4 Exercices

Cours de DEUG
Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I
Avner Bar-Hen
Université Aix-Marseille III
2002–2003
Table des matières
Table des matières
1
2
3
i
Fonctions, limites, continuité
1
Fonction, représentation graphique . . . .
1.1
Composition, fonction réciproque
1.2
Graphe, courbe représentative . .
2
Définition de la notion de limite . . . . .
2.1
Limite infinie en a . . . . . . . .
2.2
Limite à l’infini . . . . . . . . . .
3
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Application à la définition de xα .
4
Opérations sur les limites . . . . . . . . .
5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dérivées des fonctions d’une variable
1
Définition . . . . . . . . . . . . . .
2
Opérations sur les dérivées . . . . .
3
Théorème des accroissements finis .
3.1
Convexité, concavité . . . .
4
Dérivées des fonctions réciproques .
5
Fonctions trigonométriques inverses
5.1
f (x) = arcsin(x) . . . . . .
5.2
f (x) = arccos(x) . . . . . .
5.3
f (x) = arctan(x) . . . . .
6
Exercices . . . . . . . . . . . . . .
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1
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13
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20
21
22
Polynômes
1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Cas particulier : division d’un polynôme P (x) par x − a
4
Racine(s) d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii
TABLE DES MATIÈRES
5
6
4
5
6
Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Formule de Taylor-Développements limités
1
La formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Cas m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Cas m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Développements limités : définition, premières propriétés
3.1
Unicité du développement limité . . . . . . . . .
3.2
Troncature d’un développement limité . . . . . .
4
Opérations sur les développements limités . . . . . . . .
4.1
Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Primitive d’un développement limité . . . . . . .
5
Exemples d’utilisation des développements limités . . .
5.1
Formes indéterminées 00 . . . . . . . . . . . . .
5.2
Étude d’une forme indéterminée 1∞ . . . . . . .
6
Étude d’une branche infinie (recherche d’asymptote) . .
7
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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41
42
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46
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48
48
50
L’intégrale
Rb
1
Définition de a f (x)dx . . . . . . . . . . . .
2
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . .
2.1
Linéarité de l’intégrale . . . . . . . .
2.2
Relation de Chasles . . . . . . . . . .
2.3
Inégalités : . . . . . . . . . . . . . .
3
Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . .
3.1
Intégrales indéfinies . . . . . . . . .
4
La formule d’intégration par parties . . . . .
5
La formule du changement de variable . . . .
6
Quelques applications de l’intégrale . . . . .
6.1
Calcul d’aires . . . . . . . . . . . . .
6.2
Longueur d’un arc de courbe . . . . .
6.3
Centre de gravité d’une tige rectiligne
7
Extension de la notion d’intégrale définie . .
8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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61
61
61
62
62
66
Fonction de plusieurs variables
1
Introduction . . . . . . . . . . . .
1.1
Représentation graphique .
1.2
Limite . . . . . . . . . . .
1.3
Continuité . . . . . . . . .
2
Fonctions composées . . . . . . .
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bar-hen.net
iii
TABLE DES MATIÈRES
3
4
2.1
Fonction de fonction . . . .
2.2
Fonction composée . . . . .
2.3
Autre cas . . . . . . . . . .
Dérivées partielles . . . . . . . . . .
3.1
Dérivées partielles secondes
Exercices . . . . . . . . . . . . . .
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A Intégrales multiples
1
Intégrale double . . . . . . . . . . . . .
1.1
Notion d’intégrale double . . .
1.2
Calcul d’une intégrale double .
1.3
Propriétés . . . . . . . . . . . .
1.4
Cas particuliers . . . . . . . . .
1.5
Calcul de volumes et de surfaces
1.6
Changement de variables . . . .
2
Intégrale triple . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Notion d’intégrale triple . . . .
2.2
Calcul d’une intégrale triple . .
2.3
Changement de variables . . . .
2.4
Généralisation . . . . . . . . .
3
Rappels de mécanique . . . . . . . . .
4
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . .
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B Formulaire
1
Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Fonctions trigonométriques . . . . . . .
2.2
Logarithme népérien . . . . . . . . . . .
2.3
Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Formule de Taylor . . . . . . . . . . . .
3.3
Développements usuels au voisinage de 0
4
Primitives et Intégrales . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Règles de calcul . . . . . . . . . . . . .
4.2
Primitives élémentaires . . . . . . . . . .
4.3
Procédés d’intégration . . . . . . . . . .
4.4
Intégrales définies généralisée . . . . . .
5
Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . .
5.1
Dérivées partielles . . . . . . . . . . . .
6
L’alphabet grec . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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103
103
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103
104
104
105
Chapitre 1
Fonctions, limites, continuité
1
Fonction, représentation graphique
On considère des fonctions à valeurs dans R, et définies sur une partie de R. Se donner
une telle fonction f , c’est se donner une partie E de R et un procédé associant à chaque
x ∈ E un réel y (noté f (x)) bien déterminé. E est l’ensemble de définition de f . Dans
tous les cas utiles, E est un intervalle, ou une réunion d’intervalles.
Exemples :
• E = [a, b] (a, b ∈ R, a < b)
• E =]a, b]
• E = [0, +∞[
• E = [a, c[∪]c, b] avec a < c < b
Notation :
f :E→R
Très souvent, la fonction est définie par une formule donnant f (x), et le domaine de
définition est implicite : c’est l’ensemble des x ∈ R pour lesquels la formule a un sens et
fournit un réel f (x).
Exemple : f (x) =
1.1
√
1 − x2 , le domaine de définition est E = [−1, +1]
Composition, fonction réciproque
Soient f : E → R, et g : F → R deux fonctions ; la composée g ◦ f est définie par
la formule (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Son domaine de définition est l’ensemble H = {x ∈
R; x ∈ E et f (x) ∈ F }. On a toujours H ⊂ E mais il peut arriver que H soit distinct de
E.
On dit que g est une fonction réciproque de f si on a
1
2
Fonction, représentation graphique
1. F = {f (x); x ∈ E} c’est-à-dire que le domaine de définition de g est l’image de
E par f ;
2. g(f (x)) = x pour tout x ∈ E
Ces deux conditions montrent que g est déterminée par f : il y a donc au plus une fonction
réciproque d’une fonction f donnée.
Pour que la fonction f : E → R admette une fonction réciproque, il faut et il suffit
que la condition suivante soit vérifiée : si x1 , x2 sont deux points distincts de E, alors
f (x1 ) 6= f (x2 ). (On dit que f est injective).
Si g est la fonction réciproque de f , on a, pour x, y réels, l’équivalence logique :
x∈E
y∈F
⇐⇒
et y = f (x)
et x = g(y)
(E, F domaines de définition de f, g respectivement).
On voit d’ailleurs ainsi que f est alors la réciproque de g. On dit souvent fonction inverse
de f au lieu de fonction réciproque de f et on note g = f −1 .
Attention :
il faut bien distinguer f −1 de la fonction x 7→
1
,
f (x)
notée f1 .
Exemple√: f (x) = x2 avec E = [0, +∞[. f admet pour fonction réciproque la fonction
g(x) = x, définie sur [0, +∞[. (en admettant que tout réel positif possède une racine
carrée positive).
1.2
Graphe, courbe représentative
Soit f : E → R une fonction, (E ⊂ R) ; le graphe de f est la partie G de R2 définie
par G = {(x, f (x)); x ∈ E}. On confond en général G avec la courbe représentative Tf
→
→
de f dans le plan (P ) rapporté à un repère orthonormé (o, −
e1 , −
e2 ) ; Tf est définie par la
relation :
−−→
→
→
Tf = {M ; ∃x ∈ E, OM = x−
e1 + f (x)−
e2 }
On dit aussi que Tf est la courbe d’équation y = f (x) dans le repère Oxy.
L’intérêt de Tf est que son tracé permet de visualiser, et donc de rendre intuitives de
nombreuses propriétés de f .
Exemple 1 : f (x) = ax + b, où a, b sont deux réels donnés ; (on dit que f est affine).
→
Le graphe Tf de f est une droite D : si on appelle −
u le vecteur (1, a) et Mo le point de
coordonnées de (O, b), on a :
−−−−→
→
Mo Mx = x −
u
(où Mx = (x, f (x))). Ce qui signifie que Tf est la droite passant par Mo et de vecteur
→
directeur −
u.
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1. F ONCTIONS , LIMITES ,
3
CONTINUIT É
Remarque : si (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) sont deux points distincts de D, on vérifie facilement
1
que le rapport xy22 −y
est égal à a, et qu’il est donc indépendant du choix des deux points
−x1
sur D. On dit que a est la pente de D. La pente de D vaut aussi tan(θ), où θ est une
mesure de l’angle que D fait avec l’axe Ox.
Exemple 2 : Soit f : E → R une fonction admettant pour réciproque, g : F → R. On
passe du graphe Tf à celui Tg de g, par la transformation : (x, y) 7→ (y, x) du plan : cette
transformation est la symétrie autour de la droite y = x
Exercices :
1. Soit G ⊂ R2 : quelle condition doit être vérifiée par G pour que G soit le graphe
d’une fonction f ? la fonction f est elle alors unique ?
2. Donner un tracé du graphe des fonction y = x + 1, y = |x + 1|, y = sin(x),
y = | sin(x)|
3. Tracer des courbes d’équations y = x2 , y = 1 + x + x2
2
Définition de la notion de limite
Considérons une fonction f : X → R, (X ⊂ R) et soit a ∈ R.
Pour pouvoir parler de la limite de f (x), lorsque x tend vers a, il faut supposer que tout
intervalle ouvert de centre a rencontre X ; autrement dit :
∀η > 0, ∃x ∈ X tel que |x − a| < η
Cette condition est toujours satisfaite si a ∈ X, mais il peut aussi arriver que a 6∈ X.
Exemples :
• X =]α, β], (α < a < β)
• X =]α, a[∪]a, β], (α < a < β)
• X = [a, β], (a < β)
• X =]a, β], (a < β)
Définition 1.1 Soit l ∈ R ; on dit que f (x) tend vers l quand x tend vers a, si :
x∈X
Pour tout > 0, il existe un nombre η > 0 tel que
=⇒ |f (x) − l| < et |x − a| < η
En d’autres termes, pour tout intervalle ouvert de centre l donné, f (x) ”tombe” dans cet
intervalle dès que |x − a| est assez petit, (x ∈ X). On notera :
l = lim f (x)
x→a
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4
Définition de la notion de limite
Remarques :
1. f (x) admet au plus une limite, quand x tend vers a : si on pouvait trouver deux
limites distinctes l1 et l2 , on pourrait trouver deux intervalles ouverts disjoints I1 et
I2 de centres l1 et l2 respectivement ; comme l1 = limx→a f (x), f (x) appartient à
I1 pour |x − a| assez petit. De même, f (x) ∈ I2 , dès que |x − a| est assez petit.
Comme f (x) ne peut appartenir à la fois à I1 et I2 , on aboutit à une contradiction.
2. Si a ∈ X, et si la limite de f (x) pour x → a existe, alors limx→a f (x) = f (a).
En effet, d’après la définition f (a) doit appartenir à tout intervalle ouvert de centre
l = limx→a f (x) : ce qui entraı̂ne l = f (a)
Ainsi, lorsque a ∈ X, il peut être naturel de considérer la limite en a de la restriction de
f à X \ {a} (X privé du point a) ; on la note l = limx→a f (x) (si elle existe).
x6=a
Plus généralement, si B est une partie de X, on définit la limite lim x→a f (x) comme étant
x∈B
la limite limx→a g(x), où g est la fonction de domaine de définition B, et qui est égale à
f sur B. En termes plus directs : l = lim x→a f (x) si et seulement si :
x∈B
pour tout > 0, il existe au moins un η > 0, tel que
|x − a| < η
=⇒ |f (x) − l| < x∈B
Cas particuliers :
• B = X \ {a}, on obtient la définition de l = limx→a f (x) ;
x6=a
x→a f (x) ; elle est
• B = X∩]a, +∞[, on obtient la notion de limite à droite en a : limx>a
+
notée f (a ) (lorsqu’elle existe) ;
−
x→a f (x) = f (a ).
