ [0, 4]
Puisque y = x si, et seulement si, x = y
2
, au point M(x, y) de la courbe représentative de la fonction racine
carrée peut être associé le point M
1
(y, x) de la courbe représentative de la fonction carrée .
M et M
1
sont symétriques par rapport à la droite ∆ d'équation y = x.
Les courbes représentatives des fonctions racine carrée et carrée se déduisent l'une de l'autre par symétrie
orthogonale d'axe la droite d'équation y = x.
Au point d'abscisse 0, la courbe représentative de la fonction carré admet l'axe des abscisses pour tangente.
Par symétrie, la courbe représentative de la fonction racine carrée admet, au point d'abscisse 0, l'axe des
ordonnées pour tangente.
2° exemple 2
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1
2 – x
f dérivable sur [0, 1] et f '(x) = 5
(2 – x)
2
> 0
La fonction f est continue et strictement croissante sur [0, 1] c'est donc une bijection de [0, 1] sur 
1
2 , 3
La fonction réciproque de f peut, dans ce cas particulier, être calculée.
y = f(x) ⇔ y = 2 x + 1
2 – x ⇔ y (2 – x) = 2 x + 1 ⇔ 2 y – 1 = 2 x + x y ⇔ y = 2 y – 1 y + 2 ⇔ x = f
–1
(y)
3° Cas général
a) Définition Soit f une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle [a, b].
D'après le théorème pour tout y de [f(a), f(b)] l'équation f(t) = y, dont l'inconnue est t, a une solution unique
dans [a, b]. On peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque de f et notée f
–1
, définie sur
[f (a), f(b)] et prenant ses valeurs dans [a, b].
• Si f est strictement croissante sur [a, b].
La fonction réciproque f
–1
de f est définie sur [ f(a) , f(b) ] par :
y = f (x)
x ∈ [ f (a) , f (b) ] si, et seulement si,
x = f
–1
(y)
y ∈ [ a , b ]
• Si f est strictement décroissante sur [a, b].
La fonction réciproque f
–1
de f est définie sur [ f(b) , f(a) ] par :
y = f (x)
x ∈ [ f (b) , f (a) ] si, et seulement si,
x = f
–1
(y)
y ∈ [ a , b ]
b) Représentation graphique
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O;
→
i ,
→
j ) les courbes représentatives des fonctions f et f
–1
se
déduisent l'une de l'autre par symétrie orthogonale d'axe la droite d'équation y = x
x 0 1
signe de f
3 f(x)
1
2

II FONCTION LN DEFINITION
La fonction x
→
e
x
est continue, strictement croissante, lim
x → –∞
e
x
= 0 et lim
x → +∞
e
x
= + ∞ D'après le corollaire du
théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que la fonction exponentielle est une bijection de IR sur IR
+*
On sait qu'alors : pour tout b ∈ ] 0 ; + ∞ [, il existe un unique réel a tel que b = exp(a) ; on note a = ln(b) , ce qui
se lit logarithme népérien de b. Ainsi, à tout x réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (x).
1° Définition
La fonction, définie sur [ 0 ; + ∞ [ , qui à x associe ln(x) est appelée fonction logarithme népérien
ln : ] 0 ,+ ∞ [
→
IR
x
→
ln (x) .
Les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
a) Remarque
Il résulte de la définition 1 que si b > 0 : a = ln b ⇔ b = e
a
b) Quelques exemples
ln(1) = 0, ln e = 1, ln e = 1
2.
2° Théorème
Pour tout réel b strictement positif, e
ln(b)
= b .
Pour tout réel a, ln (e
a
) = a .
III PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN
1° Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs
(1) ln a b = ln a + ln b. (2) ln 1
a = – ln a (3) ln a b = ln a ln b.
(4) pour tout n ∈ ZZ, ln (a
n
) = n ln a .
(5) ln a = 1
2 ln a
Démonstration
Soit a et b deux réels quelconques strictement positifs.
On sait que e
a
= e
b
⇔ a =b
(1) Ainsi, démontrer que ln a b = ln a+ ln b est équivalent à
démontrer que exp(ln (a b))= exp(ln a + ln b).
exp(ln a + ln b).= exp(ln a) × exp (ln b) = a × b = exp(ln(a ×b))
Donc : ln a + ln b = ln(a ×b)
(2) ln 1 = ln a × 1
a =ln a +ln 1 a.
Ainsi :ln a +ln 1
a = 0 ; donc ln 1 a = – ln a
(3) ln a
b = In 
a × 1
b ln a+ ln 1 b =ln a – ln b. (4) Pour n ≥ 0, la démonstration se fait par récurrence .
(5) D'une part, ln ( )
( )
a
2
= ln a, et, d'autre part, ln ( )
( )
a
2
= 2 ln a.
D'où : ln a = 1
2 ln a
Remarque On peut généraliser la propriété (1) à plusieurs nombres. Par exemple pour tous les réels a, b et c
strictement positifs, ln (a × b × c) = ln a + ln b + ln c .
2° Résolution d'équation et d'inéquation
Théorème
Pour tous a et b réels strictement positifs
(1) ln a = ln b ⇔ a = b. (2) ln a < lnb ⇔~a < b.
Démonstration
ln a = ln b ⇔ exp(ln a)) = exp(ln a) ⇔ a = b
Ce théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou dans
lesquelles l'inconnue figure en exposant.
Exemples
1° Résoudre dans IR l'équation: ln (2 x – 1) = ln(x – 2) . 2° ln (3 x + 1) < 2

