4 Exercices

Cours de DEUG
M´ ethodes math´ ematiques pour les sciences de la vie I
Avner Bar-Hen
Universit´ e Aix-Marseille III
2002–2003

Table des mati` eres
Table des mati` eres i
1 Fonctions, limites, continuit´ e1
1 Fonction, repr´ esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Composition, fonction r´ eciproque ................. 1
1.2 Graphe, courbe repr´ esentative ................... 2
2 D´ efinition de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Limite infinie en a......................... 5
2.2 Limite ` al’infini........................... 5
3 Continuit´ e.................................. 6
3.1 Application ` a la d´ efinition de xα.................. 7
4 Op´ erationssurleslimites.......................... 8
5 Exercices .................................. 10
2 D´ eriv´ ees des fonctions d’une variable 13
1 D´ efinition.................................. 13
2 Op´ erations sur les d´ eriv´ ees......................... 14
3 Th´ eor` eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Convexit´ e, concavit´ e........................ 17
4 D´ eriv´ ees des fonctions r´ eciproques..................... 19
5 Fonctions trigonom´ etriquesinverses .................... 19
5.1 f(x) = arcsin(x).......................... 19
5.2 f(x) = arccos(x).......................... 20
5.3 f(x) = arctan(x)......................... 21
6 Exercices .................................. 22
3 Polynˆ omes 25
1 D´ efinition.................................. 25
2 Op´ erations sur les polynˆ omes........................ 25
2.1 Somme ............................... 25
2.2 Produit ............................... 26
2.3 Premi` eres propri´ et´ es ........................ 26
3 DivisionEuclidienne ............................ 27
3.1 Cas particulier : division d’un polynˆ ome P(x)par x−a..... 28
4 Racine(s) d’un polynˆ ome.......................... 28

ii TABLE DES MATI` ERES
5 Fractionsrationnelles............................ 29
6 Exercices .................................. 34
4 Formule de Taylor-D´ eveloppements limit´ es 37
1 LaformuledeTaylor ............................ 37
1.1 Cas m= 0 ............................. 37
1.2 Cas m= 1 ............................. 37
2 Cas g´ en´ eral ................................. 39
3 D´ eveloppements limit´ es : d´ efinition, premi` eres propri´ et´ es......... 40
3.1 Unicit´ e du d´ eveloppement limit´ e.................. 41
3.2 Troncature d’un d´ eveloppement limit´ e............... 41
4 Op´ erations sur les d´ eveloppements limit´ es................. 42
4.1 Somme ............................... 42
4.2 Produit ............................... 43
4.3 Composition ............................ 44
4.4 Primitive d’un d´ eveloppement limit´ e................ 46
5 Exemples d’utilisation des d´ eveloppements limit´ es ............ 46
5.1 Formes ind´ etermin´ ees 0
0...................... 46
5.2 ´ Etude d’une forme ind´ etermin´ ee 1∞................ 48
6´ Etude d’une branche infinie (recherche d’asymptote) . . . . . . . . . . . 48
7 Exercices .................................. 50
5 L’int´ egrale 53
1 D´ efinition de Rb
af(x)dx........................... 53
2 Premi` eres propri´ et´ es ............................ 54
2.1 Lin´ earit´ e de l’int´ egrale....................... 54
2.2 RelationdeChasles......................... 54
2.3 In´ egalit´ es: ............................. 54
3 Primitives et int´ egrales ........................... 55
3.1 Int´ egrales ind´ efinies ........................ 56
4 La formule d’int´ egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 La formule du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Quelques applications de l’int´ egrale .................... 61
6.1 Calculd’aires............................ 61
6.2 Longueur d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Centre de gravit´ e d’une tige rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . 62
7 Extension de la notion d’int´ egrale d´ efinie ................. 62
8 Exercices .................................. 66
6 Fonction de plusieurs variables 69
1 Introduction................................. 69
1.1 Repr´ esentationgraphique...................... 69
1.2 Limite................................ 70
1.3 Continuit´ e.............................. 71
2 Fonctions compos´ ees............................ 71
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TABLE DES MATI` ERES iii
2.1 Fonctiondefonction ........................ 71
2.2 Fonction compos´ ee......................... 72
2.3 Autrecas .............................. 73
3 D´ eriv´ eespartielles.............................. 73
3.1 D´ eriv´ ees partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Exercices .................................. 78
A Int´ egrales multiples 81
1 Int´ egraledouble............................... 81
1.1 Notion d’int´ egraledouble ..................... 81
1.2 Calcul d’une int´ egraledouble ................... 81
1.3 Propri´ et´ es.............................. 83
1.4 Casparticuliers........................... 83
1.5 Calcul de volumes et de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.6 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2 Int´ egraletriple................................ 87
2.1 Notion d’int´ egraletriple ...................... 87
2.2 Calcul d’une int´ egraletriple .................... 87
2.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.4 G´ en´ eralisation ........................... 89
3 Rappels de m´ ecanique ........................... 89
4 Exercices .................................. 91
5 Solutions .................................. 93
B Formulaire 99
1 Trigonom´ etrie................................ 99
2 Fonctions ´ el´ ementaires ...........................100
2.1 Fonctions trigonom´ etriques ....................100
2.2 Logarithme n´ ep´ erien........................100
2.3 Exponentielle............................101
2.4 Puissance..............................101
3 Fonctions ..................................101
3.1 D´ eriv´ ees ..............................101
3.2 FormuledeTaylor .........................102
3.3 D´ eveloppements usuels au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . 102
4 Primitives et Int´ egrales ...........................103
4.1 R` eglesdecalcul ..........................103
4.2 Primitives ´ el´ ementaires.......................103
4.3 Proc´ ed´ es d’int´ egration .......................103
4.4 Int´ egrales d´ efinies g´ en´ eralis´ ee ...................103
5 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.1 D´ eriv´ eespartielles .........................104
6 L’alphabetgrec ...............................105
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