5 ème Calculs POUR PRENDRE UN BON DÉPART – Rappel

6ème - 5ème Calculs
POUR PRENDRE UN BON DÉPART – Rappel
1) Additions, multiplications
Définition 1: Le résultat d’une addition s’appelle une somme
Ex : 73,45 + 94,73 = 168,18 ; 73,45 et 94,73 sont les termes de la somme; 168,18 est la somme
Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues
Propriété 1: Dans une somme, l’ordre des termes peut être changé (cela peut simplifier les calculs)
Définition 2: Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit
Ex : 7 x 9 = 63
7 et 9 sont les facteurs
63 est le produit
Propriété 2: Dans le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs peut être changé (pour simplifier les
calculs)
2) Soustractions, divisions
Définition : Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence
Ex : 121,45 – 42,5 = 78,95
121,45 et 42,5 sont les termes de la différence
168,18 est la différence
Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues
Propriété: Dans une différence l’ordre des termes NE PEUT PAS être changé
Les calculs s’effectuent de la GAUCHE vers la DROITE
La différence 66,2 - 26 est le nombre manquant dans l'égalité :
26,7 + ...... = 66,2.
On a donc : 66,2 - 26,7 = 39,5
parce que : 26,7 + 39,5 = 66,2.
Définition : Le résultat d’une division s’appelle le quotient
Ex : 9 : 2 = 4,5
9 est le diviseur et 2 est le dividende
4,5 est le quotient exact
3°) Calculs sans parenthèse
Règle 1: Pour effectuer une suite d’opérations sans parenthèses on suit l’ordre suivant
1) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE
2) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à
DROITE
4°) Calculs avec parenthèses
Règle 2: Pour effectuer une suite d’opérations avec parenthèses on suit l’ordre suivant
1) effectuer les calculs en commençant par les parenthèses les plus intérieures
2) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE
3) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à
DROITE
Règle 3: Dans une expression fractionnaire, on suit l’ordre
a) On effectue les calculs au numérateur et au dénominateur
b) On simplifie la fraction ou on calcule le quotient
(un grand trait de fraction indique une parenthèse même si elle n’est pas écrite)
Distributivité la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Règle 4 Quels que soient les nombres a, b et k non nul,
factoriser
(passer d'un produit de facteur à une somme de termes)
<-----------k x (a - b ) = k x a - k x b
ou k(a + b) = ka + kb
k x (a + b ) = k x a + k x b
ou k(a + b) = ka + kb
------------->
développer
(passer d'une somme de termes à un produit de facteur)
ATTENTION : (a + b)k = k(a + b) et (a - b)k = k(a - b)
6ème - 5ème Quotients - Fractions
1) Ecriture fractionnaire des nombres
1) Rapppel
a
est le quotient de a par b, c’est une écriture
b
fractionnaire si a et b sont des entiers on dit que est une fraction
Attention : = a et = 0
a) a et b deux nombres et b non nul (b ≠ 0) ;
b) Transformer une écriture fractionnaire en fraction signifie l’écrire avec un numérateur et un
dénominateur entier
c) Avec des lettres (admis) : c x
a
cxa
c
=
=
x a
b
b
b
b non nul
2) Diviser
Écrire sous forme décimale le quotient sans utiliser la calculatrice.
Règle : le résultat d’une division ne change pas si l’on multiplie le dividende et le diviseur par
un même nombre
Commentaire
Selon les cas, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par 2, 5, 10, 100 ou 1000...
3) nombres en écriture fractionnaires égaux
règle : Le quotient de deux nombres reste inchangé si on multiplie (ou si on divise) le numérateur
(dividende) ET le dénominateur (diviseur) par un même nombre non nul.
Avec des lettres :
a
a xk
a:k
=
=
b
bx k
b :k
b≠0 k≠0
Définition : 1) Simplifier une fraction c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le
dénominateur sont des nombres plus petits
2) Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible
Règles : 1) un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8
2) un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0, 5
3) un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple par 3
4) un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
5) un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
Calul rapide :
multiplier par 0,5 revient à diviser par 2
multiplier par 0,25 revient à diviser par 4
4) comparaison
Propriété 1 :1) Si le numérateur d'un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son
dénominateur alors le nombre est supérieur à 1.
2) Si son numérateur est inférieur à son dénominateur alors le nombre est inférieur à 1.
