U N I V E R S I T E
de
C A E N
Institut de Biologie Fondamentale et Appliqu´ee
M A T H E M A T I Q U E S pour SV 105
0-
Pr´esentation - Bibliographie.
1-
Trigonom´etrie - Fonctions r´eciproques 1
2-
Nombres complexes 11
3-
Fonctions puissance 19
4-
Calcul vectoriel 23
5-
D´eveloppements limit´es 31
6-
Fonctions de la variable r´eelle 42
7-
Primitives et int´egrales 51
8-
Fonctions de plusieurs variables 64
9-
Equations diff´erentielles du premier ordre 80
10 -
Equations diff´erentielles du second ordre 90
11 -
Calculs de volumes et d’aires de r´evolution 98
12 -
Annales de math´ematiques du L1 101
LICENCE 1`ere A N N ´
E E
S C I E N C E S du V I V A N T
PRESENTATION
Ce polycopi´e est conc¸u pour permettre aux ´etudiants des “Sciences du Vi-
vant” de consolider leurs connaissances et d’acqu´erir les outils math´ematiques
n´ecessaires `a leur formation.
Les diff´erents th`emes abord´es ont ´et´e discut´es et pr´epar´es en collaboration avec
les enseignants des autres disciplines, en particulier ceux de Physique, Chimie et
Biologie.
L’objectif est aussi d’uniformiser les enseignements de Math´ematiques des diff´erents
groupes d’enseignement.
On trouvera de nombreux exercices qui ne pourront pas tous ˆetre trait´es en
Cours-TD ; c’est pourquoi les corrig´es succints sont inclus `a la fin du polycopi´e ;
il est cependant vivement conseill´e aux ´etudiants de chercher s´erieusement les
exercices avant de regarder la solution.
(jmarc.guerrier@math.unicaen.fr)
Math´ematiques - Universit´e de Caen.
BIBLIOGRAPHIE.
On retrouvera dispers´es dans les livres de Math´ematiques des DEUG des fili`eres
de sciences appliqu´ees les th`emes abord´es ici ; on pourra consulter :
Math´ematiques Analyse .
V.Blondel (Dunod)
Math´ematiques Deug Sciences SV-VT. L1 Biologie.
E.Azoulay (Edisciences)
◦•◦•◦•◦
3
Chapitre 1
Trigonom´etrie
Utilis´ee pour d´eterminer des distances inaccessibles en navigation, topographie,
astronomie, la trigonom´etrie, qui traite des relations entre les cot´es et les angles des
triangles, est un outil math´ematique employ´e aussi en physique pour mod´eliser
les ph´enom`enes p´eriodiques comme par exemple les vibrations en m´ecanique,
acoustique, ´electricit´e ou en optique.
1.1 Fonctions trigonom´etriques.
Le cercle trigonom´etrique de centre O, de rayon 1, est orient´e dans le sens inverse
des aiguilles d’une montre. On note
OA le vecteur unitaire et mes(
OA,
OM) = x
la mesure de l’angle exprim´ee en radians `a 2πpr`es ou en degr´es. On a la corres-
pondance : 2πradians = 360 degr´es qui donne xradians =180
πxdegr´es et
r´eciproquement xdegr´es =π
180 xradians.
On d´efinit les fonctions trigonom´etriques :
sin : x7−sin x=Os ordonn´ee de M
cos : x7−cos x=Oc abscisse de M
tan : x7−tan x=sin x
cos x=Ot.
Oc
s
AX
YY
t
xM
Le th´eor`eme de Pythagore appliqu´e au triangle OMc permet d’´ecrire la formule
fondamentale de la trigonom´etrie circulaire : cos2x+ sin2x= 1.
La fonction x7−sin xest d´efinie pour tout xde R. Elle est impaire puisque
sin(x) = sin xet de p´eriode 2π; son graphe est donc sym´etrique par rapport
`a O. Comme sin x= sin(πx), le graphe est sym´etrique par rapport `a la droite
d’´equation X=π
2; il suffit donc d’´etudier la fonction sur l’intervalle [0,π
2]et
4
pour obtenir le graphe complet d’effectuer les sym´etries, puis les translations de
vecteur 2kπ~
i(kZ).
La d´eriv´ee est sin0x= cos x, d’o `u le tableau de variations et le graphe
x0π
2
sin0x1 + 0
sin x01
2π−π π2π
1
1O
y
x
La fonction x7−cos xest d´efinie pour tout xde R. Elle est paire puisque
cos(x) = cos xet de p´eriode 2π; son graphe est donc sym´etrique par rapport `a
Oy ; il est aussi sym´etrique par rapport au point (π
2,0) car cos x=cos(πx);
il suffit donc d’´etudier la fonction sur l’intervalle [0,π
2]et pour obtenir le graphe
complet d’effectuer les sym´etries, puis les translations de vecteur 2kπ~
i(kZ).
La d´eriv´ee est cos0x=sin x, d’o`u le tableau de variations et le graphe
x0π
2
cos0x0− −1
cos x1@R 0
−π π
2π2π
x
y
1
1O
La fonction x7−tan xest d´efinie pour x6=π
2+kπ (kZ). Elle est impaire
puisque tan(x) = tan xet de p´eriode π; son graphe est donc sym´etrique par
rapport `a Oet de plus admet pour asymptote la droite X=π
2car
lim
xπ/2tan x= +; il suffit donc d’´etudier la fonction sur l’intervalle [0,π
2[et pour
obtenir le graphe complet d’effectuer la sym´etrie, puis les translations de vecteur
2kπ~
i(kZ).
La d´eriv´ee tan0x=1
cos2xdonne le tableau de variations puis le graphe
x0π
2
tan0x1 + +
tan x0+
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