• B = X∩] − ∞, a[, on obtient la limite à gauche : limx<a
Exemples :

 0 si x < 1
2 si x = 1
1. f (x) =

1 si x > 1
en a = 1, f (a+ ), f (a) et f (a− ) existent et sont deux à deux distincts.
2. f (x) = cos πx ; |f (x)| ≤ 1 mais f n’admet pas de limite à droite en a = 0 :
1
1
f
=1,f
= 1, . . .
2
4
1
en général f 2k
= 1, pour k entier positif, et
1
f (1) = −1 , f
= −1, . . .
3
1
= −1, k ∈ N.
en général f 2k+1
Ainsi le point Mx = (x, f (x)) oscille indéfiniment entre les droites horizontales
y = −1 et y = +1 lorsque x tend vers zéro, x > 0 ; ce point n’admet pas de
position limite lorsque x tend vers 0, x > 0.
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5
CONTINUIT É
3. Supposons : X =]α, β[, α < a < β. Alors l = limx→a f (x) si et seulement si
f (a+ ) et f (a− ) existent et valent f (a) ; l vaut nécessairement f (a).
De même l = limx→a f (x) si et seulement si f (a+ ) et f (a− ) existent et sont égaux ;
x6=a
on a de plus l = f (a+ ) = f (a− )
2.1
Limite infinie en a
Définition 1.2 Soient f : X → R, a ∈ R ; on suppose que pour tout > 0, X∩]a −
, a + [6= ∅. On dit que la limx→a f (x) = +∞ si pour tout A ∈ R, il existe un η > 0
(dépendant de A) tel que :
|x − a| < η et x ∈ X =⇒ f (x) ≥ A
Autrement dit, f (x) dépasse toute valeur donnée dès que |x−a| est assez petit. On définit
de même la notion de limite −∞ en a et l’on note : limx→a f (x) = −∞
Exemples :
1. f (x) =
1
,
|x−a|
X =] − ∞, a[∩]a, +∞[, on a :
lim f (x) = +∞
x→a
2. f (x) = ln(x) (logarithme népérien de x), X =]0, +∞[ :
lim f (x) = −∞
x→0
On sait que f est strictement croissante sur ]0, +∞[ et que f (xy) = f (x) + f (y)
pour x, y ∈]0, +∞[. En particulier ln(1) = 2 ln(1) et donc ln(1) = 0.
Fixons A ∈ R et cherchons n ≥ 1 tel que ln 21n < A ; comme ln 21n = n ln 12
et comme ln 12 < ln(1) = 0, il suffit de prendre n > | ln|A|1 | ; fixant un tel entier
(2)
n, on a alors :
1
0 < x < n =⇒ ln(x) < A
2
On a ainsi vérifié que limx→0 ln(x) = −∞
2.2
Limite à l’infini
Soit f : X → R ; on suppose que X contient des réels arbitrairement grands (quel que
soit a ∈ R, il existe x ∈ X, ave x ≥ a) ; si l ∈ R, on dit que f (x) tend vers l lorsque x
tend vers +∞ si :
∀ > 0 , ∃A tel que x ∈ X et x ≥ A ⇒ |f (x) − l| ≤ On définit aussi les expressions limx→+∞ f (x) = +∞, limx→+∞ f (x) = −∞ ; par
exemple limx→+∞ f (x) = −∞ signifie
∀α ∈ R , ∃A ∈ R tel que x ∈ X et x ≥ A ⇒ f (x) ≤ α
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6
Continuité
Exemples :
1. limx→+∞ x = +∞ ; limx→+∞
1
x
=0
2. limx→+∞ ln(x) = +∞ ; soit α ∈ R ; comme ln(2n ) = n ln(2) et comme ln(2) > 0
, on voit qu’il existe n0 ∈ N tel que ln(2n0 ) ≥ α. D’où x ≥ 2n0 ⇒ ln(x) ≥ α
3. Soit a > 1 ; posons f (n) = an , pour n ∈ N, n ≥ 1. Alors
lim an = +∞
n→+∞
On peut en effet écrire : a = (1 + u) ; d’où d’après la formule du binôme : an ≥
1 + nu ≥ nu ; donc si α ∈ R, an ≥ α dès que n ≥ |α|
.
u
n
Supposons maintenant que 0 < a < 1, posons vn = a1n = a1 . Comme a1 > 1,
ce qui précède montre que limn→+∞ vn = +∞ ; il s’ensuit que an = v1n tend vers
0 lorsque n tend vers +∞.
3 Continuité
Définition 1.3 Soit f : X → R, X ⊂ R et soit a ∈ X ; on dit que f est continue au
point a si limx→a f (x) = f (a) ; cela revient à dire que pour tout > 0 donné, on peut
trouver un nombre η > 0 tel que :
x ∈ X et |x − a| ≤ η ⇒ |f (x) − f (a)| < On dit que f est continue si elle est continue en tout point de X
Interprétation graphique : f est continue en a ∈ X si le point Mx = (x, f (x)) de
Tf ”tend” vers Ma lorsque x tend vers a. Intuitivement, si f : I → R est continue sur
l’intervalle I de R, le point Mx varie de façon continue avec x, et le graphe Tf se présente
comme un tracé continu qu’on peut obtenir sans faire de sauts (donc sans lever le stylo).
Remarquons qu’une fonction f : I → R telle que, |f (x) − f (x0 )| ≤ |x − x0 | pour tout
x, x0 ∈ X est une fonction continue.
Exemple : f (x) = x, x ∈ R est continue sur R (évidemment |f (x)−f (x0 )| ≤ |x−x0 |).
De même f (x) = |x|, x ∈ R est continue sur R (on a ||x|−|x0 || ≤ |x−x0 | pour x, x0 ∈ R)
Les fonction continues possèdent la propriété fondamentale suivante :
Théorème 1.1 (Théorème des valeurs intermédiaires) Soient f : [a, b] → R une fonction continue sur l’intervalle [a, b] et γ un réel compris entre f (a) et f (b) : il existe alors
au moins un nombre c ∈ [a, b] tel que f (c) = γ. Ainsi toute valeur comprise entre f (a)
et f (b) est atteinte (au moins une fois).
Interprétation graphique : on ne peut joindre les points Ma = (a, f (a)) et Mb =
(b, f (b)) qui sont situés de part et d’autre de la droite horizontale y = γ, par un tracé
continu sans couper cette horizontale au moins une fois.
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7
CONTINUIT É
Application : il existe un nombre unique x0 tel que ln(x0 ) = 1 :
comme limx→+∞ ln(x) = +∞ et ln(1) = 0 il existe b > 1 tel que ln(b) > 1. En
appliquant le théorème des valeurs intermédiaires avec a = 1, b > 1 et γ = 1 (qui
est bien compris entre 0 = ln(1) et ln(b)), on voit qu’il existe au moins un x0 tel que
ln(x0 ) = 1. Comme ln(x) est une fonction strictement croissante de x, il ne peut y
avoir plus d’une solution x de l’équation ln(x) = 1. (Cette solution est le nombre noté
habituellement e ≈ 2.71828...).
La propriété des valeurs intermédiaires permet de définir des fonctions réciproques :
Théorème 1.2 Soit f : I → R une fonction continue strictement croissante : alors, J =
f (I) l’ensemble des valeurs de f est un intervalle, et f admet une fonction réciproque
g : J → R, continue et strictement croissante sur J.
Rappels :
• f croissante sur I signifie : si x, y ∈ I : x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
• f strictement croissante sur I signifie : quel que soit x, y ∈ I : x < y ⇒ f (x) < f (y)
Le fait que J soit un intervalle découle facilement du théorème des valeurs intermédiaires ;
la fonction g associe à chaque x ∈ J l’unique nombre t ∈ I tel que f (t) = x ; on a
f (g(x)) = x, pour x ∈ J et g(f (x)) = x, pour x ∈ I.
Exemple 1 : la fonction logarithme népérien, ln : ]0, +∞[→ R est continue et strictement croissante ; la fonction réciproque de ln est la fonction exp : R →]0, +∞[ (noter
que l’intervalle image de ]0, +∞[ par ln est égal à R puisque limx→0 ln(x) = −∞ et
limx→+∞ ln(x) = +∞) ; la fonction exp est continue et strictement croissante ; on a
limx→−∞ exp(x) = 0, limx→+∞ exp(x) = +∞. De plus :
∀x, y ∈ R , exp (x + y) = exp(x) exp(y)
exp(0) = 1 , exp(1) = e
On notera exp(x) = ex (e est défini par ln(e) = 1).
3.1
Application à la définition de xα
Pour x > 0, α ∈ R, on pose :
xα = exp(α ln(x))
On a alors, pour x, y > 0 et α, β ∈ R, les relations :
ln(xα )
xα+β
(xα )β
xα y α
=
=
=
=
α ln(x)
xα xβ
xαβ
(xy)α
f (x) = xα est strictement croissante pour α > 0, strictement décroissante pour α < 0 et
pour α = 0, f est égale à la constante 1.
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8
Opérations sur les limites
4 Opérations sur les limites
Théorème 1.3 Soient f, g : X → R, a ∈ R ∪ {−∞, +∞}, l1 = limx→a f (x), l2 =
limx→a g(x) avec l1 et l2 finis. Alors :
lim (f (x) + g(x)) = l1 + l2
x→a
lim (f (x)g(x)) = l1 l2
x→a
lim
x→a
f (x)
g(x)
=
l1
(si l2 6= 0)
l2
Ces relations sont assez intuitives ; voici une preuve de la première relation en supposant
a fini ; soit > 0 ; comme l1 = limx→a f (x) et l2 = limx→a g(x) on peut trouver deux
nombres positifs, η1 et η2 tels que :
x ∈ X et |x − a| < η1 ⇒ |f (x) − l1 | < /2
x ∈ X et |x − a| < η2 ⇒|f g(x) − l2 | < /2
Notons η le plus petit des deux nombres η1 et η2 ; pour x ∈ X et |x − a| < η, on aura :
|(f (x)+g(x))−(l1 +l2 )| = |(f (x)−l1 )+(g(x)−l2 )| ≤ |f (x)−l1 |+|g(x)−l2 | ≤ /2+ /2 = on a donc vérifié que limx→a (f (x) + g(x)) = l1 + l2
Corollaire 1.1 si f, g : X → R sont deux fonctions continues sur X alors, les fonctions
f (x) + g(x), f (x)g(x) sont continues sur X. Si g ne s’annule pas sur X, f (x)/g(x) est
continue sur X.
Exemple : f (x) = x2 est continue sur R. Plus généralement, si n est un entier positif
x 7→ xn est continue sur R. On en déduit qu’un polynôme f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn
est continu sur R.
Dans le cas où les limites l1 ou l2 sont infinies, on peut conclure dans certains cas, en
utilisant les règles :
• (+∞) + (+∞) = +∞ ;
• +∞ + l = +∞ pour l ∈ R ;
• a × (+∞) = +∞ pour a > 0 ;
1
• +∞
= 0;
• etc.
Il reste des cas où on ne peut pas conclure sans informations supplémentaires sur l’allure
de f (x) et g(x) quand x → a ; on dit alors qu’il s’agit de formes indéterminées : par
exemple :
• (+∞) − (+∞) ;
• (+∞) × 0 ;
• 0/0 ;
;
• +∞
+∞
• etc.
