5 ème Calculs POUR PRENDRE UN BON DÉPART – Rappel

6 ème - 5 ème Calculs
POUR PRENDRE UN BON DÉPART – Rappel
1) Additions, multiplications
Définition 1: Le résultat d’une addition s’appelle une somme
Ex : 73,45 + 94,73 = 168,18 ; 73,45 et 94,73 sont les termes de la somme; 168,18 est la somme
Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues
Propriété 1: Dans une somme , l’ordre des termes peut être changé (cela peut simplifier les calculs)
Définition 2: Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit
Ex : 7 x 9 = 63 7 et 9 sont les facteurs 63 est le produit
Propriété 2: Dans le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs peut être changé (pour simplifier les
calculs)
2) Soustractions, divisions
Définition : Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence
Ex : 121,45 – 42,5 = 78,95 121,45 et 42,5 sont les termes de la différence
168,18 est la différence
Attention: à l’alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues
Propriété: Dans une différence l’ordre des termes NE PEUT PAS être changé
Les calculs s’effectuent de la GAUCHE vers la DROITE
La différence 66,2 - 26 est le nombre manquant dans l'égalité : 26,7 + ...... = 66,2.
On a donc : 66,2 - 26,7 = 39,5 parce que : 26,7 + 39,5 = 66,2.
Définition : Le résultat d’une division s’appelle le quotient
Ex : 9 : 2 = 4,5 9 est le diviseur et 2 est le dividende 4,5 est le quotient exact
3°) Calculs sans parenthèse
Règle 1: Pour effectuer une suite d’opérations sans parenthèses on suit l’ordre suivant
1) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE
2) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à
DROITE
4°) Calculs avec parenthèses
Règle 2: Pour effectuer une suite d’opérations avec parenthèses on suit l’ordre suivant
1) effectuer les calculs en commençant par les parenthèses les plus intérieures
2) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE
3) effectuer les additions et soustractions dans l’ordre où elles sont écrites de GAUCHE à
DROITE
Règle 3: Dans une expression fractionnaire, on suit l’ordre
a) On effectue les calculs au numérateur et au dénominateur
b) On simplifie la fraction ou on calcule le quotient
(un grand trait de fraction indique une parenthèse même si elle n’est pas écrite)
Distributivité la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Règle 4 Quels que soient les nombres a, b et k non nul,
factoriser (passer d'un produit de facteur à une somme de termes)
<------------
k x (a - b ) = k x a - k x bou k(a + b) = ka + kb
k x (a + b ) = k x a + k x bou k(a + b) = ka + kb
------------->
développer (passer d'une somme de termes à un produit de facteur)
ATTENTION : (a + b)k = k(a + b) et (a - b)k = k(a - b)

6 ème - 5 ème Quotients - Fractions
1) Ecriture fractionnaire des nombres
1) Rapppel
a) a et b deux nombres et b non nul (b ≠ 0) ;
a
b
est le quotient de a par b, c’est une écriture
fractionnaire si a et b sont des entiers on dit que est une fraction
Attention : = a et = 0
b) Transformer une écriture fractionnaire en fraction signifie l’écrire avec un numérateur et un
dénominateur entier
c) Avec des lettres (admis) : c x
a
b
=
c x a
b
=
c
b
x a b non nul
2) Diviser
Écrire sous forme décimale le quotient sans utiliser la calculatrice.
Règle : le résultat d’une division ne change pas si l’on multiplie le dividende et le diviseur par
un même nombre
Commentaire
Selon les cas, on multiplie le numérateur et le
dénominateur par 2, 5, 10, 100 ou 1000...
3) nombres en écriture fractionnaires égaux
règle : Le quotient de deux nombres reste inchangé si on multiplie (ou si on divise) le numérateur
(dividende) ET le dénominateur (diviseur) par un même nombre non nul.
Avec des lettres :
a
b
=
a x k
b x k
=
a : k
b :k
b ≠ 0 k ≠ 0
Définition : 1) Simplifier une fraction c’est trouver une fraction égale dont le numérateur et le
dénominateur sont des nombres plus petits
2) Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible
Règles : 1) un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8
2) un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0, 5
3) un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple par 3
4) un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
5) un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4
Calul rapide : multiplier par 0,5 revient à diviser par 2
multiplier par 0,25 revient à diviser par 4
4) comparaison
Propriété 1 :1) Si le numérateur d'un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son
dénominateur alors le nombre est supérieur à 1.
2) Si son numérateur est inférieur à son dénominateur alors le nombre est inférieur à 1.
3) Si deux nombres en écritures fractionnaires ont le même dénominateur alors le plus petit est celui
qui a le plus petit numérateur 1/2

