Racine carrée

Racine carrée
I Racine carrée d'un nombre positif
Définition : Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a, notée
√
a ,
le seul nombre positif dont le
carré est égal à a. On a ainsi
√
a×
√
a=a, c'est-à-dire (
√
a)2=a.
Remarques : Le symbole
√
s'appelle le radical.
Si a est un nombre strictement négatif, alors
√
a
n'existe pas.
Propriété : Pour tout nombre positif a,
√
a2=a
II Produit de racines carrées
Propriété : Le produit de deux racines carrées est égal à la racine
carrée du produit. Autrement dit, a et b étant deux nombres positifs,
on a
√
a×
√
b=
√
a×b.
Remarque :
Si a est un nombre relatif et b un nombre positif,
a×
√
b peut s'écrire a
√
b.
Par exemple :
2×
√
3=2
√
3.
III Quotient de deux racines carrées
Propriété : Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine
carrée du quotient. Autrement dit, a et b étant deux nombres
positifs avec b non nul, on a
√
a
√
b=
√
a
b.
IV Simplification d'une racine carrée
Définition : Simplifier une racine carrée consiste
à écrire cette racine carrée sous la forme
a
√
b,
où a est un nombre relatif et b un nombre entier le
plus petit possible.
V Calcul d'une somme algébrique
Remarque : La somme, ou la différence, de deux racines carrées
n'est pas égale à la racine carrée de la somme, ou de la
différence.
Soit B =
√
45+3
√
20−11
√
5.
Calculer B, puis donner le résultat sous la forme a
√
b , où a est un nombre relatif et b un nombre
entier le plus petit possible.
Exemples :
√
9=3 car 32=9 .
√
1=1, car 12=1 .
√
−2 n'existe pas.
Exemples :
√
152=15;
√
25=
√
52=5;
√
(−7)2=
√
49=
√
72=7
Exemples :
√
2×
√
32=
√
2×32=
√
64=
√
82=8.
√
9×25=
√
9×
√
25=
√
32×
√
52=3×5=15
Exemples :
√
18
√
2= √
18
2=
√
9=
√
32=3 .
√
25
49 =
√
25
√
49 =
√
52
√
72=5
7.
Exemples :
A=
√
450=
√
52×32×2=
√
52×
√
32×
√
2=5×3×
√
2=15
√
2.
Exemples :
√
9+
√
16=3+4=7 et
√
9+16=
√
25=5¿
donc
√
9+
√
16≠
√
9+16 .
B=
√
45+3
√
20−11
√
5
B=
√
32×5+3
√
22×5−11
√
5
B=3
√
5×3×2
√
5−11
√
5
B=3
√
5+6
√
5−11
√
5
B=(3+6−11)
√
5
B=−2
√
5 .