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1. F ONCTIONS , LIMITES ,
9
CONTINUIT É
n
1 x+···+an x
Exemple : Soit f (x) = ab00+a
une fraction rationnelle (quotient de deux po+b1 x+···+bp xp
lynômes), an et bp étant supposés non nuls ; étudions f (x) pour x tendant vers +∞. On
écrit :
!
an−1
a0
a1
a
+
+
·
·
·
+
+ · · · + an
xn xan0 + xn−1
n
x
xn
f (x) = p b0
= xn−p
b1
x xp + xb−1
+ · · · + bp
bp + · · · + xb0p
on sait que

 +∞ si n ≥ 1
1 si n = 0
lim xn =
n→+∞

0 si n ≤ −1
On en déduit déjà que le facteur de xn−p dans le dernier membre tend vers
conclusion suivante, en supposant an et bp de même signe :

 +∞ si n > p
an/ si n = p
lim f (x) =
bp
n→+∞

0 si n < p
an/ .
bp
D’où la
Théorème 1.4 Si f, g, h : X → R sont trois fonctions telles que g ≤ f ≤ h sur X. Si
limx→a g(x) = limx→a h(x) = l alors f admet une limite en a et limx→a f (x) = l.
Théorème 1.5 (Composition des limites) Soient f : X → R, g : Y → R deux fonctions (X, Y ⊂ R), et a ∈ R ∪ {−∞, +∞}. On suppose que limx→a f (x) = l (l fini ou
non), et que limx→l g(x) = l0 . La composée g ◦ f est définie sur X 0 = {x ∈ X; f (x) ∈
Y }. Si on peut faire tendre x vers a, avec x ∈ X 0 (i.e. X 0 contient des points arbitrairement voisins de a), on a alors :
lim g(f (x)) = l0
x→a
Intuitivement, quand x tend vers a, f (x) tend vers l et g(f (x)) tend vers l0 puisque g(u)
tend vers l0 lorsque u tend vers l.
Corollaire 1.2 La composée de deux fonctions continues est continue.
Exemples :
1. | sin(x)|, ln(2 + sin(x)) sont continues sur R
2. Soit α ∈ R ; x → xα est continue sur ]0, +∞[.
• Si α > 0, on a : limx→0 xα = 0, limx→+∞ xα = +∞.
• Si α < 0, limx→0 xα = +∞, limx→+∞ xα = 0.
sin(x2 )
= 1 ; limx→0 sin(3x)
= 3 ; limx→0 sin(3x)
= 3.
x2
x
sin(5x 5
écrit sin(3x)
= 3 × sin(3x)
; sin(3x)
= 35 × sin(3x)
×
x
3x
sin(5x)
3x
3. limx→0
(On
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5x
sin(5x)
10
Exercices
5 Exercices
1. Vrai ou Faux ?
(a) Une fonction n’admet de limite en un point a que si elle est définie en a ;
(b) la composée de deux fonctions continues sur R est continue sur R ;
(c) l’image d’un intervalle par une fonction croissante est un intervalle ;
(d) l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle ;
(e) toute fonction périodique et croissante est continue.
2. calculer
n2 (n − 3)
n→+∞ (n − 1)(2 − n)2
lim
3. Montrer que si |a| < 1,
1
= lim 1 + a + a2 + · · · + an
1 − a n→+∞
4. Montrer que pour a > 1,
an
= +∞
n→+∞ n
(écrire an = (1 + u)n et minorer (1 + u)n par un des termes du développement de
(1 + u)n ).
Montrer que
an
lim 2 = +∞
n→+∞ n
5. Calculer
1
2
lim
−
x→1
(x − 1) x2 − 1
lim
6. Calculer
2
lim x sin
x→+∞
x
7. Montrer que l’équation cos x = x admet au moins une solution dans l’intervalle
[0, π/2]
8. Montrer qu’un polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.
9. Soit f une fonction numérique définie et continue sur l’intervalle [0, 1] de R, telle
que :
f (0) = f (1)
Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, il existe un point x0 de [0, 1] tel
que :
1
f x0 +
= f (x0 )
n
(considérer la fonction g(x) = f x + n1 − f (x) sur [0, 1 − 1/n] et exprimer f (1) −
f (0) en fonction de g).
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1. F ONCTIONS , LIMITES ,
CONTINUIT É
11
10. Trouver, à l’aide de la représentation graphique des fonctions sin(2x) et sin(3x),
le nombre de solutions de l’équation sin(2x) = sin(3x) sur l’intervalle [0, π/2]
11. Résoudre l’équation :
7 1
√ ln x /8 − ln x = 1
2
12. Montrer que pour α < 0, la fonction fα = xα est une bijection de ]0, +∞[ sur
]0, +∞[, et calculer la fonction réciproque de fα
13. Résoudre l’équation esin x = 1. Résoudre l’inéquation esin x < 1.
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Chapitre 2
Dérivées des fonctions d’une variable
1
Définition
Soit f : X → R une fonction dont le domaine de définition X est un intervalle de R (ou
plus généralement un intervalle privé de quelques points) et soit a un point de X ; on dit
(a)
que f est dérivable au point a si la limite limx→a f (x)−f
existe et est finie ; cette limite
x−a
est alors la dérivée de f en a, et on écrit :
f (x) − f (a)
x→a
x−a
f 0 (a) = lim
Remarques :
1. Posons f (x) = mx + p (m, p réels fixés) ; si a ∈ R, on a pour tout x ∈ R, x 6= a :
f (x)−f (a)
= m ; d’où on déduit que f est dérivable en a et f 0 (a) = m. Rappelons
x−a
que le graphe de f est une droite (D) et remarquons que si M1 = (x1 , y1 ) et
1
M2 = (x2 , y2 ) sont deux points distincts de (D) on a : m = xy22 −y
. On dit que m
−x1
est la pente de (D).
2. Si f est dérivable au point a, elle est continue en ce point.
Interprétation géométrique : considérons une fonction f : X → R dérivable en
(a)
a ∈ X, et soit Tf le graphe de f ; pour x ∈ X, x 6= a, px = f (x)−f
est la pente de la
x−a
droite Dx passant par Ma = (a, f (a)) et Mx = (x, f (x)) : f 0 (a) est la limite des pentes
px pour x tendant vers a. On voit alors que la droite (D) de pente f 0 (a) et passant par Ma
est la position limite des droites (Dx ). On dit que (D) est la tangente à Tf au point Ma .
L’équation de D est :
y = f (a) + f 0 (a)(x − a)
(2.1)
(a)
(a)
pour (x, y) sur D et x 6= a, y−f
vaut la pente de D ; d’où y−f
= f 0 (a) et l’équation 2.1.
x−a
x−a
Exemples :
1. f (x) = sin(x)
Pour x 6= a, a ∈ R, on a f (x) − f (a) = 2 sin
13
x−a
2
cos
x+a
2
.
14
Opérations sur les dérivées
Comme limu→0 sin(u)
= 1, on a, par le théorème de composition des limites :
u (a)
2
x−a
limx→a x−a sin 2
= 1. Par conséquent : limx→a f (x)−f
= cos(a).
x−a
0
f est donc dérivable et f (x) = cos(x)
2. On montre de même que cos(x) est dérivable sur R, et que (cos(x))0 = − sin(x)
3. f (x) = ln(x) : f est dérivable sur ]0, +∞[ et f 0 (x) = x1 .
(x)
Notation différentielle : si f est dérivable au point x ∈ X, f 0 (x) = limh→0 f (x+h)−f
h
d’où, si on note ∆x = h (accroissement de la variable entre x et x + h) et ∆f = f (x +
h) − f (x) (accroissement correspondant de f ) : f 0 (x) = lim∆x→0 ∆f
; symboliquement
∆x
on écrit :
df
f 0 (x) =
dx
Intuitivement dx est un accroissement infinitésimal de la variable x, df = f (x + dx) − f (x)
est l’accroissement correspondant de f .
2 Opérations sur les dérivées
Théorème 2.1 Soient f, g : X → R deux fonctions dérivables au point a ∈ X ; alors
les fonctions f (x) + g(x), f (x)g(x) (et f (x)/g(x) si g(a) 6= 0) sont dérivables au point a,
et on a les formules :
(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a)
(f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
( f (a)/g(a))0 =
g(a)2
si g(a) 6= 0
Cas particulier : si u : X → R est dérivable, v(x) = (u(x))2 est dérivable de dérivée
2u(x)u0 (x) ; plus généralement, si n est un entier strictement positif, w(x) = (u(x))n est
dérivable et w0 (x) = n(u(x))n−1 u0 (x). Cette formule se démontre par récurrence pour
n ≥ 1. On peut d’ailleurs montrer qu’elle est encore vraie pour n entier négatif si u(x)
ne s’annule pas.
Exemples :
1. Tout polynôme f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn est dérivable sur R et f 0 (x) =
a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 .
2. f (x) = tan(x) est dérivable (sur son domaine de définition) et on a :
f 0 (x) =
1
= 1 + tan2 (x), pour x 6=
cos2 (x)
π
2
+ kπ (pour tout k ∈ Z)
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2. D ÉRIV ÉES DES FONCTIONS D ’ UNE VARIABLE
15
Théorème 2.2 Soient f : X → R, g : Y → R deux fonctions et a ∈ X ; on suppose
que g ◦ f est (au voisinage de a) définie sur un intervalle contenant le point a, que f est
dérivable en a et que g est dérivable au point f (a). Alors g(f (x)) est dérivable en a et :
(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a))f 0 (a)
Démonstration : (en supposant f strictement croissante sur X) ; pour h 6= 0 et assez
petit, on a :
g(f (a + h)) − g(f (a))
g(f (a + h)) − g(f (a))
f (a + h) − f (a)
=
h
f (a + h) − f (a)
h
lorsque h tend vers 0, la première parenthèse du second membre tend vers g 0 (f (a)) :
c’est une conséquence de la définition de la dérivée de g au point f (a) et du théorème
de composition des limites. Par conséquent, le premier membre admet une limite pour
h → 0 et cette limite est g 0 (f (a))f 0 (a).
Exemples :
1. f (x) = sin(2x) : f 0 (x) = 2 cos(2x)
2. f (x) = ln(|x|), (x 6= 0) : f 0 (x) =
1
x
pour tout x 6= 0
3. si u : X → R est une fonction dérivable, alors ln(|u(x)|) est dérivable en tout point
x ∈ X tel que u(x) 6= 0 et :
u0 (x)
d ln(|u(x)|)
=
(si u(x) 6= 0)
dx
u(x)
Ainsi : d ln(|dsin(x)|)
=
x
cos(x)
sin(x)
= cot(x) pour x 6= 0 modulo π.
3 Théorème des accroissements finis
Théorème 2.3 Soit f : [a, b] → R une fonction dérivable sur l’intervalle [a, b], a < b :
il existe alors au moins un point c dans l’intervalle ]a, b[ tel que :
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c)
(a)
Interprétation graphique : on aura f (b)−f
= f 0 (c) : autrement dit, la pente de la
(b−a)
corde AB joignant A = (a, f (a)) à B = (b, f (b)) est égale à la pente de la tangente à
la courbe y = f (x) au point Mc = (c, f (c)). Le théorème affirme donc l’existence d’un
point M sur la courbe représentative Tf de f , tel que la tangente en M à Tf est parallèle
à la corde AB.
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16
Théorème des accroissements finis
Justification intuitive : on suppose que Tf n’est pas entièrement situé sous la corde
(a)
AB ; considérons une droite : (Dp ) d’équation y = mx + p, de pente m = f (b)−f
,
b−a
le paramètre p étant variable. Pour p suffisamment grand, (Dp ) est situé au dessus de
Tf ; en diminuant p, on obtient une valeur p0 ∈ R, telle que (Dp0 ) est au dessus de
Tf , et rencontre Tf en un point (x0 , y0 ) ; la disposition relative de Tf et (Dp0 ) implique
f 0 (x0 ) = m
Conséquences fondamentales : notons f : I → R une fonction dérivable sur l’intervalle I, alors :
1. si f 0 (x) = 0 sur I, f est constante sur l’intervalle I ;
2. si f 0 (x) ≥ 0 sur I, f est croissante sur l’intervalle I ;
3. si f 0 (x) > 0 sur I, f est strictement croissante sur l’intervalle I.
