Dipôle électrostatique

MP – Cours de physique
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Cette présentation du dipôle électrostatique est un chapitre de cours du programme de première année,
donc un chapitre de révision. Une bonne compréhension des propriétés du dipôle électrostatique est
indispensable pour de nombreuses applications. En chimie, par exemple : les propriétés fondamentales
d’un solvant comme l’eau apparaîtront bien incompréhensible sans la connaissance d’un moment
dipolaire permanant de la molécule H2O. Dans le cadre de notre programme d’électromagnétisme, nous
étudierons les propriétés du rayonnement émis par un dipôle électrique oscillant : pour étudier le
rayonnement dipolaire, une bonne connaissance de ce chapitre est bien sûr indispensable.
3.1. Moment dipolaire
Doublet de charges
Le modèle de plus simple de dipôle électrique est un système
de deux charges opposées : une charge négative −q , placée en
un point N, et une charge positive + q , placée en un point P.
p = q NP
P ( +q )
On appelle moment dipolaire du doublet de charges, le produit
de la charge positive q par le vecteur NP joignant la charge
négative à la charge positive :
p = q NP
N ( −q )
Les propriétés à grande distance d’un tel doublet de charge peuvent s’exprimer, nous le démontrerons, en
fonction de ce moment dipolaire.
Distribution dipolaire
−2q
Considérons un ensemble électriquement
neutre de charges ponctuelles qi confinées
dans un volume fini τ .
On appelle moment dipolaire de cet
ensemble de charges électriquement neutre
la quantité :
p =
qi OM i
∑
ri
O
Mi
q
2q
−
τ
3q
2
q
−
q
2
i
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
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ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Première propriété : le moment dipolaire d’un ensemble de charges électriquement neutre a une
définition intrinsèque, il est indépendant du point origine :
p′ =
qi O′M i =
∑

