Dipôle électrostatique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 9
ÉLECTROSTATIQUE
Chapitre 3
Dipôle électrostatique
Cette présentation du dipôle électrostatique est un chapitre de cours du programme de première année,
donc un chapitre de révision. Une bonne compréhension des propriétés du dipôle électrostatique est
indispensable pour de nombreuses applications. En chimie, par exemple : les propriétés fondamentales
d’un solvant comme l’eau apparaîtront bien incompréhensible sans la connaissance d’un moment
dipolaire permanant de la molécule H2O. Dans le cadre de notre programme d’électromagnétisme, nous
étudierons les propriétés du rayonnement émis par un dipôle électrique oscillant : pour étudier le
rayonnement dipolaire, une bonne connaissance de ce chapitre est bien sûr indispensable.
3.1. Moment dipolaire
Doublet de charges
Le modèle de plus simple de dipôle électrique est un système
de deux charges opposées : une charge négative
q
−
, placée en
un point N, et une charge positive
q
+
, placée en un point P.
On appelle moment dipolaire du doublet de charges, le produit
de la charge positive q par le vecteur
NP
joignant la charge
négative à la charge positive :
NP
p q=
Les propriétés à grande distance d’un tel doublet de charge peuvent s’exprimer, nous le démontrerons, en
fonction de ce moment dipolaire.
Distribution dipolaire
Considérons un ensemble électriquement
neutre de charges ponctuelles
i
q
confinées
dans un volume fini
τ
.
On appelle moment dipolaire de cet
ensemble de charges électriquement neutre
la quantité :
OM
i i
i
p q=
∑
(
)
N
q
−
(
)
P
q
+
NP
p q=
O
q
2
q
2
q
−
q
3
2
q
−
2
q
−
τ
M
i
i
r

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle électrostatique
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Première propriété : le moment dipolaire d’un ensemble de charges électriquement neutre a une
définition intrinsèque, il est indépendant du point origine :
( )
O M O O OM O O OM OM
0
i i i i i i i i i
i i i i i
p q q q q q p
′ ′ ′ ′
= = + = + = =
=
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Deuxième propriété : si l’on note
0
i
i
q
q q
>
=
∑
la somme des charges positive, P la position du barycentre
des charges positives et N la position du barycentre des charges négative, le moment dipolaire d’un
ensemble de charges électriquement neutre est égal au moment d’un doublet de charges
q
−
et
q
+
se
trouvant aux points N et P, soit
NP
p q= .
Démonstration :
0
0
0
OM 1
OP OM
i
i
i
i i
q
i i
q
i
q
q
q
q
q
>
>
>
= =
∑
∑
∑
0
0
0
OM 1
ON OM
i
i
i
i i
q
i i
q
i
q
q
q
q
q
<
<
<
= = −
∑
∑
∑
0 0
OM OM OM OP ON NP
i i
i i i i i i
i q q
p q q q q q q
> <
= = + = − =
∑ ∑ ∑
en définitive, tout système de charges électriquement neutre dont les barycentres des charges négatives et
positives ne coïncident pas se ramène à un simple doublet de charges opposées. Cette propriété justifie
que l’on accorde le plus grand intérêt au modèle le plus simple du doublet de charges.
Exemples de dipôles
Dipôles permanents
Les molécules neutres sont constituées par association d’atomes selon des liaisons dans lesquelles
l’échange électronique n’est généralement pas symétrique. Les atomes les plus électronégatifs tendent à
retenir davantage les électrons.
q
2
q
2
q
−
q
3
2
q
−
2
q
−
q
2
q
q
P
0
2 4
i
i
q
q q q q q
>
= + + =
∑
0
3
2 4
2 2
i
i
q
q q
q q q
<
=− − − =−
∑
2
q
−
3
2
q
−
2
q
−
N
P
N
(
)
4 NP
p q=
barycentre des
charges positives
barycentre des
charges négatives
moment dipolaire
résultant
:
Exemple

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle électrostatique
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Pour les molécules diatomiques comme HCl ou CO, il
existe un moment dipolaire permanent dirigé selon l’axe de
la molécule et orienté de l’élément le plus électronégatif
vers l’élément le moins électronégatif : pour HCl du chlore
vers l’hydrogène, pour CO de l’oxygène vers le carbone.
