cours - ambition

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LFA$/$première$S$COURS$Analyse$Mme$MAINGUY$
Ch.10!DÉRIVATION_ partie 2
1ere"S"
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I. Sens de variation d’une fonction
théorème)admis)
Soit%
f
%une%fonction%définie%et%dérivable%sur%un%intervalle%
I
%%
!%Si%pour%tout%
x
%de%
I
,%on%a%
′
f x
( )
≥0
,%alors%
f
%est%croissante%sur%
I
.%
!%Si%pour%tout%
x
%de%
I
,%on%a%
′
f x
( )
≤0
,%alors%
f
%est%décroissante%sur%
I
.%
!%Si%pour%tout%
x
%de%
I
,%on%a%
′
f x
( )
=0
,%alors%
f
%est%constante%sur%
I
.%
Remarque%
Ce%théorème%met%en%évidence%le%grand%intérêt%de%la%dérivation.%Pour%étudier%les%variations%d’une%fonction,%on%utilisait%jusque@là%
les%fonctions%de%référence.%
On%pourra%maintenant%étudier%le%signe%de%la%dérivée,%on%en%déduira%alors%les%variations%de%la%fonction%donnée.%
Exercice)1)
"%Étudier%les%variations%de%la%fonction%
f
%définie%sur%
%par%:%
f x
( )
=2x3−x−1
.%
"%Même%question%avec%la%fonction%
g
%définie%sur%
1;+∞
⎤
⎦⎡ ⎣
%par%:%
g x
( )
=1−x−1
1−x
%.%
Exercice)2)
"%Énoncer%le%théorème%réciproque%et%le%démontrer.%
%
II. Extrémum d’une fonction
théorème)
Soit%
f
%une%fonction%définie%et%dérivable%sur%un%intervalle%
I
.%Soit%
x0∈I
.%
On%dit%que%
f
%admet%un%extrémum%local%en%
x0
%si%
f
%admet%un%extrémum%en%
x0
%sur%un%intervalle%ouvert%
a;b
⎤
⎦⎡ ⎣
%contenant%
x0
%
Exemple%
Soit%
f
%la%fonction%définie%
−2 ; 5
⎡
⎣⎤ ⎦
%représentée%ci@contre.%
f1
( )
=3
%est%un%maximum%local%:%on%observe%en%effet%que%pour%tout%
x∈0 ; 2
⎤
⎦⎡ ⎣
,%
f x
( )
≤f1
( )
%
f4
( )
=1
%est%un%minimum%local%:%on%observe%en%effet%que%pour%tout%
x∈3; 5
⎤
⎦⎡ ⎣
,%
f x
( )
≥f4
( )
%
%
propriété)
Soit%
f
%une%fonction%définie%et%dérivable%sur%un%intervalle%
I
.%Soit%
x0∈I
.%
!%Si%
f x0
( )
%est%un%extrémum%local%alors%
′
f x0
( )
=0
%.%
Remarques)importantes)
!%Si%
f x0
( )
%est%un%extrémum%local%alors%la%courbe%représentative%de%
f
%au%point%d’abscisse%
x0
%admet%une%tangente%horizontale%
(le%coefficient%directeur%de%cette%tangente%étant%
′
f x0
( )
,%on%en%déduit%immédiatement%le%résultat).%
!%La%réciproque%de%cette%propriété%est%fausse%!%(exemple%de%la%fonction%cube%qui%vérifie%
′
f0
( )
=0
%et%
f0
( )
%n’est%pas%un%%
%%%extrémum%local).%
%

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LFA$/$première$S$COURS$Analyse$Mme$MAINGUY$
propriété)
Soit%
f
%une%fonction%définie%et%dérivable%sur%un%intervalle%
I
.%Soit%
x0∈I
.%
!%Si%
′
f
%s’annule%en%%
x0
%en%changeant%de%signe%alors%
f x0
( )
%est%un%extrémum%local%de%
f
.%
%
Exercice)3)
ABCD
%est%un%carré%de%côté%
10
cm%et%
AMPN
%est%un%carré%de%côté%
x∈0 ;10
⎡
⎣⎤ ⎦
%
On%désigne%par%
S x
( )
%l'aire%en%cm2%de%la%partie%grisée.%
Prouver%que%pour%tout%
x∈0 ;10
⎡
⎣⎤ ⎦
%,%
S x
( )
=−x2+5x+50
%
1%/%%Construire%le%tableau%de%variation%de%
S
%sur%
0 ;10
⎡
⎣⎤ ⎦
.%
2%/%%Pour%quelles%valeurs%de%
x
,%l’aire%
S x
( )
%est@elle%maximale%?%Que%vaut%alors%cette%aire%?%
3%/%%Déterminer%l'ensemble%des%nombres%
x
%tels%que%
( ) ( )
Sx aireAMPN<
%
%
%
III. Majorant, minorant
%
définition)
Soit%
f
%une%fonction%définie%sur%un%intervalle%
I
%%
!%
M
%est%un%majorant%de%
f
%si%%pour%tout%
x∈I
,%
f x
( )
≤M
.%
!%
m
%est%un%minorant%de%
f
%si%%pour%tout%
x∈I
,%
f x
( )
≥m
.%
!%On%dit%que%la%fonction%
f
%est%bornée,%si%elle%est%à%la%fois%majorée%et%minorée.%
Remarques%
!%si%
M
%est%un%majorant%de%
f
,%alors%
f
%admet%une%infinité%de%majorants%:%en%effet%tout%réel%
A>M
%est%encore%un%majorant%
%%%de%
f
.%
%
%
%