III ETUDE DE LA FONCTION LN
1° Dérivabilité et sens de variation
Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [.
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
Pour tout x ∈ ] 0 ; + ∞ [ , ln'(x) = 1
x
Démonstration
Si a et b sont deux nombres strictement positifs on a : a < b ⇔ ln a < ln b.
la fonction ln est donc strictement croissante
La dérivabilité sur ] 0 ; + ∞ [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur IR est admise.
Soit g la fonction définie pour tout x réel strictement positif par : g(x) = exp (ln x)
g est dérivable sur IR
+
*
c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur IR
+
*
, suivie de la fonction exp, dérivable
sur IR. Pour tout réel x strictement positif on a : g '(x) = exp ' (ln x) × ln '(x) = exp(ln x) × ln '(x) = x ln '(x)
D'autre part pour tout réel x, g(x) = x donc pour tout réel x, g'(x) = 1 .
On a pour tout réel x strictement positif, x ln '(x) = 1 donc ln'(x) = 1
x
2° Limites usuelles de la fonction ln
Théorème
lim
x → +∞
ln x = + ∞ lim
x → +∞
ln x
x = 0
lim
x → 0
+
ln x = – ∞ lim
x → 0
+
x ln x = 0
lim
x → 0
ln(1 + x)
x = 1 lim
x → 1
ln x
x – 1 = 1
Démonstration
 En + ∞
• lim
x → +∞
ln x = + ∞
On se ramène à la définie de la limite d'une fonction en + ∞. Il suffit alors de démontrer que pour tout réel M
positif et pour tout réel x suffisamment grand, ln x > M
Soit M un réel donné, on sait que : ln x > M ⇔ x > exp(M).
On a, pour tout réel M, x > exp(M) ⇒ ln x > M
On peut donc dire que : lim
x → +∞
ln x = + ∞
• lim
x → +∞
ln x
x = 0.
On essaie de comparer ln x avec x en utilisant, par exemple, la comparaison de la fonction exp avec x
On a vu que, pour tout réel y, y < e
y
. Donc, pour tout réel x > 0, ln x < e
ln x
.
C'est-à-dire que, pour tout réel x > 0, x > ln x
On a donc, pour tout réel x, x > 1,
0 < ln x ≤ x ⇒ 0 <ln x
x ≤ x x ⇒ 0 <ln x 2 x ≤ 1
x ⇒ 0 < ln x
x ≤ 1
2 x
D'après le théorème des gendarmes : lim
x → +∞
1
2 x = 0 donc lim
x → +∞
ln x
x = 0
 Au voisinage de 0
+
On utilise le changement de variable X = 1
x pour se ramener au voisinage de + ∞
• lim
x → 0
+
ln x = – ∞
On pose X = 1
x on a : lim
x → 0
+
ln x = lim
X → +∞
ln 
1
X = lim
X → +∞
– ln X = – ∞
• lim
x → 0
+
x ln x = 0
lim
x → 0
+
x ln x = lim
X → +∞
1
X × ln 
1
X = lim
X → +∞
– ln X
X = 0

 Au voisinage de 1
On utilise la dérivabilité de la fonction ln en 1.
• lim
x → 1
ln x
x – 1 = 1 = lim
x → 0
+
ln(1 + x)
x
La fonction ln est dérivable en 1 et ln '(1) = 1
1 = 1.
On a donc lim
x → 1
ln x – ln 1
x – 1 = 1 = lim
h → 0
ln (1 + h) – ln 1
h
d'où : lim
x → 1
ln x
x – 1 = 1 et lim
h → 0
ln (1 + h)
h = 1 c'est à dire lim
x → 0
ln(1 + x)
x = 1
3° Tableau de variation et représentation graphique
x 0
+
∞
signe de f ' +
+ ∞
f
– ∞
Remarques
• La "croissance" de la fonction exp est "rapide" donc la "croissance" de la fonction ln est "lente".
Par exemple: ln(10
8
) ≈ 18,42 .
• Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ;
→
i ,
→
j )
La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x – 1 .
La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y = x
e " : elle passe par O.
La courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deux tangentes
• Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport
à la droite d'équation " y = x ".
IV DERIVEES
1° Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert
alors la fonction f définie sur I par f(x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)
u (x)
Démonstration
Si l'on a pour tout x de I, u(x) > 0 , alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on
obtient : pour tout x de I, f '(x) = ln '(u(x)) × u'(x) =u '(x)
u(x)
2° Remarque
Soit u une fonction telle que pour tout x de I, u(x) < 0 et f la fonction définie sur I par : f(x) = ln(– u(x)).
En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout x de I,
f '(x) = – u '(x)
– u(x) = u '(x) u(x)
Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonction
f: x
→
ln (|u(x)|) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = u '(x)
u(x)
On dit que la fonction ln | u | est une primitive de la fonction u
'
u sur les intervalles où u ne s'annule pas.
3° exemple
La fonction f définie sur IR par x
→
ln (x
2
+ 1) a pour dérivée la fonction f ' définie e sur IR par : f '(x) = 2 x
x
2
+ 1
La fonction f définie sur 
– π
2 , π 2 par : f(x) = – ln (cos x) est dérivable sur 
– π
2 , π 2 et f '(x) = sin x
cos x = tan x
x
y
0
1
1
4

La fonction x
→
– ln (cos x) est une primitive de la fonction tan sur l'intervalle 
– π
2 , π 2