Montrons par exemple la conséquence 3 : si a, b ∈ I, a < b, il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c) ; d’où, puisque f 0 (x) > 0, f (b) − f (a) > 0 et f (a) < f (b).
On a des énoncés analogues si f 0 (x) ≤ 0 sur I, ou si f 0 (x) < 0 sur I. Quelles réciproques
peut-on énoncer ?
Corollaire 2.1 Soient f : I → R une fonction définie sur l’intervalle I de R, F et G
deux primitives de f sur I (c’est-à-dire que F et G sont dérivables et telles que F 0 (x) =
G0 (x) = f (x) pour tout x ∈ I). Alors F (x) − G(x) est constante sur I : F (x) =
G(x) + C, pour x ∈ I et C ∈ R. En particulier si F (x0 ) = G(x0 ) pour un point x0 ∈ I,
alors F (x) = G(x) pour tout x ∈ I.
Attention : toutes les propriétés énoncées ici s’appliquent à des intervalles I ; ces
propriétés peuvent tomber en défaut si I n’est pas un intervalle, par exemple :
Alors f 0 (x) = cos12 (x) > 0 mais f
1. f (x) = tan(x), x ∈ X = − π2 , + π2 ∪ π2 , + 3π
2
n’est pas croissante sur X.
2. f (x) = − x12 , X =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ ; les primitives de f sont des fonctions de la
forme :
1/ + C si x < 0
x
1
F (x) =
1/ + C si x > 0
x
2
où C1 et C2 sont deux réels quelconque ; on voit que deux primitives quelconques
de f sur X ne diffèrent pas en général d’une constante.
Application à la définition de ln(x) : la fonction logarithme népérien est l’unique
fonction dérivable F : ]0, +∞[→ R telle que :
1. F 0 (x) =
1
x
pour x > 0 ;
2. F (1) = 0.
On note F (x) = ln(x). (on peut aussi utiliser la notation Log(x).
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17
2. D ÉRIV ÉES DES FONCTIONS D ’ UNE VARIABLE
L’unicité de F découle du corollaire 2.1 ; nous admettrons l’existence de F (voir le chapitre sur l’intégrale). Puisque F 0 (x) > 0, ln(x) est strictement croissante sur ]0, +∞[. On
a aussi la propriété fondamentale :
∀a, b > 0 , ln(ab) = ln(a) + ln(b)
(2.2)
Pour établir cette relation, on remarque que pour a ∈]0, +∞[ fixé, les fonctions f (x) =
ln(ax) et g(x) = ln(a) + ln(x) ont la même dérivée sur ]0, +∞[ : f 0 (x) = g 0 (x) = x1 .
Comme de plus f (1) = g(1) = ln(a), on a f (x) = g(x). L’équation 2.2 correspond à
x = b.
3.1
Convexité, concavité
Définition 2.1 On dit que la fonction f : I → R (I intervalle) est convexe si, pour tout
a, b ∈ I, a < b, la courbe y = f (x), (a ≤ x ≤ b) est située au dessous de la corde AB,
où A = (a, f (a)), B = (b, f (b)).
Formulation analytique de la convexité : soient a, b ∈ I, a < b et x1 ∈]a, b[ ; on peut
écrire x1 sous forme de barycentre de a et b affectés de poids convenables :
x1 = ta + (1 − t)b
Un calcul facile montre qu’il faut prendre t =
(x1 , h) soit sur la corde AB vérifie :
avec 0 < t < 1
b−x1
.
b−a
On montre que la hauteur h telle que
h = tf (a) + (1 − t)f (b)
Dire que (x1 , f (x1 )) est au-dessous de la corde AB revient donc à dire que :
f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b)
(2.3)
Dire que f : I → R (I intervalle) est convexe, c’est dire que l’inégalité 2.3 est vérifiée
pour tout couple de points de I et tout t ∈ [0, 1]
Exercice : vérifier à l’aide de cette propriété que les fonctions f (x) = |x|, g(x) = x2
sont convexes sur R.
Définition 2.2 On dit que f : I → R (I intervalle) est concave si, pour tout a, b ∈ I,
a < b, la courbe y = f (x), (a ≤ x ≤ b) est située au dessus de la corde AB, où
A = (a, f (a)), B = (b, f (b)).
f est concave sur I si et seulement si la fonction x 7→ −f (x) est convexe sur I.
On peut caractériser très simplement la convexité de f à l’aide de la dérivée seconde de
f (lorsqu’elle existe) :
Théorème 2.4 Si f est deux fois dérivable sur l’intervalle I, f est convexe si et seulement
si f 00 (x) est positive sur I
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18
Théorème des accroissements finis
De même, f sera concave sur I si et seulement si f 00 (x) ≤ 0 sur I.
Preuve :
• supposons f convexe, notons Mx = (x, f (x)) et fixons a, b ∈ I, a < b. Si h est positif,
tel que a + h < b, la pente de la corde Ma Ma+h est inférieure (ou égale) à celle de
(a)
≤
la corde Ma Mb puisque Ma+h est situé sous la corde Ma Mb . Donc : f (a+h)−f
h
f (b)−f (a)
f (b)−f (a)
0
, et en faisant tendre h vers 0, on obtient f (a) ≤ b−a .
b−a
(b)
De même, la pente de Mb−h Mb est supérieure ou égale à celle de Ma Mb ; d’où f (b−h)−f
≥
−h
f (b)−f (a)
f (b)−f (a)
0
, (h > 0) et en faisant tendre h vers 0, on obtient f (b) ≥ b−a .
b−a
Finalement, f 0 (a) ≤ f 0 (b) : comme a et b sont arbitraires dans I tels que a < b cela
signifie que f 0 est croissante sur I et par conséquent f 00 (x) ≥ 0 sur I.
• Réciproque : supposons f 00 (x) ≥ 0 pour tout x ∈ I ; prenons a, b, x1 ∈ I tels que
a < x1 < b. D’après le théorème des accroissements finis, il existe c ∈]a, x1 [ et
d ∈]x1 , b[ tels que :
pente(Ma Mx1 ) = f 0 (c) , pente(Mx1 Mb ) = f 0 (d)
D’après l’hypothèse, f 0 est croissante sur I et par conséquent, f 0 (c) ≤ f 0 (d). On
obtient donc :
pente(Ma Mx1 ) ≤ pente(Mx1 Mb )
Cette inégalité signifie que Mx1 est situé sous la corde Ma Mb . Ce qui montre que f est
convexe.
Exemples :
1. f (x) = ln(x) est concave sur ]0, +∞[
2. f (x) = x2 , g(x) = x4 sont convexes sur R
3. f (x) = sin(x) est convexe sur [−π, 0], concave sur [0, π] convexe sur [π, 2π], etc.
Position par rapport à la tangente : si f : I → R est deux fois dérivable sur I,
et convexe sur I, la courbe représentative de f est située au dessus de chacune de ses
tangentes :
∀a, x ∈ I , f (x) ≥ f (a) + f 0 (a)(x − a)
La preuve de ce résultat est directe en posant F (x) = f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a). On a
F 00 (x) = f 00 (x) ≥ 0 et F 0 (x) = f 0 (x) − f 0 (a) et donc F 0 (a) = 0. On a aussi F (a) = 0.
Le tableau de variation montre donc que F (x) ≥ 0.
Exemple : on a sin(x) ≤ x pour x ∈ [0, π], d’après la concavité de sin(x) sur [0, π].
D’autre part, comme cette fonction est convexe sur [−π, 0], sin(x) ≥ x sur [−π, 0].
Cette exemple conduit à la notion de point d’inflexion.
Définition 2.3 Soit f : I → R, une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle I, on
dit que la courbe y = f (x) présente un point d’inflexion en (x0 , f (x0 )) (x0 ∈ I) si
f 00 (x0 ) = 0 et si f 00 change de signe en x0 .
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19
2. D ÉRIV ÉES DES FONCTIONS D ’ UNE VARIABLE
4 Dérivées des fonctions réciproques
Théorème 2.5 Soient f : I → R une fonction strictement monotone et continue sur
l’intervalle I, et g : J → R la fonction réciproque de f . Si f est dérivable au point a ∈ I
et si f 0 (a) 6= 0, g est alors dérivable au point b = f (a) et on a :
g 0 (b) =
1
f 0 (a)
=
1
f 0 (g(b))
Admettons la dérivabilité de g en b ; on a : f (g(x)) = x pour tout x ∈ J. En dérivant
les deux membres par rapport à x, on obtient pour x = b : f 0 (g(b))g 0 (b) = 1. D’où la
relation.
Exemples :
1. f (x) = ex est la fonction réciproque de ln(x) : elle est donc dérivable et :
f 0 (x) =
1
1
= 1 = ex
x
/ex
ln (e )
0
On voit d’ailleurs que f 00 (x) = exp(x) ≥ 0 et que f est donc convexe sur R
2. On en déduit la dérivée de fα = xα (x > 0, α ∈ R) ;
on obtient, puisque fα (x) = eα ln(x) :
fα0 (x) =
α α ln(x)
e
= αe(α−1) ln(x) = αxα−1
x
D’où f 00 (x) = α(α − 1)xα−2 et on voit que :
• si α ≥ 1 : fα est convexe, croissante ;
• si 0 < α ≤ 1 : fα est concave, croissante ;
• si α ≤ 0 : fα est convexe, décroissante ;
5
5.1
Fonctions trigonométriques inverses
f (x) = arcsin(x)
arcsin(x) la fonction réciproque de la restriction
de sin(x) à l’intervalle
On πappelle
π
π π
− 2 , 2 ; sin(x) définit une bijection croissante
de − 2 , 2 sur [−1, +1] et arcsin(x)
est la bijection réciproque de [−1, +1] sur − π2 , π2 .
Si a et b sont deux réels, on a l’équivalence :
|b| ≤ 1
|a| ≤ π2
⇐⇒
a = arcsin(b)
b = sin(a)
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20
Fonctions trigonométriques inverses
Plus concrètement, si |x| ≤ 1, θ = arcsin(x) est l’unique θ ∈ − π2 , π2 tel que sin θ = x.
Donc :
arcsin(0)
1
arcsin √
2
1
arcsin
2
√ !
3
arcsin
2
= 0
π
=
4
π
=
6
π
3
=
Dérivée
arcsin est dérivable sur ] − 1, +1[ et on a :
arcsin(x)0 =
1
1
1
=p
=√
2
cos(arcsin(x))
1 − x2
1 − sin (arcsin(x))
Convexité, parité
arcsin(x) est impaire, convexe sur [0, 1], concave sur [−1, 0] ; l’origine des axes est un
point d’inflexion de y = arcsin(x).
5.2
f (x) = arccos(x)
On note arccos(x) la fonction réciproque de f (x) = cos(x), 0 ≤ x ≤ π
arccos : [−1, +1] → [0, π]
Si |x| ≤ 1, θ = arccos(x) est l’unique θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x.
On a :
cos(arccos(x)) = x
arccos(cos(x)) = x
Exemples :
• arccos(−1) = π
π
• arccos(0)
= 2
√
• arccos
2
2
=
si
si
|x| ≤ 1
0≤x≤π
π
4
Dérivée
arccos est dérivable sur ] − 1, +1[ et on a : arccos(x)0 =
Exercice :
Montrer que arccos(x) + arcsin(x) =
π
2
√ −1
1−x2
pour |x| ≤ 1
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21
2. D ÉRIV ÉES DES FONCTIONS D ’ UNE VARIABLE
5.3
f (x) = arctan(x)
On note arctan(x) la fonction réciproque de f (x) = tan(x), |x| < π2
i π πh
arctan : R → − ,
2 2
c’est donc une bijection strictement croissante de R sur − π2 , π2 .