 qi O′O + OM i = 
qi  O′O +



i

=0
∑ (
i
i
Deuxième propriété : si l’on note q =
) ∑
∑q
∑
qi OM i =
i
∑
qi OM i = p
i
la somme des charges positive, P la position du barycentre
i
qi > 0
des charges positives et N la position du barycentre des charges négative, le moment dipolaire d’un
ensemble de charges électriquement neutre est égal au moment d’un doublet de charges −q et + q se
trouvant aux points N et P, soit p = q NP .
qi OM i
qi OM i
q >0
q <0
1
1
Démonstration :
OP = i
=
ON = i
=−
qi OM i
qi OM i
q q >0
q q <0
qi
qi
∑
∑
∑
∑
∑
i
qi > 0
p =
∑
qi OM i =
i
∑
i
qi < 0
∑
qi OM i +
qi > 0
∑
qi OM i = q OP − q ON = q NP
qi < 0
en définitive, tout système de charges électriquement neutre dont les barycentres des charges négatives et
positives ne coïncident pas se ramène à un simple doublet de charges opposées. Cette propriété justifie
que l’on accorde le plus grand intérêt au modèle le plus simple du doublet de charges.
Exemple :
∑ q = q + 2q + q = 4q
barycentre des
charges positives
i
qi >0
q
2q
P
−2q
q
2q
−
q
N
3q
2
q
−
q
2
−
∑ q = −2q − 2 − 2 = −4q
3q
i
qi <0
q
3q
2
−2q
N
q
−
2
P
barycentre des
charges négatives
p = ( 4q ) NP
moment dipolaire
résultant
Exemples de dipôles
Dipôles permanents
Les molécules neutres sont constituées par association d’atomes selon des liaisons dans lesquelles
l’échange électronique n’est généralement pas symétrique. Les atomes les plus électronégatifs tendent à
retenir davantage les électrons.
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ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3
Pour les molécules diatomiques comme HCl ou CO, il
existe un moment dipolaire permanent dirigé selon l’axe de
la molécule et orienté de l’élément le plus électronégatif
vers l’élément le moins électronégatif : pour HCl du chlore
vers l’hydrogène, pour CO de l’oxygène vers le carbone.
Dipôle électrostatique
H
O
Dans le cas de molécules diatomique d’élément simple
comme H 2 , O 2 ou Br2 , le moment dipolaire est nul : le
barycentre des charges négative, tout comme le barycentre
des charges positives coïncide avec le centre de symétrie de
la molécule.
Dans une molécule linéaire comme CO 2 chaque liaison est
polarisée mais, du fait de l’existence d’un centre de
symétrie, le moment dipolaire résultant est nul.
Dans une molécule plane symétrique comme H 2 O , il
existe un moment dipolaire dans le plan de la molécule
dirigé selon son axe de symétrie et orienté de l’atome
d’oxygène, élément le plus électronégatif, vers les atomes
d’hydrogène.
Une molécule pyramidale comme l’ammoniac NH 3
présente un axe de symétrie d’ordre 3, le moment dipolaire
est dirigé selon cet axe et orienté de l’atome d’azote,
élément le plus électronégatif, vers les atomes d’hydrogène.
C
Cl
C
O
O
p =0
H
p
O
H
N
H
H
H
p
L’unité SI de moment dipolaire est le coulomb mètre (symbole C ⋅ m ). Les chimistes utilisent comme
unité usuelle le debye (symbole D) , mieux adaptée à l’échelle moléculaire : 1 D = 0,33 × 10−30 C ⋅ m
Note : pour les molécules citées, voici les valeurs des moments dipolaires, par ordre décroissant.
pH2O = 1,86 D , pNH3 = 1,50 D , pHCl = 1, 03 D , pCO = 0,12 D .
Moments dipolaires induit
Les atomes neutres aussi bien que les molécules n’ayant pas de moment dipolaire permanent, peuvent se
polariser en présence d’un champ électrique extérieur. Les noyaux sont soumis à des forces orientées dans
le sens du champ tandis que les électrons subissent à l’inverse des forces orientées dans le sens opposé au
champ électrique.
On dit alors que ces entités sont « polarisables » et le moment dipolaire qui apparaît sous l’action du
champ électrique extérieur est qualifié de « moment dipolaire induit ».
3.2. Potentiel dipolaire, champ dipolaire
Étude de symétrie
Revenons au modèle du doublet de charges. Nous mènerons notre étude dans un système de coordonnées
sphériques ( r , θ, ϕ ) d’axe polaire Oz. Plaçons une charge + q à la cote z = + a et une charge − q à la cote
z = − a constituant ainsi un dipôle de moment dipolaire p = 2aq ez .
Tout plan méridien —plan contenant l’axe polaire Oz— est un plan de symétrie de la distribution de
charge. En conséquence, le champ électrique en un point M quelconque est contenu dans le plan méridien
passant par M : la composante sphérique ortho méridienne Eϕ est nulle.
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ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle électrostatique
La distribution de charge étant invariante par rotation
d’un angle ϕ quelconque autour de l’axe Oz, il s’ensuit
que les composantes sphériques Er et Eθ du champ
électrique ne dépendent que de r et θ , qui sont aussi les
coordonnées polaires dans le plan méridien. Il en sera
de même de toute grandeur scalaire, en particulier de la
fonction potentiel, mais aussi par exemple la densité
volumique d’énergie électrostatique.
Enfin, le plan équatorial xOy est une plan
d’antisymétrie de la distribution de charge. Nous en
déduisons qu’en deux point M et M′ symétriques par
rapport à ce plan ( r = r ′, θ = π − θ′ ) , les champs
Er
z
M
E
θ
+q
2a
Eθ
P
O
−q
N
électriques sont antisymétriques, ce qui signifie que
leurs composantes radiales sont opposées tandis que
leurs composantes orthoradiales sont identiques.
Er′ = − Er
E′
M′
Eθ′ = Eθ
z′
 Er ( r , π − θ ) = − Er ( r , θ )

 Eθ ( r , π − θ ) = Eθ ( r , θ )
ξ
θ′
Remarque : cela revient au même de dire que, dans le plan méridien, la composante cartésienne Ez est
une fonction paire de z. Soit : Ez ( z , ξ ) = Ez ( − z , ξ )
Potentiel dipolaire
Selon le principe de superposition, en prenant l’origine des potentiels à l’infini, le potentiel en M est égal
à la somme des potentiels créés en M par chacune des deux charges constituant le doublet :
V (M) =
1 ( +q )
1 ( −q )
q  1
1 
+
=
−