3) Si deux nombres en écritures fractionnaires ont le même dénominateur alors le plus petit est celui
qui a le plus petit numérateur
1/2
Pratique :
1) vérifier que les deux dénominateurs sont égaux
2) si c’est le cas --> utiliser la propriété
3) sinon : réduire les fractions au même dénominateur PUIS utiliser la propriété
5) Addition
Règle: Pour additionner ou soustraire deux nombres en écritures fractionnaires IL FAUT QU’ILS
AIENT LE MEME DENOMINATEUR
Pour additionner deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
1) on additionne les numérateurs
2) on garde le même dénominateur
avec des lettres
avec des lettres
a c a+c
+ =
b b
b
a c a −c
− =
b b
b
b≠0
b ≠0
Rappel :
Dans une suite d’additions on peut changer l’ordre des termes et les regrouper pour simplifier les
calculs
Dans une expression contenant des additions ET des soustractions on doit effectuer les calculs de
GAUCHE à DROITE
Quand une expression contient des parenthèses, on effectue :
1) Les calculs à l’intérieur des parenthèses en commençant par les plus intérieures
2) Les calculs restants en respectant les deux premières règles
ATTENTION :
Dans les calculs de nombres en écritures fractionnaires, avant d’effectuer les calculs PENSER à
simplifier chacune des écritures fractionnaires si c’est possible
5) multiplication
Règle: Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, Ne pas réduire les fractions au
même DENOMINATEUR
1) multiplier les numérateurs entre eux
2) multiplier les dénominateurs entre eux
3) Penser à simplifier si c’est possible avant de terminer les calculs
Définition : un nombre décimal est un nombre qui a une écriture à virgule finie
Pour tronquer un résultat : on « coupe » au rang indiqué et on « laisse tomber » les chiffres à droite
Pour arrondir un résultat : on tronque d'abord le nombre au rang indiqué. Puis :
* si le chiffre qui suit est supérieur ou égal à 5, on augmente de 1 le dernier chiffre du nombre tronqué
* si le chiffre qui suit est inférieur à 5 , on garde le nombre tronqué.
Différence des 2 signes « = » et « .≈. »
2/
SIMPLIFIER UN
SAVOIR FAIRE
QUOTIENT
Pour simplifier un quotient, on doit trouver un nombre qui divise à la fois son numérateur et
son dénominateur.
• Vérifier si l'on peut tout de suite simplifier par 10, 100, 1000,...
Exemple :
2000 2 x1000 2
=
=
5000 5x1000 5
• Vérifier si l'on peut simplifier par 2 ou par 5.
Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5.
Exemple :
14
2x7
7
=
=
16
2x8
8
• Vérifier si l'on peut simplifier par 3 ou par 9.
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple :
87 3x29 29
=
=
51 3x17 17
• Vérifier si numérateur et dénominateur ne figurent pas dans une même « table de
multiplication ».
Exemple :
35 5x7 5
=
=
63 9x7 9
• Vérifier s’il est possible que plusieurs simplifications se succèdent
Exemple :
728
2 x7 x4 x13
4
=
=
910
2 x7 x5x13
5
6ème - 5ème Nombres relatifs
1) Rappels
–
Priorités opératoires - distributivité: A revoir
Définition :
• Un nombre précédé ou non d’un signe + est un nombre positif
• un nombre précédé d’un signe - est un nombre négatif
• Le seul nombre positif et négatif est le nombre zéro +0 = - 0 = 0
• Les nombres positifs ou négatifs s ‘appellent les nombres relatifs
Distance à zéro : nombres opposés
Définition : Un nombre relatif est déterminé par son signe et sa distance à zéro
Nombres relatifs négatifs
nombres relatifs positifs
I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I
-6
-3,5
0
3,5
la distance à zéro de -6 est 6
La distance à zéro de +6 est 6
on dit que +6 et –6 sont opposés, de même +3,5 et –3,5
I
I
I
6
Définition : Deux nombres relatifs sont opposés s’ils ont des signes contraires et la même distance
à zéro
2) comparaison
a) Symboles: > signifie « est strictement supérieur à » ; ≤ signifie « inférieur ou égal à »
< signifie « est strictement inférieur à » ; ≥ signifie « supérieur ou égal à »
Propriété :
Si un nombre est positif alors il est supérieur à zéro
Si un nombre est négatif alors il est inférieur à zéro
Si deux nombres relatifs ont des signes différents alors le plus petit est le nombre négatif
Si deux nombres relatifs sont …négatifs. alors le plus petit est celui qui a la ……. …grande distance
à zéro.. (le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée dans le sens positif)
b) Comparaison des décimaux
Comparons 9,354 et 12,354 : 9,32 et 9,302: En premier on compare les parties entières :
* Soit elles sont différentes
Cas 1
9,354 et 12,354
Parties entières
9 < 12 donc a 9,354 < 12,354
* soit elles sont égales
Cas 2
9,32 et 9,302
Parties entières
9 et 9 on a 9 = 9
Il faut regarder les parties décimales
302
32 et
Si nécessaire en second on compare les parties décimales
On compare les dixièmes : 3 et 3 égalité -->
On continue
Puis les centièmes : 2 et 0 on a 2 > 0
Donc 9,32 > 9,302
Si nécessaire continuer
4) Opérations
a) Somme
Règle 1 :
Si les deux nombres relatifs à additionner sont de même signe alors il faut :
1) …ajouter les distances à zéro.