Si x ∈ R, θ = arctan(x) est l’unique θ ∈ R tel que |θ| < π2 et tan(θ) = x.
On a :
tan(arctan(x)) = x
∀x ∈ R
arctan(tan(x)) = x
si |θ| <
π
2
Exemples :
• arctan(0) = 0
• arctan(1) = π4 • arctan tan 3π
= − π4
4
Propriétés : arctan est continue, strictement croissante, impaire ; de plus :
• limx→+∞ arctan(x) = π2
• limx→−∞ arctan(x) = − π2
arctan est dérivable, et
1
arctan0 (x) =
1 + x2
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22
Exercices
6 Exercices
1. Vrai ou Faux ?
(a) Toute fonction continue sur un intervalle I est dérivable sur I ;
(b) toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.
(c) La dérivée du produit de deux fonctions dérivables est le produit de leurs
dérivées.
(d) si f et g sont deux fonctions dérivables sur R alors (f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g)g 0
(e) Si |f 0 (x)| ≤ M , alors
|f (b) − f (a)| ≤ M (b − a)
(2.4)
2. Étudier la dérivabilité en 0 des fonctions :
√
x si x ≥ 0
(a) f (x) =
0 si x < 0
x sin x1 si x 6= 0
(b) f (x) =
0
si x = 0
3. Calculer les dérivées successives des fonctions :
(a) f (x) = x3 + 1 (x = 0 est-il un extremum ?)
(b) f (x) = cos(x) ;
(c) f (x) =
1+x
1−x
;
(d) sin(x) − x cos(x) ;
(e) x ln(x) ;
(f) ex cos(x).
4.
(a) Étudier la variation de la fonction numérique f définie par la formule :
x 7→
cos(4x)
cos4 (x)
Déterminer les points d’inflexion du graphe de f
(b) Montrer que f (x) peut se mettre sous la forme d’un polynôme en tan(x).
Résoudre directement l’équation :
tan4 (x) − 6 tan2 (x) + 2 = 0
Retrouver le résultat obtenu à l’aide de la première question.
5. En utilisant l’inégalité 2.4 de l’exercice 1, montrer que :
(a) pour tout nombre réel x non nul :
−1 ≤
sin(x)
≤1
x
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2. D ÉRIV ÉES DES FONCTIONS D ’ UNE VARIABLE
23
(b) Pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0, 1] :
1 + x ≤ ex ≤ 1 + ex
(c) pour x1 et x2 nombres réels tels que 0 < x1 ≤ x2 :
x2 − x1
x2
x2 − x1
≤ ln
≤
x2
x1
x1
(d) pour tout couple (x, y) de nombres réels appartenant à l’intervalle − π2 , π2 :
| tan(x) − tan(y)| ≥ |x − y|
6. Utiliser l’inégalité 2.4 de l’exercice 1 pour obtenir une majoration des nombres
réels :
√
√
A =
33 − 32
B = ln(1500) − ln(1498)
7. Deux oiseaux sont perchés chacun sur un pylône de téléphérique (différent l’un de
l’autre) ; ils s’envolent en même temps et vont se poser au même instant sur l’autre
pylône. Formuler mathématiquement l’hypothèse qui permet d’affirmer qu’il existe
un instant où ils sont à la même altitude.
8. Soient a et b deux nombres réels tels que 0 < b < a. Comparer les dérivées des
trois fonctions suivantes :
√ 2
a − b2 sin(x)
x 7→ arctan
b + a cos(x)
!
a−b
x 7→ 2 arctan √
a2 − b2 tan x2
b + a cos(x)
x 7→ arccos
a + b cos(x)
Déterminer l’ensemble des points de R pour lesquels ces trois fonctions coı̈ncident.
9. Formule de Leibniz
Soient f et g deux fonctions n fois dérivables sur un intervalle I. Montrer que le
produit f g est n fois dérivable sur I et montrer que :
(f g)(n) = C0n f (n) g + C1n f (n−1) g 0 + · · · + Cpn f (n−p) g (p) + · · · + Cnn f g (n)
où Cpn =
n!
p!(n−p)!
sont les coefficients binomiaux
10. Utiliser la formule de Leibniz pour calculer les dérivées successives des fonctions :
(a) f (x) = (x4 + 1) sin(x)
(b) f (x) = ex cos(x)
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24
Exercices
11. En dérivant de deux manières la fonction :
x 7→ (1 + x)n
calculer :
(a) C1n + 2C2n + 3C3n + · · · + nCnn
(b) C1n + 22 C2n + 32 C3n + · · · + n2 Cnn
12.
(a) Montrer que, pour tout couple de réels positifs a et b tels que ab < 1, on a la
relation :
a+b
arctan(a) + arctan(b) = arctan
1 − ab
(b) Montrer que pour tout entier n positif, on a :
1
1
1
arctan
− arctan
= arctan
2n − 1
2n + 1
2n2
(c) Soit n un entier positif. Déduire de ce qui précède une forme simple pour la
somme :
n
X
1
Sn =
arctan
2k 2
k=1
13. Montrer que la fonction ln(1 + ex ) est une fonction convexe.
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Chapitre 3
Polynômes
1
Définition
Définition 3.1 On appelle polynôme à coefficients réels de degré n, toute fonction de la
forme :
R→R
P
f:
avec ai ∈ R, an 6= 0
x 7→ P (x) = ni=0 ai xi
Si an = 1 on dit que le polynôme est unitaire.
Si P (x) = an xn on dit que P (x) est un monôme de degré n.
L’ensemble des polynômes dont le degré égal à 0 est constitué des polynômes constants.
L’ensemble des polynômes dont le degré est égal à 1 est constitué de l’ensemble des
droites.
2
2.1
Opérations sur les polynômes
Somme
P
P
j
Soient f (x) = ni=0 ai xi et g(x) = m
j=0 bj x deux polynômes à coefficients réels, la
somme f + g est un polynôme de degré t = sup(n, m) défini par :
f (x) + g(x) =
t
X
(al + bl )xl
l=0
(avec la convention de considérer comme nuls les coefficients d’indice supérieur au
degré).
Le degré de f + g est donc inférieur ou égal au maximum des degrés de chacun des
polynômes. On a égalité si les termes de plus haut degré ne s’annulent pas.
Exemple : La somme de f (x) = 3x2 + 4 et de g(x) = −x2 + 2x + 5 est le polynôme
de degré 2 : (3 − 1)x2 + (0 + 2)x + (4 + 5) = 2x2 + 2x + 9
25
26
Opérations sur les polynômes
2.2 Produit
P
P
j
Soient f (x) = ni=0 ai xi et g(x) = m
j=0 bj x deux polynômes à coefficients réels, le
produit f g est un polynôme de degré s = n + m défini par :
!
s
l
X
X
f (x)g(x) =
ak bl−k xl
l=0
k=0
(avec la convention de considérer comme nuls les coefficients d’indice supérieur au
degré).
Le degré du polynôme f g est la somme des degrés de f et g et de coefficient an bm .
Exemple : Le produit de f (x) = 3x2 + 4 et de g(x) = −x2 + 2x + 5 est le polynôme
de degré 4 :
(3x2 + 4) × (−x2 + 2x + 5) = −3x4 + 6x3 + 15x2 − 4x2 + 8x + 20
= −3x4 + 6x3 + 11x2 + 8x + 20
2.3 Premières propriétés
P
Théorème 3.1 Soit f (x) le polynôme ni=0 ai xi , ce polynôme est la fonction nulle si et
seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Ce théorème signifie qu’une fonction polynôme s’identifie à la suite de ses coefficients.
Corollaire 3.1 Deux fonctions polynômiales f et g égales ont mêmes coefficients.
Pour démontrer ce corollaire, il suffit de considérer f − g et d’appliquer le théorème
précédent.
Corollaire 3.2 Le produit de deux polynômes non nuls est un polynôme non nul.
Démonstration : sinon, tous les coefficients du produit seraient nuls ; si f est de degré n,
de coefficient dominant an et g de degré m, de coefficient dominant bm , f g est de degré
m + n avec coefficient dominant an bm 6= 0.
On peut également traduire ceci en disant que si le produit de deux polynômes est nul
c’est que l’un d’eux est le polynôme nul. Une conséquence pratique est que si l’on a
l’égalit’e f g = f h entre polynômes avec f 6= 0, alors g = h.
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27
3. P OLYN ÔMES
3 Division Euclidienne
Théorème 3.2 Étant donné un polynôme A(x) et un polynôme non nul B(x), il existe un
couple unique (Q(x); R(X)) de polynômes tels que
A(x) = B(x)Q(x) + R(x)
x∈R
avec degré(R)< degré(B).
On dit que l’on a effectué la division euclidienne du polynôme A(x) par B(x) ; Q(x) est
le quotient, R(x) le reste.
Si le reste est nul, on dit que B(x) divise A(x).
Nous allons montrer ce théorème sur un exemple.
Exemple : divisons le polynôme A(x) par le polynôme B(x) avec :
A(x) = 2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2
B(x) = x2 + x − 2
Au préalable, on aura ordonné les deux polynômes suivant les puissances décroissantes
de x. On dispose les polynômes de la façon suivante :
2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2 x2 + x − 2
Divisons le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur :
2x4 : x2 = 2x2
Inscrivons le résultat sous le diviseur (c’est le premier terme du quotient). Nous obtenons :
2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2 x2 + x − 2
2x2
Multiplions le terme obtenu par le diviseur :
2x2 (x2 + x − 2) = 2x4 + 2x3 − 4x2
et soustrayons le résultat du dividende :
2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2 x2 + x − 2
−2x4 − 2x3 + 4x2
2x2
3
2
−5x + 9x + 7x − 2
Recommençons le processus en divisant le premier terme du polynôme résiduel par le
premier terme du diviseur. Nous obtenons ainsi le deuxième terme du diviseur. Celui-ci
est alors multiplié par le diviseur et le résultat soustrait du polynôme résiduel :
−5x3 : x2 = −5x
−5x(x2 + x − 2) = −5x3 − 5x2 + 10x
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28
Racine(s) d’un polynôme
2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2 x2 + x − 2
−2x4 − 2x3 + 4x2
2x2 − 5x
3
2
−5x + 9x + 7x − 2
5x3 + 5x2 − 10x
14x2 − 3x − 2
On recommence ces étapes jusqu’à ce que le degré du polynôme résiduel soit strictement
inférieur au degré du diviseur (le polynôme résiduel est alors le reste de la division). Ce
qui donne la division complète :
2x4 − 3x3 + 5x2 + 7x − 2 x2 + x − 2
−2x4 − 2x3 + 4x2
2x2 − 5x + 14
3
2
−5x + 9x + 7x − 2
5x3 + 5x2 − 10x
14x2 − 3x − 2
−14x2 − 14x + 28
17x + 26
Le quotient est donc :
Q(x) = 2x2 − 5x + 14
et le reste :
R(x) = −17x + 26
3.1
Cas particulier : division d’un polynôme P (x) par x − a
Puisque le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur, le reste est un
réel.
Théorème 3.3 Le reste de la division du polynôme non nul P (x) par x − a vaut P (a)
Autrement dit, le reste de la division du polynôme P (x) par x − a est la valeur obtenue
en remplaçant x par a dans le polynôme.
4
Racine(s) d’un polynôme
Définition 3.2 On dit que a ∈ R est racine du polynôme P (x) si P (a) = 0
En utilisant le théorème 3.3, on voit que cette définition implique :
Théorème 3.4 Le polynôme P (x) admet a pour racine si et seulement si il est divisible
par x − a.
