Savoir-faire fondamentaux Primitives

Savoir-faire fondamentaux
Primitives
• Toutes les questions commencent par « Je dois, sans hésiter, savoir ».
• Il s’agit le plus souvent de techniques simples de calcul.
• La liste proposée n’est en aucun cas exhaustive.
• Etre incapable de traiter une question vous mènera inévitablement à d’importantes déconvenues.
S.F. 1)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R
par :
f (x) = 2x3 − 3x + 4.
S.F. 2)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R∗
par :
1
2
f (x) = 2 − 3 .
x
x
S.F. 3)Correction
déterminer la primitive F de la fonction f définie sur R
par :
f (x) = x2 − 3ex et F (0) = 5.
S.F. 4)Correction
montrer que la fonction x 7→ (x − 1)ex est une primitive
sur R de la fonction x 7→ xex
S.F. 5)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R
par :
f (x) = 3e4x .
S.F. 6)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R
par :
3
f (x) = (2x + 3) x2 + 3x − 4 .
S.F. 7)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R
par :
x
.
f (x) = √
2
x +1
S.F. 8)Correction
déterminer une primitive de la fonction f définie sur R
par :
4x3 + 2x
f (x) =
3.
4
(x + x2 + 1)
S.F. 1) Enoncé
1
3
F (x) = x4 − x2 + 4x
2
2
S.F. 2) Enoncé
1
1
1
1
2
F (x) = 2 × −
− −
× 2 = 2−
x
2
x
2x
x
S.F. 3) Enoncé
Les primitives de f sont les fonctions Fk définie sur R, telles que : Fk (x) =
On a alors : Fk (0) = −3 + k. Ainsi Fk (0) = 5 ⇐⇒ −3 + k = 5 ⇐⇒ k = 8.
1
Finalement : Fk (x) = x3 − 3ex + 8.
3
1 3
x − 3ex + k, avec k ∈ R.
3
S.F. 4) Enoncé
On note f la fonction définie sur R par : f (x) = (x − 1)ex .
La fonction f est le produit d’un polynôme par la fonction exponentielle et est donc dérivable sur R.
De plus (uv)′ = u′ v + uv ′ , donc f ′ (x) = 1 × ex + (x − 1)ex = ex + xex − ex = xex .
Donc f est une primitive sur R de la fonction x 7→ xex .
S.F. 5) Enoncé
3
Pour tout x ∈ R : f (x) = × 4e4x .
4
3 ′ u
Ainsi f est du type f = u e , avec u(x) = 4x et u′ (x) = 4. Or une primitive de u′ eu est eu .
4
3 4x
Ainsi : F (x) = e .
4
S.F. 6) Enoncé
1
f est du type f = u′ u3 , avec u(x) = x2 + 3x − 4 et u′ (x) = 2x + 3. Or une primitive de u′ u3 est u4 .
4
4
1 2
x + 3x − 4 .
Ainsi : F (x) =
4
S.F. 7) Enoncé
1
2x
×√
.
2
x2 + 1
√
u′
1 u′
Ainsi, f est du type f = √ , avec u(x) = x2 + 1 et u′ (x) = 2x. Or une primitive de √ est 2 u.
2 u
u
p
p
1
Ainsi : F (x) = × 2 x2 + 1 = x2 + 1.
2
Pour tout x ∈ R : f (x) =
S.F. 8) Enoncé
u′
1 1
u′
f est du type f = 3 , avec u(x) = x4 + x2 + 1 et u′ (x) = 4x3 + 2x. Or une primitive de 3 est − 2 .
u
u
2u
1
1
Ainsi : F (x) = − × 4
.
2 (x + x2 + 1)2