2) …mettre le signe des 2 nombres.
1/2
Règle 2 :
Si les deux nombres relatifs à additionner sont de signes contraires alors il faut :
3) …soustraire les distances à zéro.
4) …mettre le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Règle 3: Si les deux nombres relatifs à additionner sont opposés alors leur somme est égale à 0
b) Différence
Règle 3 :
Soustraire deux nombres relatifs revient à ajouter …son opposé…..
a - b = …a + ( - b)
c) Simplification d’écriture
Convention: Pour écrire plus simplement la somme ou la différence de 2 nombres relatifs, on
convient de :
1) Transformer les soustractions en …addition
2) Supprimer les …opposés… et les …parenthèses.
3) ne plus écrire le signe + devant le …premier. terme s’il est positif
3) Repères
a) droite
Définition : Une droite graduée ou axe est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le zéro) et
une unité (la distance du 0 au 1) . En général, il vous faut choisir le point origine et l'unité
B
D
O
C
A
I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I
-5
-3,5
0
1
2,5
4
On dit le point A a pour abscisse 4 , le point B a pour abscisse –5
La longueur OI est l’unité choisie pour graduer la droite
Définition : Chaque point de la droite graduée peut être repérée par un nombre relatif appelé abscisse
du point
b) repère
Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l’axe des
abscisses , « horizontal » et l’axe des ordonnées, « vertical »)
axe des ordonnées
Point
Coordonnées
A
A
(4 ; 2)
B
C
D
O
D
(-4 ; -1)
(3 ; - 2)
(- 2 ; 3)
(0 ; 0)
Définition : Chaque point du plan peut-être
repéré par deux nombres relatifs appelés
coordonnées du point.
Le premier nombre est toujours l’abscisse
et le deuxième toujours l’ordonnée
axe des abscisses
B
C
Attention : le point C(3 ; -2) est différent
du point D(-2 ; 3)
Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l’axe des
abscisses , « horizontal » et l’axe des ordonnées, « vertical »)
c) Distance entre 2 points
Définition :Soit (OI) une droite graduée (unité OI) Si A(a) et B(b) alors
la distance entre A et B est : AB = BA = abscisse la plus grande – abscisse la plus petite
Attention : une distance est toujours un nombre …positif…
2/2
6ème - 5ème Calcul littéral
I) Simplification d'écriture
Définition : Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nombres sont
représentés par des lettres
Convention : Le signe multiplié ( x ) peut être supprimé dans certaines écritures.
•
entre un nombre et une lettre
•
entre deux lettres
•
entre un nombre (une lettre) et une parenthèse
Par contre, dans l'écriture 5 x 4 il est interdit d'omettre le signe x (il ne faut pas confondre avec le
nombre 54).
À connaître
Pour tout nombre a, on peut écrire : a × a = a ² (qui se lit « a au carré »)
a × a × a = a3 (qui se lit « a au cube »).
II) Remplacer des lettres par des nombres
Règle : Pour calculer une expression littérale pour une certaine valeur des lettres,il suffit de remplacer
les lettres par ces valeurs.