Corollaire 3.3 Si le polynôme P (x) possède t racines distinctes a1 , a2 , . . . , at alors P (x)
est divisible par (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − at )
Si a1 est racine, on peut écrire P (x) = (x − a1 )P1 (x) ; puisque a2 6= a1 est racine de
P (x), il est racine de P1 (x), etc...
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29
3. P OLYN ÔMES
Corollaire 3.4 Un polynôme de degré n possède au plus n racines distinctes.
Soient a1 , a2 , . . . , at les racines distinctes de P (x) on a P (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x −
at ). En comparant les degrés des deux membres, on voit que le degré de Q(x) est 0.
Ce corollaire implique que deux polynômes de degré n égaux pour n+1 valeurs distinctes
sont égaux. C’est une généralisation du fait qu’une droite (polynôme de degré 1) est
déterminée de manière unique à l’aide de deux points.
Définition 3.3 On dit que deux polynômes sont premiers entre eux si et seulement si leurs
seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles.
Cette définition implique, entre autres, que deux polynômes premiers n’ont aucune racine
en commun.
On admettra le théorème suivant qui concerne la factorisation des polynômes :
Théorème 3.5 Soit un polynôme à coefficients réels de degré n :
P (x) =
n
X
ai xi avec ai ∈ R
i=0
P (x) peut s’écrire de manière unique sous la forme :
P (x) = an (x−x1 )h1 (x−x2 )h2 · · · (x−xl )hl (x2 +p1 x+q1 )k1 (x2 +p2 x+q2 )k2 · · · (x2 +pm x+qm )km
où x1 , x2 , . . . , xl sont les racines réelles de P (x), deux à deux distinctes , de multiplicité,
h1 , h2 , . . . , hl , et où les trinômes de type (x2 + px + q)k , deux à deux distincts, ont deux
racines complexes conjuguées, de multiplicité k.
On a h1 + h2 + · · · + hl + 2(k1 + k2 + · · · + km ) = n.
Ce théorème signifie que tout polynôme à coefficients réels se factorise en un produit de
facteurs du premier degré et de trinômes du second degré à discriminant négatif.
5
Fractions rationnelles
Les fractions rationnelles sont aux polynômes ce que les fractions sont aux entiers : un
quotient.
Définition 3.4 La fonction f (x) est une fraction rationnelle si il existe deux polynômes
P (x) et Q(x) premiers entre eux tels que :
∀x ∈ R
f (x) =
P (x)
Q(x)
Comme pour toute fraction, le haut (le polynôme P (x)) s’appelle le numérateur et le bas
(le polynôme Q(x)) le dénominateur.
Le degré d’une fraction rationnelle est égal à la différence du degré du numérateur et de
celui du dénominateur.
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30
Fractions rationnelles
Exemples :
• la fonction f définie pour tout x par :
f (x) =
2x2 − 4x + 5
x+3
Le degré de la fraction rationnelle f (x) est égal à 2 - 1 = 1.
• La fonction g définie pour tout x par :
g(x) =
2x2 − 4x + 5
x2 + 1
Le degré de la fraction rationnelle g(x) est égal à 2 - 2 = 0.
• La fonction h définie pour tout x par :
h(x) =
2x
4
−
x+3 x−1
On note que la somme de deux fractions rationnelles donne une autre fraction rationnelle. En effet :
4
2x
−
h(x) =
x+3 x−1
2x(x − 1)
4(x + 3)
−
=
(x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 3)
2x2 + 2x + 12
=
(x + 3)(x − 1)
Le degré de h est égal à 0.
De la même façon que tous les entiers sont des fractions, tous les polynômes sont des
fractions rationnelles.
A l’instar de ce qui se fait pour les fractions, les fractions rationnelles peuvent être additionnées, multipliées et même divisées. A chaque fois, le résultat est une autre fraction
rationnelle.
Rappelons qu’on ne peut pas toujours diviser un polynôme par un autre. (Une particularité que l’on retrouve aussi chez les entiers !)
Théorème 3.6 Soit une fraction rationnelle f (x) =
supérieur ou égal au degré n de Q(x).
Alors, pour tout x tel que Q(x) 6= 0, on peut écrire :
f (x) =
P (x)
Q(x)
où le degré m de P (x) est
P (x)
R(x)
= E(x) +
Q(x)
Q(x)
• où E(x) est un polynôme de degré m − n, dit partie entière de f (x), et qui est le
quotient de la division de P (x) par Q(x) ;
• où R(x) est un polynôme de degré strictement inférieur au degré de Q(x), et qui est le
reste de la division de P (x) par Q(x) ;
R(x)
est une fraction rationnelle
• et où Q(x)
Ce théorème est l’équivalent, pour les fractions rationnelles du théorème 3.2
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31
3. P OLYN ÔMES
Exemples :
4
+3x+2
1. Soit la fraction rationnelle f (x) = x(x−1)
2 . En notant que 1 n’est pas racine du
numérateur, on déduit que les polynômes sont premiers entre eux. Pour x 6= 1, on
a:
5x4
+3x + 2
x2 − 2x + 1
4
3
2
−5x + 10x − 5x
5x2 + 10x + 15
10x3 − 5x2 + 3x + 2
−10x3 + 20x2 − 10x
15x2 − 7x + 2
−15x2 + 30x − 15
23x − 13
et donc :
23x − 13
f (x) = 5x2 + 10x + 15 +
(x − 1)2
2
5x(x +1)
2. Soit la fraction rationnelle f (x) = 3x
2 +2x+3 . Le dénominateur n’ayant pas de racine
réelle, les polynômes sont premiers entre eux. On a, pour tout x ∈ R :
x3
+x
3x2 + 2x + 3
1/ x − 2/
−x3 − 2/3x2 − x
3
9
2
− 2/3x
2/ x2 + 4/ x + 2/
3
9
3
4/ x + 2/
9
3
et donc :
4
x + 23
2
1
f (x) = x − + 29
3
9 3x + 2x + 3
R(x)
Théorème 3.7 Soit une fraction rationnelle, g(x) = Q(x)
, où le degré de R(x) est strictement inférieur au degré de Q(x). En utilisant le théorème 3.5 on peut écrire :
Q(x) = λ(x−x1 )h1 (x−x2 )h2 · · · (x−xl )hl (x2 +p1 x+q1 )k1 (x2 +p2 x+q2 )k2 · · · (x2 +pm x+qm )km
Alors pour tout x 6∈ {x1 , x2 , . . . , xl }, la fraction rationnelle s’écrit de manière unique
sous la forme :
R(x)
Q(x)
A1
A2
A3
Ah 1
=
+
+
+ ··· +
h
h
−1
h
−2
1
1
1
(x − x1 )
(x − x1 )
(x − x1 )
(x − x1 )
B1
B2
B3
Bh2
+
+
+
+
·
·
·
+
(x − x2 )h2 (x − x2 )h2 −1 (x − x2 )h2 −2
(x − x2 )
+···
L1
L2
L3
Lhl
+
+
+
+ ··· +
h
h
−1
h
−2
(x − xl ) l (x − xl ) l
(x − xl ) l
(x − xl )
0
0
Mk1 x + Mk0 1
M1 x + M 1
M2 x + M 2
M3 x + M30
+ 2
+
+
+
·
·
·
+
(x + p1 x + q1 )k1 (x2 + p1 x + q1 )k1 −1 (x2 + p1 x + q1 )k1 −2
(x2 + p1 x + q1 )
g(x) =
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32
Fractions rationnelles
Nk2 x + Nk0 2
N2 x + N20
N3 x + N30
N1 x + N10
+
+
+
·
·
·
+
(x2 + p2 x + q2 )k2 (x2 + p2 x + q2 )k2 −1 (x2 + p2 x + q2 )k2 −2
(x2 + p2 x + q2 )
+···
Tkm x + Tk0 m
T2 x + T20
T1 x + T10
+ 2
+
+
·
·
·
+
(x + pm x + qm )km (x2 + pm x + qm )km −1
(x2 + pm x + qm )
+
où A1 , . . . , Ah1 , B1 , . . . , Bh2 , L1 , . . . , Lhl , M1 , . . . , Mk1 , M10 , . . . , Mk0 1 , N1 , . . . , Nk2 , N10 , . . . , Nk0 2 ,
T1 , . . . , Tkm , T10 , . . . , Tk0 m sont des nombres réels.
Ce théorème, que l’on admettra, permet la décomposition des fractions rationnelles en
éléments simples.
Exemples :
4
+3x+2
1. Soit la fraction rationnelle f (x) = 5x(x−1)
2 .On a montré (exemple 1 du théorème 3.6)
que cette fraction rationnelle pouvait s’écrire : f (x) = 5x2 + 10x + 15 + 23x−13
.
(x−1)2
Le théorème 3.7 permet d’écrire :
23x − 13
A
B
=
+
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
La détermination des constantes A et B (unicité de la décomposition) peut se faire,
par exemple, en écrivant :
23x − 13
A
B(x − 1)
Bx + (A − B)
=
+
=
2
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)2
L’égalité doit avoir lieu pour tout x 6= 1, ce qui impose :
B = 23 et A − B = −13 =⇒ A = 10 et donc :
5x4 + 3x + 2
10
23
= 5x2 + 10x + 15 +
+
2
2
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)
∀x 6= 1
1
2. Soit la fraction rationnelle f (x) = x2 (x−1)(x
2 +1)2 . Les polynômes sont évidemment
premiers entre eux et le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du
dénominateur (degré 7), la partie entière est nulle et pour tout x différent de 0 ou
1, on a :
x2 (x
1
A
B
C
Dx + E
Fx + G
= 2+ +
+ 2
+ 2
2
2
2
− 1)(x + 1)
x
x
(x − 1) (x + 1)
x +1
En multipliant les deux membres de l’égalité par x2 et en faisant tendre x vers zéro,
on obtient A = −1.
En multipliant ensuite par x − 1 et en faisant tendre x vers 1 on obtient C = 14 .
En réduisant au même dénominateur et en additionnant les fractions du membre de
droite, on obtient :
1 = A(x−1)(x2 +1)2 +Bx(x−1)(x2 +1)2 +Cx2 (x2 +1)2 +(Dx+E)x2 (x−1)+(F x+G)x2 (x−1)(x2 +1)
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33
3. P OLYN ÔMES
L’égalité des numérateurs pour tout x différent de zéro et de un implique successivement : B = −1, F = 34 = G, D = 12 = E. Finalement :
f (x) = −
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1
1 1
1
1 x+1
3 x+1
− +
+
+
2
2
2
x
x 4 (x − 1) 2 (x + 1)
4 x2 + 1
∀x 6∈ {0, 1}
34
Exercices
6 Exercices
1. Vrai ou Faux ?
(a) les fonctions suivantes sont des polynômes :
√
i. x
ii. x4
iii. ex
iv. xa a ∈ Z
(b) les seuls polynômes inversibles sont les constantes non nulles.
(c) le produit de deux fractions rationnelles est une fraction rationnelle.
(d) la somme de deux polynômes de degré m est un polynôme de degré m.
