cours - ambition

LFA / première S COURS Analyse Mme MAINGUY 1 Ch.10ÊDÉRIVATION_ partie 2
1ere S I.
Sens de variation d’une fonction
théorème admis Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ()
Ÿ Si pour tout x de I , on a f ′ ( x ) ≤ 0 , alors f est décroissante sur I . Ÿ Si pour tout x de I , on a f ′ ( x ) = 0 , alors f est constante sur I . Ÿ Si pour tout x de I , on a f ′ x ≥ 0 , alors f est croissante sur I . Remarque Ce théorème met en évidence le grand intérêt de la dérivation. Pour étudier les variations d’une fonction, on utilisait jusque-­‐là les fonctions de référence. On pourra maintenant étudier le signe de la dérivée, on en déduira alors les variations de la fonction donnée. Exercice 1 ()
º Étudier les variations de la fonction f définie sur  par : f x = 2x 3 − x − 1 . ()
º Même question avec la fonction g définie sur ⎤⎦1 ; + ∞ ⎡⎣ par : g x = 1− x −
1
. 1− x
Exercice 2 º Énoncer le théorème réciproque et le démontrer. II. Extrémum d’une fonction
théorème Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Soit x0 ∈I . On dit que f admet un extrémum local en x0 si f admet un extrémum en x0 sur un intervalle ouvert ⎤⎦ a ; b ⎡⎣ contenant x0 Exemple Soit f la fonction définie ⎡⎣ −2 ; 5⎤⎦ représentée ci-­‐contre. ()
( ) ()
f ( 4 ) = 1 est un minimum local : on observe en effet que pour tout x ∈ ⎤⎦3 ; 5⎡⎣ , f ( x ) ≥ f ( 4 ) f 1 = 3 est un maximum local : on observe en effet que pour tout x ∈ ⎤⎦0 ; 2 ⎡⎣ , f x ≤ f 1 propriété Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Soit x0 ∈I . ( )
( )
– Si f x0 est un extrémum local alors f ′ x0 = 0 . Remarques importantes ( )
– Si f x0 est un extrémum local alors la courbe représentative de f au point d’abscisse x0 admet une tangente horizontale ( )
(le coefficient directeur de cette tangente étant f ′ x0 , on en déduit immédiatement le résultat). ()
()
– La réciproque de cette propriété est fausse ! (exemple de la fonction cube qui vérifie f ′ 0 = 0 et f 0 n’est pas un extrémum local). LFA / première S COURS Analyse Mme MAINGUY 2 propriété Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Soit x0 ∈I . ( )
– Si f ′ s’annule en x0 en changeant de signe alors f x0 est un extrémum local de f . Exercice 3 ABCD est un carré de côté 10 cm et AMPN est un carré de côté x ∈ ⎡⎣0 ;10 ⎤⎦ ()
2
On désigne par S x l'aire en cm de la partie grisée. ()
Prouver que pour tout x ∈ ⎡⎣0 ;10 ⎤⎦ , S x = −x 2 + 5x + 50
1 / Construire le tableau de variation de S sur ⎡⎣0 ;10 ⎤⎦ . ()
2 / Pour quelles valeurs de x , l’aire S x est-­‐elle maximale ? Que vaut alors cette aire ? 3 / Déterminer l'ensemble des nombres x tels que S ( x ) < aire ( AMPN ) III. Majorant, minorant
définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I ()
Ÿ m est un minorant de f si pour tout x ∈I , f ( x ) ≥ m . Ÿ M est un majorant de f si pour tout x ∈I , f x ≤ M . Ÿ On dit que la fonction f est bornée, si elle est à la fois majorée et minorée. Remarques Ÿ si M est un majorant de f , alors f admet une infinité de majorants : en effet tout réel A > M est encore un majorant de f .