X - CERMICS

Processus et estimation
3 octobre 2001
Techniques de réduction de variance
1

Rappel sur le méthode de Monte-Carlo
-(X1, . . . , Xn)indépendants suivant la loi de X,
- on estime E(X)par (si E(|X|)<+∞) :
¯
X=1
n(X1+··· +Xn)
- si E(X2)<+∞, on peut affirmer (avec une probabilité de l’ordre de
95%) que :
¯
¯¯
X−E(X)¯
¯≤1.96σ
√n
-σs’estime facilement sur l’échantillon par :
σ2≈σ2
n=1
n−1
n
X
i=1 ¡Xi−¯
X¢2
2

Idée de réduction de variance
Vitesse en σ
√n
- vitesse faible (à nuancer),
- vitesse directement proportionnelle à σ,
- idée : technique de réduction de variance :
E(X) = E(Y),
avec Var(Y)<< Var(X).
3

Réduction de variance : Variables de contrôle
E(f(X)) = E(f(X)−h(X)) + E(h(X)),
-E(h(X)) explicite,
- Var(f(X)−h(X)) << Var(f(X)),
- intuitivement f(X)et h(X)proches.
Un exemple simple
I=R1
0exdx
ex≈1 + x
I=R1
0(ex−1−x)dx +3
2
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Exemple : “arbitrage Call – Put”
Prix d’un “call” (ggaussienne centrée réduite) :
C=E(eσg −K)+,
Prix d’un “put” :
P=E(K−eσg)+.
Formule explicite pour Cet P(cours de diffusion ou exercice) :
-C=eσ2/2N³σ−log(K)
σ´−KN ³−log(K) σ´,
-P=KN ³log(K)
σ´−eσ2/2N³log(K) σ−σ´.
avec N(x) = Rx
−∞ e−u2/2du
√2π,
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