2. Calculer la division de P (x) par Q(x) pour les cas suivants :
(a) P (x) = x4 + x3 − 16x2 + 11x + 16, Q(x) = x3 − 17x + 25 ;
(b) P (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x − 1, Q(x) = x3 + x2 − x − 1 ;
(c) P (x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 23x + 10, Q(x) = x4 + 7x3 + 18x2 + 22x + 12
3. Trouvez les racines de P (x) (attention il peut y avoir des racines multiples) :
(a) P (x) = x6 − 6x4 − 4x3 + 9x2 + 12x + 4
(b) P (x) = x5 − 10x3 − 20x2 − 15x − 4
4. Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :
F1 (x) =
F2 (x) =
F3 (x) =
F4 (x) =
F5 (x) =
F6 (x) =
F7 (x) =
(x2 + 2)
x4 + 1
x3 + 2x3
(x2 + x + 1)(x2 + 1)
1
=
2
(x − 3) (x2 + 4)
x+2
2
2
x (x − 1)(x2 + 1)2
2x5 + 3x2 − 1
(x2 + x + 1)3
(3x7 − 5x4 + 4x2 − 11x + 1
(x2 + x + 1)1994
x
(x + 1)(x2 + 1)3
5. Soit n un entier naturel non nul. Trouver la dérivée n-ième des fractions rationnelles suivantes :
F1 (x) =
x2
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
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35
3. P OLYN ÔMES
x3
(x − 1)(x − 3)
4x4
F3 (x) =
(x − 1)2 (x + 2)
F2 (x) =
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Chapitre 4
Formule de Taylor-Développements
limités
1
La formule de Taylor
Soient f : I → R une fonction, (dérivable autant de fois que nécessaire) sur l’intervalle I,
a un point de I et m un entier. La formule de Taylor à l’ordre m permet d’approcher f (x),
pour x voisin de a, par une expression ne dépendant que de f (a), f 0 (a), . . . , f (m) (a) et
de x (et donc pas de f (x)).
1.1
Cas m = 0
On approche f (x) par f (a) ; l’erreur e0 (x) = f (x) − f (a) peut être évaluée à l’aide de
la formule des accroissements finis :
il existe θ entre a et x tel que f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (θ) et
|e0 (x)| = |f (x) − f (a)| ≤ M1 |x − a|
si M1 est un nombre positif majorant |f 0 (t)| lorsque t parcourt I.
On retiendra que l’erreur est (au plus) de l’ordre de |x − a|. On dit que e0 (x) est, lorsque
x tend vers a, un infiniment petit d’ordre (supérieur ou égal à) 1.
1.2
Cas m = 1
On approche f (x) par la fonction affine : g(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a).
D’un point de vue graphique, on passe de f à g en remplaçant la courbe y = f (x) par la
tangente à cette courbe au point (a, f (a)) ; intuitivement, cette tangente est la droite qui
”colle” le plus à la courbe y = f (x) au voisinage de (a, f (a)). L’erreur peut être évaluée
à l’aide de la formule de Taylor :
Théorème 4.1 (Formule de Taylor à l’ordre 1) Soit b ∈ I ; il existe un réel θ compris
entre a et b tel que :
1
f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) + f 00 (θ)(b − a)2
2
37
38
La formule de Taylor
Démonstration : considérons la fonction
φ(x) = f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) − c(x − a)2
0
(a)(b−a)
, b 6= a).
La constante c étant choisie telle que φ(b) = 0. (c = f (b)−f (a)−f
(b−a)2
Comme φ(b) = φ(a) = 0, il existe d’après le théorème des accroissements finis (voir
théorème 2.3) un nombre θ1 entre a et b tel que :
φ0 (θ1 ) = 0
c’est-à-dire :
f 0 (θ1 ) − f 0 (a) − 2c(θ1 − a) = 0
et
1 f 0 (θ1 ) − f 0 (a)
c=
2
θ1 − a
En appliquant une nouvelle fois le théorème des accroissements finis, on obtient qu’il
existe un réel θ entre a et θ1 tel que
1
c = f 00 (θ)
2
.
Puisque φ(b) = 0, on a :
1
f (b) = f (a) + f 0 (a)(b − a) + f 00 (θ)(b − a)2
2
En regardant l’approximation de f (x) par f (a) + f 0 (a)(x − a), on voit que l’erreur
e1 (x) = f (x) − f (a) − f 0 (x − a) peut s’écrire :
1
e1 (x) = f 00 (θ)(x − a)2
2
Donc si M2 est un nombre positif majorant |f 00 (t)|, pour tout t ∈ I, on a :
1
|e1 (x)| ≤ M2 |x − a|2
2
L’erreur est, au plus de l’ordre de |x − a|2 lorsque x → a. On dit que, pour x → a,
e1 (x) est un infiniment petit d’ordre (supérieur ou égal à 2) ; on notera que, pour x → a,
M2
|x − a|2 est infiniment plus petit que M1 |x − a|.
2
Exemple 1 : supposons f convexe sur I ; alors f 00 (x) ≥ 0 sur I. Par conséquent pour
chaque a, b ∈ I :
f (b) ≥ f (a) + f 0 (a)(b − a)
(puisque f 00 (θ) ≥ 0). La courbe y = f (x) est donc au dessus de la tangente au point
(a, f (a)). Ce résultat a déjà été obtenu à la section 3.1.
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39
4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
Exemple 2 : déterminons la limite pour x → 0 de 1−cos(2x)
(forme 00 ).
3x2
Appliquons la formule de Taylor à f (x) = 1 − cos(2x) au point a = 0.
On a f (0) = 0, f 0 (0) = 0 et f 00 (x) = 4 cos(2x). D’où :
1 00
f (θ)x2
1 − cos(2x)
2
2
=
= f 00 (θ)
2
2
3x
3x
3
θ étant un réel situé entre 0 et x, θ → 0 quand x → 0 et limx→0 f 00 (θ) = 1. Par
conséquent :
2
1 − cos(2x)
=
lim
2
x→0
3x
3
2 Cas général
2
m
On approche f (x) par g(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a) (x−a)
+ · · · + f (m) (a) (x−a)
.
2
m!
Remarquons que g(x) est un polynôme de degré m et que :
g(a) = f (a), g 0 (a) = f 0 (a), . . . , g (k) (a) = f (k) (a), . . . , g (m) (a) = f (m) (a)
On peut montrer que g(x) est le seul polynôme de degré m, admettant au point a les
mêmes dérivées successives, d’ordre inférieur ou égal à m, que f . En ce sens, g(x) est
parmi les polynômes de degré inférieur ou égal à m, celui qui ”colle” le plus à f (x)
lorsque x → a.
L’erreur em (x) = f (x) − g(x) peut être évaluée à l’aide de la formule de Taylor d’ordre
m:
Théorème 4.2 (Formule de Taylor) Si f est m + 1 fois dérivable sur I, et si a et x sont
deux points de I, il existe un réel θ compris entre a et x tel que :
f (x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+f 00 (a)
(x − a)2
(x − a)m (m+1) (x − a)m+1
+· · ·+f (m) (a)
+f
(θ)
2
m!
(m + 1)!
En particulier , si |f (t)(m+1) | ≤ M au voisinage de a, l’erreur em (x) est de module
m+1
inférieur à M × |x−a|
. C’est un infiniment petit d’ordre (supérieur ou égal) à m + 1.
(m+1)!
Exemples :
1. Prenons f (x) = ex , I = R, a = 0. On obtient, si n est un entier positif :
ex = 1 +
x
xn
xn+1
+ ··· +
+ eθ
1!
n!
(n + 1)!
où θ est compris entre 0 et x.
Si x ≥ 0, eθ ≥ 1 ; on en déduit que pour tout x ≥ 0, et tout entier n ≥ 0, on a :
ex ≥ 1 +
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x
xn
xn+1
xn+1
+ ··· +
+
≥
1!
n! (n + 1)!
(n + 1)!
40
Développements limités : définition, premières propriétés
En particulier, comme
ex
xn
≥
x
(n+1)!
:
ex
lim
= +∞
x→+∞ xn
(4.1)
On peut plus généralement énoncer :
αu
(a) limu→+∞ euβ = +∞ pour α > 0, β ∈ R (en posant x = αu on se ramène à
la formule 4.1)
(b) limv→+∞ v β e−αv = 0 si α > 0, β ∈ R
Dans tous les cas ”l’exponentielle l’emporte sur la puissance”.
2. Prenons f (x) = sin(x), a = 0. Pour x > 0, il existe θ1 et θ2 compris entre 0 et x
tels que :
x3
x3
cos(θ1 ) ≥ x −
6
6
x3 x4
x3 x4
+
sin(θ2 ) ≤ x −
+
f (x) = x −
6
24
6
24
f (x) = x −
et
On obtient ainsi un encadrement de sin(x), à l’aide de polynômes.
On remarque aussi que la fonction sinus étant impaire, la partie régulière de son
développement ne contient que des exposants impairs de x.
3. La formule de Taylor est applicable aux polynômes de degré n. Ils sont infiniment
dérivables et la dérivée d’ordre n + 1 est identiquement nulle. On peut remarquer
que :
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1
f 00 (x) = 2 × 1 × a2 + 3 × 2a3 x · · · + n(n − 1)an xn−2
f (3) (x) = 3 × 2 × 1 × a3 + · · · + n(n − 1)(n − 2)an xn−3
etc.
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
f (0) = a0
f 0 (0) = a1
f 00 (0) = 2!a2
f (3) (0) = 3!a3
on a donc bien :
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
x + ··· +
x
2!
n!
3 Développements limités : définition, premières propriétés
Définition 4.1 Soit f : I → R une fonction définie sur un intervalle contenant 0 et
I 6= {0}. Soit n un entier positif. Déterminer un développement limité de f , à l’ordre n,
au voisinage de 0 (ou en 0), c’est trouver des coefficients a0 , a1 , . . . , an tels que l’on ait :
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn (x)
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41
4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
avec
lim (x) = 0
x→0
En d’autres termes : |f (x) − (a0 + a1 x + · · · + an xn )| est un infiniment petit d’ordre
strictement plus grand que n ; c’est une quantité infiniment plus petite que |x|n .
Commençons par formuler deux propriétés élémentaires :
3.1
Unicité du développement limité
Théorème 4.3 Une fonction f admet au plus un développement limité à l’ordre n en 0.
Autrement dit, les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont déterminés par f . Supposons en effet
que l’on ait, pour x ∈ I :
a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x)
pour deux systèmes de coefficients a0 , a1 , . . . , an , b0 , . . . , bn et deux coefficients 1 et 2
tendant vers 0 en 0.
En faisant tendre x vers zéro dans chaque membre, on obtient à la limite : a0 = b0 . En
divisant ensuite par x, on obtient, puisque a0 = b0 :
a1 + a2 x + · · · + an xn−1 + xn−1 1 (x) = b1 + b2 x + · · · + bn xn−1 + xn−1 2 (x)
En faisant tendre à nouveau x vers zéro, on obtient (si n ≥ 1) a1 = b1 . On peut alors
de nouveau diviser par x pour obtenir (si n ≥ 2) a2 = b2 . On montre ainsi de proche en
proche que : a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn .
3.2
Troncature d’un développement limité
Si on a un développement limité de f à l’ordre n (en 0), on obtient le développement
limité de f à l’ordre p, p ∈ N, p < n par ”troncature” (i.e. en conservant les termes
d’ordre inférieur ou égal à p) :
si :
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn (x) pour x ∈ I avec limx→0 (x) = 0
alors :
f (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp (ap+1 x + ap+2 x2 + · · · + an xn−p + xn−p (x))
c’est-à-dire :
f (x) = a0 + a1 x + · · · + ap xp + xp 1 (x)
avec limx→0 1 (x) = 0
On voit donc que si f admet un DL à l’ordre n en 0, le polynôme Pfn (x) = a0 + a1 x +
· · · + an xn tel que |f (x) − Pfn (x)| soit un infiniment petit d’ordre strictement plus grand
que n est uniquement déterminé. On dira que ce polynôme est le développement limité
de f , à l’ordre n, au voisinage de 0.
Pour une fonction f assez régulière, la formule de Taylor (voir théorème 4.2) donne (au
moins théoriquement) ce développement :
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42
Opérations sur les développements limités
Théorème 4.4 Si f est n fois dérivable sur I, 0 ∈ I et I 6= {0} et si f (n) est continue,
on a :
xn
x
f (x) = f (0) + f 0 (0) + · · · + f (n) (0) + xn (x)
1!
n!
où la fonction (x) tend vers 0 quand x → 0.