Dans le cas de molécules diatomique d’élément simple
comme
2
H
,
2
O
ou
2
Br
, le moment dipolaire est nul : le
barycentre des charges négative, tout comme le barycentre
des charges positives coïncide avec le centre de symétrie de
la molécule.
Dans une molécule linéaire comme
2
CO
chaque liaison est
polarisée mais, du fait de l’existence d’un centre de
symétrie, le moment dipolaire résultant est nul.
Dans une molécule plane symétrique comme
2
H O
, il
existe un moment dipolaire dans le plan de la molécule
dirigé selon son axe de symétrie et orienté de l’atome
d’oxygène, élément le plus électronégatif, vers les atomes
d’hydrogène.
Une molécule pyramidale comme l’ammoniac
3
NH
présente un axe de symétrie d’ordre 3, le moment dipolaire
est dirigé selon cet axe et orienté de l’atome d’azote,
élément le plus électronégatif, vers les atomes d’hydrogène.
L’unité SI de moment dipolaire est le coulomb mètre (symbole
C m
⋅
). Les chimistes utilisent comme
unité usuelle le debye (symbole D) , mieux adaptée à l’échelle moléculaire :
30
1 D 0,33 10 C m
−
= × ⋅
Note : pour les molécules citées, voici les valeurs des moments dipolaires, par ordre décroissant.
2
H O
1,86 D
p
=
,
3
NH
1,50 D
p
=
,
HCl
1,03 D
p
=
,
CO
0,12 D
p
=
.
Moments dipolaires induit
Les atomes neutres aussi bien que les molécules n’ayant pas de moment dipolaire permanent, peuvent se
polariser en présence d’un champ électrique extérieur. Les noyaux sont soumis à des forces orientées dans
le sens du champ tandis que les électrons subissent à l’inverse des forces orientées dans le sens opposé au
champ électrique.
On dit alors que ces entités sont « polarisables » et le moment dipolaire qui apparaît sous l’action du
champ électrique extérieur est qualifié de « moment dipolaire induit ».
3.2. Potentiel dipolaire, champ dipolaire
Étude de symétrie
Revenons au modèle du doublet de charges. Nous mènerons notre étude dans un système de coordonnées
sphériques
(
)
, ,
r
θ ϕ
d’axe polaire Oz. Plaçons une charge
q
+
à la cote
z a
= +
et une charge
q
−
à la cote
z a
= −
constituant ainsi un dipôle de moment dipolaire 2
z
p aqe
= .
Tout plan méridien —plan contenant l’axe polaire Oz— est un plan de symétrie de la distribution de
charge. En conséquence, le champ électrique en un point M quelconque est contenu dans le plan méridien
passant par M : la composante sphérique ortho méridienne
E
ϕ
est nulle.
O
H
H
p
H
H
H
N
p
O
C
O
0
p
=
O
C
Cl
H

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle électrostatique
JLH 17/09/2007 Page 4 sur 9
La distribution de charge étant invariante par rotation
d’un angle
ϕ
quelconque autour de l’axe Oz, il s’ensuit
que les composantes sphériques
r
E
et
E
θ
du champ
électrique ne dépendent que de r et
θ
, qui sont aussi les
coordonnées polaires dans le plan méridien. Il en sera
de même de toute grandeur scalaire, en particulier de la
fonction potentiel, mais aussi par exemple la densité
volumique d’énergie électrostatique.
Enfin, le plan équatorial xOy est une plan
d’antisymétrie de la distribution de charge. Nous en
déduisons qu’en deux point M et
M
′
symétriques par
rapport à ce plan
(
)
,r r
′ ′
= θ = π−θ
, les champs
électriques sont antisymétriques, ce qui signifie que
leurs composantes radiales sont opposées tandis que
leurs composantes orthoradiales sont identiques.