4πε 0 PM 4πε 0 NM 4πε 0  PM NM 
Plaçons-nous à une distance r = OM très grande par rapport à la dimension 2a du dipôle et effectuons un
développement en a r de ce potentiel limité à l’ordre 1, premier ordre non nul.
((
))
((
))
1
Avec
= OM − OP
PM
et
1
= OM − ON
NM
nous en déduisons :
1
2 −2
= ( r 2 − 2ar cos θ + a
1
2 −2
1
2
−
1
2
1
a
a2 
=  1 − 2 cos θ + 2 
r
r
r 
1
2 −2
1
a
a2 
= 1 + 2 cos θ + 2 
r
r
r 
= ( r 2 + 2ar cos θ + a
V (M) =
−
1
2 −2
)
)
1 a
 a 
= 1 + cos θ + o   
r r
 r 
1 a
 a 
= 1 − cos θ + o   
r r
 r 
q 2a cos θ
1 p cos θ
a
a
+ o  =
+ o 
2
2
4πε 0
r
 r  4πε 0 r
r
Nous appelons « potentiel dipolaire » l’expression de ce potentiel limité au premier ordre non nul :
1 p cos θ
1 p ⋅r
Vdip ( M ) =
=
4πε 0 r 2
4πε 0 r 3
Remarque : cette expression du potentiel dipolaire se retrouve assez facilement : il vaut mieux toutefois
essayer de la mémoriser.
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Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Le potentiel dipolaire décroît en 1 r 2 avec la
distance au dipôle, plus rapidement que le
potentiel unipolaire qui décroît en 1 r . De plus,
alors que le potentiel unipolaire est isotrope, le
potentiel dipolaire ne l’est pas.
Vunipolaire =
z
+V0
θ
M
+2V0
1 q
1 p cos θ
; Vdipolaire =
4πε 0 r
4πε 0 r 2
+3V0
Les surfaces équipotentielles du potentiel
unipolaire sont des sphères concentriques tandis
que celles du potentiel dipolaire sont des
surfaces toriques générées par rotation autour de
l’axe du dipôle de la courbe d’équation polaire :
r
p
O
cos θ 4πε 0V
=
= C te
2
r
p
x
Le plan xOy, plan médiateur du dipôle, est un
plan de potentiel nul.
Le potentiel est positif du coté de la charge
positive ( z > 0) et négatif du coté de la charge
négative ( z < 0) .
−3V0
−2V0
−V0
Attention ! L’angle polaire θ est
compté à partir de l’axe polaire Oz qui
est l’axe du dipôle.
Champ dipolaire
Le champ dipolaire est, par définition, le champ associé au potentiel dipolaire. Ce champ correspond bien
sûr à l’expression du champ d’un dipôle limitée à l’ordre 1 en r a .
Edip ( M ) = − grad Vdip ( M )
soit

 Edip r = −


 Edip θ = −


 Edip ϕ = 0

∂Vdip
∂r
1 ∂Vdip
r ∂θ
=+
1 2 p cos θ
4πε 0
r3
=+
1 p sin θ
4πε 0 r 3
Les lignes de champ sont contenues dans les plans méridiens et ont pour équations différentielles :
dr
r dθ
=
Edip r Edip θ
soit
dr
r dθ
=
2 cos θ sin θ
ou encore
dr
cos θ
=2
dθ
r
sin θ
dr
cos θ
la différentielle du logarithme népérien de r et en
d θ la différentielle du
r
sin θ
logarithme népérien de sin θ . Nous en déduisons ln r = 2 ln sin θ + C te et, finalement, l’équation
Nous reconnaissons en
paramétrique des lignes de champ en coordonnées polaires ;
r = Kr0 ( sin θ )
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K ∈
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Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Le graphe suivant représente, dans un plan méridien, les lignes de champ —en rouge—, orthogonales aux
surfaces équipotentielles —en bleu— et orientées de la charge positive vers la charge négative, dans le
sens du dipôle électrostatique.
z
p
O
x
Remarque : les lignes de champ se referment sur elles-mêmes. Ceci n’est possible pour un champ
électrostatique que par le fait que des charges électriques se trouvent au point O.
La figure ci-contre
représente, dans
une perspective 3D,
deux surfaces
équipotentielles
de potentiels opposés
et des lignes de champ
joignant le lobe
équipotentiel positif
au lobe équipotentiel
négatif.
L’invariance de
l’environnement
électrique par rotation
autour de l’axe
du dipôle apparaît ainsi
de façon très claire.
z
+ V0
− V0
z′
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Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Note : chacun peut vérifier l’expression suivante du champ électrique dipolaire exprimé en fonction du
moment dipolaire vectoriel p et du rayon vecteur r :
3
p ⋅ er er − p
r
1
Edip =
avec
r= r
et er =
4πε 0
r3
r
(
)
3.3. Action d’un champ électrique extérieur sur un dipôle électrique
Orientation d’un dipôle rigide
Les actions mécaniques appliquées à un dipôle rigide en présence d’un champ électrique uniforme E se
réduisent à un couple dont le moment est par conséquent indépendant du point particulier de l’espace où
on l’exprime. Ce moment est la somme des moments des forces opposées F+ = + qE et F− = − qE
appliquées à chacune des deux charges + q et −q :
M = OP ∧ + qE + ON ∧ − qE = NP ∧ qE
(
)
(
)
Dans la mesure où l’on considère que le dipôle a une extension spatiale NP très petite par rapport à
l’étendue de la zone d’espace dans laquelle le champ électrique extérieur varie de façon notable,
l’approximation d’un champ uniforme est excellente.
M = p ∧E
F+ = +qE
O
N
p
P
F− = −qE
Nous reconnaissons, dans la dernière expression, un terme correspondant au moment dipolaire p = q NP .
et nous obtenons :
M = p ∧E
Ce moment tend à orienter le moment dipolaire électrique dans la direction et le sens du champ électrique
extérieur appliqué.
Remarque : le moment des forces est nul pour une orientation du moment dipolaire parallèle au champ et
de sens opposé. Une telle situation correspond certes à une position d’équilibre, mais instable.
Déplacement du dipôle
En présence d’un champ uniforme, nous l’avons déjà remarqué, la résultante globale des forces s’exerçant
sur le dipôle est nulle. Par contre, en présence d’un gradient de champ, les forces s’appliquant en P à la
charge + q et en N à la charge −q ne sont pas les mêmes. Elles valent respectivement F+ = + qE ( P ) pour
la charge + q et F− = − qE ( N ) pour la charge − q .
La résultante des forces a donc pour expression : F = F+ + F− = + q E ( P ) − E ( N ) = q δE
(
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Dipôle électrostatique
Dans la limite de l’approximation dipolaire, δE est une différentielle. Pour chaque composante
cartésienne, nous pouvons écrire :
∂E y
 ∂E

