Racine carrée

Racine carrée
I Racine carrée d'un nombre positif
Définition : Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a, notée √ a , le seul nombre positif dont le
carré est égal à a. On a ainsi √ a× √ a=a, c'est-à-dire ( √ a )2=a.
Exemples :
√ 9=3 car 32=9 .
√1=1, car 12=1.
√−2 n'existe pas.
Remarques : Le symbole √ s'appelle le radical.
Si a est un nombre strictement négatif, alors √ a n'existe pas.
Propriété : Pour tout nombre positif a,
√ a 2=a
II Produit de racines carrées
Exemples :
√15 2=15; √ 25=√ 52=5 ; √ (−7)2=√ 49=√ 72=7
Exemples :
Propriété : Le produit de deux racines carrées est égal à la racine
2
carrée du produit. Autrement dit, a et b étant deux nombres positifs, √ 2× √ 32= √ 2×32= √ 64= √ 8 =8.
on a √ a× √ b= √ a ×b .
√ 9×25=√ 9×√ 25=√ 32×√ 52=3×5=15
Remarque :
Si a est un nombre relatif et b un nombre positif, a× √ b peut s'écrire a √ b . Par exemple : 2× √ 3=2 √3 .
III Quotient de deux racines carrées
Propriété : Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine
carrée du quotient. Autrement dit, a et b étant deux nombres
a
a
positifs avec b non nul, on a √ = .
√b b
√
IV Simplification d'une racine carrée
Exemples :
√ 18 = 18 = √ 9=√ 3 2=3 .
2
√2
2
25 √ 25 √ 5 5
=
= 2= .
49 √ 49 √ 7 7
√
√
Définition : Simplifier une racine carrée consiste Exemples :
2
2
2
2
à écrire cette racine carrée sous la forme a √ b ,
A= √ 450= √ 5 ×3 ×2= √ 5 × √ 3 × √ 2=5×3× √ 2=15 √ 2.
où a est un nombre relatif et b un nombre entier le
plus petit possible.
V Calcul d'une somme algébrique
Remarque : La somme, ou la différence, de deux racines carrées
n'est pas égale à la racine carrée de la somme, ou de la
différence.
Exemples :
√ 9+√ 16=3+4=7 et √ 9+16=√ 25=5 ¿
donc √ 9+√ 16≠√ 9+16 .
Soit B = √ 45+3 √ 20−11 √ 5.
Calculer B, puis donner le résultat sous la forme a √ b , où a est un nombre relatif et b un nombre
entier le plus petit possible.
B= √ 45+3 √ 20−11 √5
B= √ 32 ×5+3 √ 2 2 ×5−11 √ 5
B=3 √5×3×2 √5−11 √ 5
B=3 √5+6 √ 5−11 √ 5
B=(3+6−11) √ 5
B=−2 √ 5 .