III) Développer une expression littérale
Définition : Développer signifie passer d’un produit de facteur à une somme ou une différence de
termes
Règle : Soient k, a et b trois nombres positifs. Pour développer une expression, on distribue le facteur
( k ) à tous les termes entre parenthèses :
----------->
----------->
k (a + b) = k a + k b
k (a – b) = k a – k b
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a – b) = k × a – k × b
IV) Factoriser une expression littérale
Définition : Factoriser signifie passer d’une somme ou une différence de termes à un produit de
facteur
Règle : Soient k, a et b trois nombres positifs. Pour factoriser une expression, on repère le facteur
commun à chaque terme et on le multiplie par la somme ou la différence des autres facteurs :
< ----------<----------k (a + b) = k a + k b
k (a – b) = k a – k b
k × (a + b) = k × a + k × b
k × (a – b) = k × a – k × b
IV) Réduire une expression avec des lettres
Définition : Réduire une expression signifie regrouper et simplifier les termes identiques
V) Equation
Définition :
a. Une égalité dans laquelle figure un nombre à trouver (représenté par une lettre) s’appelle une
équation
b. Le nombre cherché s’appelle une inconnue
c. Trouver ce nombre signifie résoudre l’équation
d. Le(s) nombres pour le(s)quel(s) l’égalité est vérifiée s’appelle(nt) l(es) solutions de l’équation
Tester uné égalité:
a. On calcule d'une part le membre de gauche pour la valeur donnée
b. Puis d'autre part le membre de droite
c. On compare les deux résultats trouvés et on conclut
6ème - 5ème Proportionnalité
1) Reconnaître la proportionnalité
Il y a proportionnalité dans un tableau, lorsque les termes d’une ligne s’obtiennent en multipliant ou
en divisant par un même nombre ceux de l’autre ligne.
Définition : Dire que 2 grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l’une sont
obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul,appelé coefficient de
proportionnalité
2) La quatrième proportionnelle
Définition : Lorsqu’une situation de proportionnalité est représentée dans un tableau à 4 cases dont 3
sont connues, la 4ème valeur est appelée la quatrième proportionnelle
Nombre
6
12
de SMS
Prix
4ème
1,2
payé en €
proportionnelle
Règles de calculs
x2
Nombre
de SMS
Prix
payé en €
Plusieurs solutions
6
12
1,2
P = 4ème
proportionnelle
Solution 1 : 6 x 2 = 12 donc 1,2 x 2 = 2,4
x0,
Solution 2 : 6 x 0,2 = 1,2 donc 12 x 0,2 = 2,4
Comme 0,2 = on a 12 x = flèches
3) Représentation graphique
Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles signifie que les points de la représentation
graphique des valeurs d’une grandeuren fonction des valeurs de l’autre grandeur sont alignés sur une
droite passant par l’origine du repère
4) Mouvement uniforme
a- unités de temps 1h = 60min
1min = 60s
1h = 3600s
Pour transformer des heures en secondes on multiplie par 3600, et pour passer des secondes en heures
on divise par 3600
b- Mouvement uniforme
Définition : Dire qu’un mouvement est uniforme signifie que la distance (d) parcourue au cours de ce
mouvement est proportionnelle à la durée du parcours (t) . Le coefficient de proportion- nalité est la
vitesse v . d = vt
t = d/v
v = d/t
5) échelle:
Définition : Lorsqu’on réalise une reproduction (carte, dessin, maquette) les longueurs de la
reproduction (sur le papier) et les longueurs réelles sont proportionnelles
L’échelle de la reproduction est le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les
dimensions réelles pour obtenir les dimensions de la reproduction (exprimées dans la même unité)
6) Pourcentage: Dire qu'il y a 85 % de jus d'orange dans une boisson signifie que dans 100 L de
boisson, il y a 85 L de jus d'orange.
a
Définition : Pour calculer les a % d'un nombre, on multiplie ce nombre par
100
Calculer un pourcentage: Calculer un pourcentage, c'est calculer la proportion sur 100.
Exemple : Dans une classe de 25 élèves, il y a 15 filles. Quel est le pourcentage de filles ?
nombre de filles
15
60
15 x 100 ÷ 25 = 60
total
25
100
Il y a 60% de filles dans la classe.
6ème - 5ème Statistiques
I) Vocabulaire
Définitions :
1) Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu
(personne ou objet).
Caractère : critère étudié, qui permet de classer les personnes ( ou les objets) de la population selon
différentes valeurs.
2)La population est l’ensemble de tous les individus.