∂E
Fx = q δEx = q  x δx +
δy + z δz 
∂y
∂z
 ∂x

où δx , δy et δz sont les composantes du vecteur NP . Nous reconnaissons d’une part les composantes
du moment dipolaire p et d’autre part les composantes du gradient de la composante Ex du champ
électrique E :
Fx = p ⋅ grad Ex
Cette relation peut s’écrire pour chaque composante cartésienne, soit :
 Fx   p ⋅ grad Ex 
    F =  Fy  =  p ⋅ grad E y  = p ⋅ grad E
 Fz   p ⋅ grad E 
z


Attention ! L’opérateur p ⋅ grad ainsi défini est un opérateur vectoriel dont l’opérande est
(
(
)
)
un vecteur, il s’agit d’une application linéaire de 3 dans 3 tandis que l’opérateur gradient
grad est un opérateur vectoriel dont l’opérande est un scalaire, application linéaire de dans 3 .
Sous l’action d’un champ électrique extérieur, le dipôle, après s’être orienté dans le sens du champ, tend à
se déplacer selon la ligne de champ dans le sens des champs forts.
E
F−
−q
+q
F+
L’expérience suivante est simple à réaliser : faisons couler d’un robinet un mince filet d’eau, puis prenons
une règle en matière plastique et électrisons-la en la frottant à un vêtement en laine. Si l’on approche la
règle du filet d’eau, ce dernier dévie légèrement : chaque molécule d’eau est attirée par la règle.
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Chapitre 3
Dipôle électrostatique
3.4. Énergie d’un dipôle
Énergie interne d’un dipôle rigide
Le dipôle, constitué de deux charges opposées, est un système lié d’énergie propre négative : cela signifie
qu’il faut fournir de l’énergie pour séparer les charges + q et −q et les éloigner infiniment l’une de
l’autre. L’énergie électrostatique du doublet de charge a pour expression :
Ee =
1 q1q2
1 q2
=−
4πε 0 r12
4πε0 NP
Énergie d’interaction d’un dipôle avec un champ
On considère un dipôle rigide constitué de deux charges + q et −q et situé dans un champ électrique
extérieur E dont les variations sont faibles à l’échelle du dipôle. On recherche l’énergie que doit fournir
un opérateur pour amener le dipôle considéré comme indéformable d’une position située à l’infini à sa
position finale : cette énergie serait nécessaire pour arracher le dipôle à un champ électrique, nous
l’appèlerons « énergie d’interaction du dipôle avec un champ ».
Ce travail à pour expression : Wop = q (V ( P ) − V ( N ) )
Dans l’approximation dipolaire, la variation du champ électrique sur un espace de la dimension du dipôle
est infime et peut être assimilée à une différentielle. La différence de potentiel, opposée de la circulation
du champ électrique, est donnée par le produit du champ par la longueur du dipôle. Nous pouvons donc
écrire :
Wop = q (V ( P ) − V ( N ) ) = −q NP ⋅ E = − p ⋅ E
Nous retiendrons cette expression de l’énergie d’interaction du dipôle avec le champ :
Ep = − p ⋅ E
Nous retrouvons bien ce résultat déjà démontré : en présence d’un champ électrique, le dipôle sera dans
une position stable lorsque son énergie d’interaction avec le champ électrique sera minimale, c’est-à-dire
lorsque le moment dipolaire et le champ sont colinéaires et orientés dans le même sens.
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