Pratique : 1) vérifier que les deux dénominateurs sont égaux
2) si c’est le cas --> utiliser la propriété
3) sinon : réduire les fractions au même dénominateur PUIS utiliser la propriété
5) Addition
Règle: Pour additionner ou soustraire deux nombres en écritures fractionnaires IL FAUT QU’ILS
AIENT LE MEME DENOMINATEUR
Pour additionner deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :
1) on additionne les numérateurs
2) on garde le même dénominateur
avec des lettres
0 ≠
+
=+ b
b
ca
b
c
b
a
avec des lettres
0 ≠
−
=− b
b
ca
b
c
b
a
Rappel :
Dans une suite d’additions on peut changer l’ordre des termes et les regrouper pour simplifier les
calculs
Dans une expression contenant des additions ET des soustractions on doit effectuer les calculs de
GAUCHE à DROITE
Quand une expression contient des parenthèses, on effectue :
1) Les calculs à l’intérieur des parenthèses en commençant par les plus intérieures
2) Les calculs restants en respectant les deux premières règles
ATTENTION :
Dans les calculs de nombres en écritures fractionnaires, avant d’effectuer les calculs PENSER à
simplifier chacune des écritures fractionnaires si c’est possible
5) multiplication
Règle: Pour multiplier deux nombres en écritures fractionnaires, Ne pas réduire les fractions au
même DENOMINATEUR
1) multiplier les numérateurs entre eux
2) multiplier les dénominateurs entre eux
3) Penser à simplifier si c’est possible avant de terminer les calculs
Définition : un nombre décimal est un nombre qui a une écriture à virgule finie
Pour tronquer un résultat : on « coupe » au rang indiqué et on « laisse tomber » les chiffres à droite
Pour arrondir un résultat : on tronque d'abord le nombre au rang indiqué. Puis :
* si le chiffre qui suit est supérieur ou égal à 5, on augmente de 1 le dernier chiffre du nombre tronqué
* si le chiffre qui suit est inférieur à 5 , on garde le nombre tronqué.
Différence des 2 signes « = » et «
.≈.
»2/

SIMPLIFIER UN QUOTIENT
Pour simplifier un quotient, on doit trouver un nombre qui divise à la fois son numérateur et
son dénominateur.
• Vérifier si l'on peut tout de suite simplifier par 10, 100, 1000,...
Exemple :
2 0 0 0
5 0 0 0
2 1 0 0 0
5 1 0 0 0
2
5
= =
x
x
• Vérifier si l'on peut simplifier par 2 ou par 5.
Un nombre divisible par 2 se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre divisible par 5 se termine par 0 ou 5.
Exemple :
1 4
1 6
2 7
2 8
7
8
= =
x
x
• Vérifier si l'on peut simplifier par 3 ou par 9.
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple :
8 7
5 1
3 2 9
3 1 7
2 9
1 7
= =
x
x
• Vérifier si numérateur et dénominateur ne figurent pas dans une même « table de
multiplication ».
Exemple :
3 5
6 3
5 7
9 7
5
9
= =
x
x
• Vérifier s’il est possible que plusieurs simplifications se succèdent
Exemple :
7 2 8
9 1 0
2 7 4 1 3
2 7 5 1 3
4
5
= =
xxx
x x x
SAVOIR FAIRE

6 ème - 5 ème Nombres relatifs
1) Rappels
–Priorités opératoires - distributivité: A revoir
Définition :
•Un nombre précédé ou non d’un signe + est un nombre positif
•un nombre précédé d’un signe - est un nombre négatif
•Le seul nombre positif et négatif est le nombre zéro +0 = - 0 = 0
•Les nombres positifs ou négatifs s ‘appellent les nombres relatifs
Distance à zéro : nombres opposés
Définition : Un nombre relatif est déterminé par son signe et sa distance à zéro
Nombres relatifs négatifs nombres relatifs positifs
I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I
-6 -3,5 0 3,5 6
la distance à zéro de -6 est 6 La distance à zéro de +6 est 6
on dit que +6 et –6 sont opposés, de même +3,5 et –3,5
Définition : Deux nombres relatifs sont opposés s’ils ont des signes contraires et la même distance
à zéro
2) comparaison
a) Symboles: > signifie « est strictement supérieur à » ; ≤ signifie « inférieur ou égal à »
< signifie « est strictement inférieur à » ; ≥ signifie « supérieur ou égal à »
Propriété : Si un nombre est positif alors il est supérieur à zéro
Si un nombre est négatif alors il est inférieur à zéro
Si deux nombres relatifs ont des signes différents alors le plus petit est le nombre négatif
Si deux nombres relatifs sont …négatifs. alors le plus petit est celui qui a la ……. …grande distance
à zéro.. (le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée dans le sens positif)
b) Comparaison des décimaux
Comparons 9,354 et 12,354 : 9,32 et 9,302: En premier on compare les parties entières :
* Soit elles sont différentes
Cas 1
* soit elles sont égales
Cas 2
9,354 et 12,354 9,32 et 9,302
Parties entières
9 < 12 donc a 9,354 < 12,354
Parties entières
9 et 9 on a 9 = 9
Il faut regarder les parties décimales 32 et
302
Si nécessaire en second on compare les parties décimales
On compare les dixièmes : 3 et 3 égalité --> On continue
Puis les centièmes : 2 et 0 on a 2 > 0 Donc 9,32 > 9,302
Si nécessaire continuer
4) Opérations
a) Somme
Règle 1 : Si les deux nombres relatifs à additionner sont de même signe alors il faut :
1) …ajouter les distances à zéro.
2) …mettre le signe des 2 nombres.
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