3)Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film
préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision, ...).
4) L'ensemble des données collectées avant traitement est appelé série brute. Les données sont
ensuite regroupées et présentées dans untableau de données.
5) Le nombre total d’individus de la population est appelé effectif total.
6) Le nombre d’individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère.
Lorsque l'on traite une série brute de données quantitatives, pour limiter la taille du tableau de
données, on est parfois amené à regrouper les données par classes.
Définition :
1) Une classe est un intervalle de valeurs que peut prendre le caractère quantitatif étudié.
2) Regrouper par classes, c'est déterminer le nombre de caractères qui
appartiennent à chaque classe.
3) L'amplitude d'une classe est la longueur de l'intervalle de valeurs. Les classes
peuvent être d'amplitudes différentes.
II) Diagrammes - Histogramme
classes
Nombre de jours
Hauteur de la barre
[0 ; 10]
1
1
[11 ; 20]
2
2
[21 ; 30]
4
4
[31 ; 40]
10
10
[41 ; 50]
8
8
[51 ; 60]
6
6
diagramme à barres
histogramme
Exemple :
12
10
effectif
8
6
4
2
0
moins de de 20 à
20 ans
30 ans
de 30 à
40 ans
de 40 à
50 ans
de 50 à
60 ans
Définition : Toutes les classes ont la même amplitude La hauteur de chaque rectangle est
proportionnelle aux effectifs
Sur l’axe horizontal on indique les classes (1cm ou 2 carreaux), sur l’axe vertical le nombre de jours
(hauteur en cm ou carreaux)
- Le diagramme circulaire - Définitions
1) L'angle de chaque secteur angulaire d'un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) est
proportionnel à l'effectif du caractère.
2) L'effectif total correspond à un angle de 360° (180° pour les semi-circulaires).
3) Si on connaît la fréquence du caractère, on obtient l'angle en la multipliant par 360 (ou 180).
1/2
Exemple
diagramme circulaire
de 50 à
60 ans
19%
moins de
20 ans
13%
de 40 à
50 ans
16%
de 20 à
30 ans
33%
de 30 à
40 ans
19%
À toi de jouer À la fin de l’année scolaire 2002/2003, l’orientation des élèves de 3e a donné les
résultats suivants (source INSEE) :
3e (Doublement) ......................... 38 898
CAP ................................................ 36 626
2nde ............................................ 362 573 Autres ................................................. 456
BEP ............................................ 151 736
Construis un diagramme semi-circulaire représentant ces données.
3è
2nde
BEP
CAP
Autres
Total
Résultats
38 898 362 573 151 736
36 626
456
590 289
Angle ( ° )
23,7
221,1
92,5
22,3
0,3
360
360 x 38 898/590 289 ≈ 23,722 soit 23,7°
c- Le diagramme en bâton
Exercice: Lors d’un contrôle de mathématiques on a relevé les notes sur 22 suivantes :
10 6 8 12 18 10 14 10 12 16 12 18 6 8 12 6 12 8 14 12 16 12
a- Calcule la moyenne :(3x10 + 3x6 + 38 + 7x12 + 2x18 + 2x14 + 2x16)/22 ≈ 11,4545 environ 11,5
b- Complète le tableau :
Note sur 20
Effectifs
6
3
8
3
10
3
12
7
14
2
16
2
18
2
Total
22
c- Construis un diagramme en bâtons des effectifs. ( 1cm pour 1 élève )
effectifs
7
3
2
1
6
8
10 12
d- Autres - * diagramme en tuyaux
14
16
18
notes
* diagramme en bandes
IV) Effectifs et fréquences
Définitions :
La fréquence d’une valeur est le quotient (rapport) de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total de la
population. Ce quotient peut être écrit sous diverses formes : décimale (exacte ou approchée) ou
fractionnaire.
Lorsqu'on exprime ce quotient sous la forme d'une fraction de dénominateur 100, on
parle de fréquence en pourcentage.
Remarques :
d) La somme des fréquences vaut toujours 1
e) La somme des fréquences en pourcentages vaut toujours 100
On travaille essentiellement avec les fréquences en pourcentage car elles permettent de comparer
plusieurs populations différentes
Intérêt : Calculer la fréquence d'un caractère pour deux populations d'effectifs différents permet de
comparer la répartition de ce caractère au sein des deux populations.
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