(
)
(
)
( ) ( )
, ,
, ,
r r
E r E r
E r E r
θ θ
π−θ = − θ
π−θ = θ
Remarque : cela revient au même de dire que, dans le plan méridien, la composante cartésienne
z
E
est
une fonction paire de z. Soit :
(
)
(
)
, ,
z z
E z E z
ξ = − ξ
Potentiel dipolaire
Selon le principe de superposition, en prenant l’origine des potentiels à l’infini, le potentiel en M est égal
à la somme des potentiels créés en M par chacune des deux charges constituant le doublet :
( )
(
)
(
)
0 0 0
1 1 1 1
M
4 PM 4 NM 4 PM NM
q q q
V+ − = + = −
πε πε πε
Plaçons-nous à une distance
OM
r
=
très grande par rapport à la dimension 2a du dipôle et effectuons un
développement en
a r
de ce potentiel limité à l’ordre 1, premier ordre non nul.
Avec
( )
( )
( )
1
1122
222 2 22
1 1 1
OM OP 2 cos 1 2 cos 1 cos
PM
a a a a
r ar a o
r r r r r r
−
−−
= − = − θ+ = − θ+ = + θ+
et
( )
( )
( )
1
1122
222 2 22
1 1 1
OM ON 2 cos 1 2 cos 1 cos
NM
a a a a
r ar a o
r r r r r r
−
−−
= − = + θ+ = + θ+ = − θ+
nous en déduisons :
( )
2 2
0 0
2 cos 1 cos
M4 4
q a a p a
V o o
r r r r
θ θ
= + = +
πε πε
Nous appelons « potentiel dipolaire » l’expression de ce potentiel limité au premier ordre non nul :
( )
dip 2 3
0 0
1 cos 1
M4 4
p p r
V
r r
θ ⋅
= =
πε πε
Remarque : cette expression du potentiel dipolaire se retrouve assez facilement : il vaut mieux toutefois
essayer de la mémoriser.
θ
M
′
θ
z
′
M
′
O
z
q
+
q
−
2
a
P
N
E
E
′
r
E
E
θ
E E
θ θ
′
=
r r
E E
′
=−
ξ

ÉLECTROSTATIQUE Chapitre 3 Dipôle électrostatique
JLH 17/09/2007 Page 5 sur 9
Le potentiel dipolaire décroît en
2
1
r
avec la
distance au dipôle, plus rapidement que le
potentiel unipolaire qui décroît en
1
r
. De plus,
alors que le potentiel unipolaire est isotrope, le
potentiel dipolaire ne l’est pas.
unipolaire 0
1
4
q
V
r
=
πε
;
dipolaire 2
0
1 cos
4p
Vr
θ
=πε
Les surfaces équipotentielles du potentiel
unipolaire sont des sphères concentriques tandis
que celles du potentiel dipolaire sont des
surfaces toriques générées par rotation autour de
l’axe du dipôle de la courbe d’équation polaire :
0
2
4
cos
te
V
C
r p
πε
θ
= =
Le plan xOy, plan médiateur du dipôle, est un
plan de potentiel nul.
Le potentiel est positif du coté de la charge
positive
( 0)
z
>
et négatif du coté de la charge
négative
( 0)
z
<
.
Attention ! L’angle polaire
θ
est
compté à partir de l’axe polaire Oz qui
est l’axe du dipôle.
Champ dipolaire
Le champ dipolaire est, par définition, le champ associé au potentiel dipolaire. Ce champ correspond bien
sûr à l’expression du champ d’un dipôle limitée à l’ordre 1 en
r a
.
(
)
(
)
dip dip
M grad M
E V= − soit
dip
dip 3
0
dip
dip 3
0
dip
1 2 cos
4
1 1 sin
4
0
r
Vp
Er r
Vp
Er r
E
θ
ϕ
∂
θ
= − = +
∂ πε
∂
θ
= − = +
∂θ πε
=
Les lignes de champ sont contenues dans les plans méridiens et ont pour équations différentielles :
dip dip
r
dr r d
E E
θ
θ
= soit
2cos sin
dr r d
θ
=
θ θ
ou encore cos 2
sin
dr
d
r
θ
= θ
θ
Nous reconnaissons en
dr
r
la différentielle du logarithme népérien de r et en cos
sin
d
θ
θ
θ la différentielle du
logarithme népérien de
sin
θ
. Nous en déduisons ln 2ln sin
te
r C
= θ + et, finalement, l’équation
paramétrique des lignes de champ en coordonnées polaires ;
( )
2
0
sinr Kr
= θ
K
∈
x
z
O
M
θ
r
0
V
+
0
2
V
+
0
3
V
+
0
V
−
0
2
V
−
0
3
V
−
p