Démonstration : d’après la formule de Taylor, on a pour un certain θ compris entre 0 et
x:
x
xn−1
xn
f (x) = f (0) + f 0 (0) + · · · + f (n−1) (0)
+ f (n) (θ)
1!
(n − 1)!
n!
et
x
xn
0
(n)
f (x) = f (0) + f (0) + · · · + f (0) + xn (x)
1!
n!
donc :
1
(x) = (f (n) (θ) − f (n) (0))
n!
(n)
En utilisant la continuité de f en 0 on a limx→0 (x) = 0.
Le théorème permet d’écrire le DL des fonctions suffisamment ”simples” à n’importe
quel ordre. Par exemple :
n
• ex = 1 + 1!x + · · · + xn! + xn 1 (x)
2
x2n
• cos(x) = 1 − x2! + · · · + (−1)n (2n)!
+ x2n 2 (x)
3
2n+1
x
• sin(x) = x − x3! + · · · + (−1)n (2n+1)!
+ x2n+1 3 (x)
(n entier quelconque et limx→0 j (x) = 0).
On peut développer de même (1 + x)α , (α ∈ R) ; le DL à l’ordre 3 est :
(1 + x)α = 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + x3 (x)
2
6
avec limx→0 (x) = 0.
Le cas α = −1 est particulièrement important, et se déduit (sans passer par la formule de
n+1
Taylor) de la formule de la progression géométrique : 1 + x + · · · + xn = 1−x
1−x
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + xn 1 (x)
1−x
1
= 1 − x + x2 − · · · + (−1)n xn + xn 2 (x)
1+x
avec limx→0 j (x) = 0.
4
4.1
Opérations sur les développements limités
Somme
Le DL à l’ordre n de f (x) + g(x), (au voisinage de 0) s’obtient en ajoutant terme à terme
les DL à l’ordre n de f (x) et g(x) :
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4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
43
si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x) et g(x) = b0 + b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x)
avec limx→0 j (x) = 0, on obtient en ajoutant :
f (x) + g(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn + xn 3 (x)
où 3 (x) = 1 (x) + 2 (x) et donc limx→0 3 (x) = 0.
4.2
Produit
Distinguons d’abord deux cas élémentaires :
xf (x) : si on a un DL à l’ordre n de f (x) en 0, on a immédiatement un DL à l’ordre
n + 1 de xf (x) ; il suffit d’écrire, si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x) (et
limx→0 1 (x) = 0), que :
xf (x) = a0 x + a1 x2 + · · · + an xn+1 + xn+1 1 (x)
On obtient de même un développement limité à l’ordre n + 2 de x2 f (x).
f (x)
x
: on suppose f (0) = 0, f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn +xn 1 (x) (et limx→0 1 (x) = 0)
avec n ≥ 1. On peut donc prolonger par continuité la fonction f (x)
en x = 0 (avec
x
f (x)
la valeur a1 ). On obtient un DL à l’ordre (n − 1) de x en écrivant :
f (x)
= a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 + xn−1 (x)
x
Exemple :
sin(x)
x
à l’ordre 5 :
sin(x)
1
x3
x5
x2
x4
6
=
x−
+
+ x (x) = 1 −
+
+ x5 (x)
x
x
3!
120
6
120
Cas général
Supposons f (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn +xn 1 (x) et g(x) = b0 +b1 x+· · ·+bn xn +xn 2 (x)
avec limx→0 j (x) = 0, on obtient un DL à l’ordre n de f (x)g(x) en développant le
produit :
(a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x))(b0 + b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x))
en regroupant les termes de même degré, et en ne conservant que ceux de degré inférieur
ou égal à n (et où n’apparaı̂t ni 1 ni 2 ). Tous les autres termes sont des infiniment petits
d’ordre strictement supérieur à n.
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44
Opérations sur les développements limités
x
e
Exemple : DL à l’ordre 3 de 1−x
(pour x → 0) :
ex
x2 x3
3
=
1+x+
+
+ x 1 (x) (1 + x + x2 + x3 + x3 2 (x))
1−x
2
6
1
1 1
2
3
= 1 + 2x + x
+1+1 +x
+ + 1 + 1 + x3 (x)
2
6 2
5 2 8 3
= 1 + 2x + x + x + x3 (x)
2
3
limx→0 (x) = 0.
4.3
Composition
Cas particulier : f (x2 )
Si f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x) avec limx→0 1 (x) = 0, on a immédiatement :
f (x2 ) = a0 + a1 x2 + · · · + an x2n + x2n (x)
avec (x) = 1 (x2 ) et donc un DL à l’ordre 2n de f (x2 ) (pour x → 0). On traiterait de
même les fonctions f (x3 ), . . . , f (xk ) (k entier ≥ 2), ou f (−x2 ), . . . , f (−xk ).
Exemples :
1
= 1 + x2 + x4 + · · · + x2n + x2n 1 (x)
1 − x2
1
= 1 − x2 + x4 − · · · + (−1)n x2n + x2n 2 (x)
1 + x2
1
1
avec limx→0 j (x) = 0. (Ces développements se déduisent de 1−x
et 1+x
).
De même
x2 3 4
1
1
√
= (1 − x2 )− /2 = 1 +
+ x + x4 (x)
2
2
4
1−x
limx→0 (x) = 0. (puisque (1 + u)−
1/
2
= 1 + 21 u + 34 u2 + u2 (u))
Cas général : f (g(x))
on suppose que pour un entier n positif donné : f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn 1 (x)
et g(x) = b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x) avec limx→0 j (x) = 0.
On remarque que par hypothèse g(0) = 0 et même limx→0 g(x) = 0.
D’où :
f (g(x)) = a0 + a1 (b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x)) + · · ·
+an (b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x))n + g(x)n 1 (g(x))
(4.2)
Comme g(x)n 1 (g(x)) = xn (b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x))n 1 (g(x)) = xn 3 (x), on voit
que g(x)n 1 (g(x)) est un infiniment petit d’ordre supérieur ou égal à n.
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4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
45
On en déduit le DL limité à l’ordre n de f (g(x)) (pour x → 0) en remplaçant dans
l’équation 4.2 chaque terme ak (b1 x + · · · + bn xn + xn 2 (x))k par son développement
en omettant les termes de degré supérieur à n (par rapport à x) et ceux où apparaı̂t 2 (x).
Les termes omis sont en effet des infiniment petits d’ordre supérieur ou égal à n.
Exemple : DL d’ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction f (x) = esin(x)
x5
x3
+
+ x6 1 (x)
3!
120
y2 y3
= 1+y+
+
+ y 3 2 (y)
2
6
sin(x) = x −
ey
limx→0 j (x) = 0.
On a :
x5
x3
x−
+
3!
120
2
2
x2
= x 1−
+ x5 3 (x)
6
x2
2
= x 1−
+ x5 4 (x)
3
x3
x5
+
x−
3!
120
3
3
x2
= x 1−
+ x5 5 (x)
6
x2
3
+ x5 6 (x)
= x 1−
2
2
De même :
3
et :
x3
x5
x−
+
3!
120
4
x3
x5
x−
+
3!
120
5
= x4 + x5 7 (x)
= x5 + x5 8 (x)
Et donc en substituant sin(x) dans le DL de ey et en ne conservant que les monômes de
degré inférieur à 5 on obtient :
esin(x) = 1 + x +
limx→0 (x) = 0.
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x2 x4 x5
−
−
+ x5 (x)
2
8
15
46
Exemples d’utilisation des développements limités
4.4 Primitive d’un développement limité
Définition 4.2 Supposons f dérivable sur I, (0 ∈ I et I 6= {0}) et pour n entier positif
fixé, supposons :
f 0 (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn + xn (x)
limx→0 (x) = 0.
Alors f admet le DL à l’ordre n + 1 suivant :
f (x) = f (0) + a0 x + a1
x2
xn+1
+ · · · + an
+ xn+1 1 (x)
2
n+1
limx→0 1 (x) = 0.
k+1
En d’autres termes, on remplace ak xk par ak xk+1 pour k = 0, . . . , n et on ajoute le terme
(d’ordre 0) f (0). Si f est (n + 1) dérivable et telle que f (n+1) soit continue en 0, la règle
se vérifie facilement en comparant les développements de Taylor de f et f 0 .
Exemples : pour tout entier n positif :
1
2
4
n 2n
1. Comme 1+x
+ x2n 1 (x) avec limx→0 1 (x) = 0
2 = 1 − x + x + · · · + (−1) x
on a :
x2n+1
x3 x5
+
+ · · · + (−1)n
+ x2n+1 2 (x)
arctan(x) = x −
3
5
2n + 1
avec limx→0 2 (x) = 0
1
2. Comme 1+x
= 1 − x + x2 − · · · + (−1)n xn + xn 3 (x) avec limx→0 3 (x) = 0 on
a:
x2 x3
xn+1
ln(1 + x) = x −
+
+ · · · + (−1)n
+ xn+1 4 (x)
2
3
n+1
avec limx→0 4 (x) = 0
5 Exemples d’utilisation des développements limités
5.1
Formes indéterminées
0
0
Soient f et g deux fonctions sur l’intervalle I, supposons que 0 ∈ I (I 6= {0}) et
(x)
limx→0 f (x) = limx→0 g(x) = 0 et cherchons la limite éventuelle de limx→0 fg(x)
. Imaginons qu’on sache calculer le DL de f (x) pour x → 0, à un ordre faisant apparaı̂tre un
terme non nul, et de même pour g(x) :
f (x)=an xn + xn 1 (x)
avec lim 1 (x) = lim 2 (x) = 0
g(x)= bp xp + xp 2 (x)
x→0
x→0
an 6= 0, bp 6= 0 et n, p entiers positifs. On en déduit :
an + 1 (x)
f (x)
= xn−p
g(x)
bp + 2 (x)
D’où le résultat :
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47
4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
• si n > p, f/g tend vers 0 (pour x → 0) ;
(x)
• si n = p, fg(x)
tend vers abpn lorsque x → 0 ;
• si n < p, lim
f (x)
g(x)
x→0
x>0
Exemple : limx→0
tend vers ±∞ selon le signe de
arctan(x)−x
sin(x)−x cos(x)
an
.
bp
;
On a arctan(x) − x = − 3 + x3 1 (x), et sin(x) − x cos(x) = x −
x3
x3
6
−x 1 −
x2
2
+
x3
x3 2 (x) = 3 + x3 3 (x).
arctan(x)−x
On en déduit : sin(x)−x
→ −1 lorsque x → 0.
cos(x)
Étude pour x → a
(x)
On étudie une forme indéterminée fg(x)
pour x → a (on suppose que limx→a f (x) =
limx→a g(x) = 0). On se ramènera toujours au cas a = 0 en posant x = a + u, et en
(a+u)
étudiant pour u → 0 la quantité fg(a+u)
Étude pour x → +∞
On cherche limx→+∞
f (x)
g(x)
; on se ramènera encore à une étude au voisinage de 0, en
f( 1 )
posant x = u1 , et en étudiant g u1 pour u → 0, u > 0.
(u)
1
1
(1+x2 ) /6 −x /3
Exemple : calculons, si elle existe, limx→+∞ x
.
1/
1/
(1+x) 3 −x 3
α
En utilisant la formule : (1 + u) = 1 + αu + u(u) avec limu→0 (u) = 0, on a :
!
1/6
1
1
1
1
1
1
1
1
1/
1/
2 /6
/3
/3
3
3
(1+x ) −x = x
1+ 2
−1 =x
1 + 2 + 2 1 (x) − 1 = x
+ 1 (x)
x
6x
x
6x2 x2
De même :
1
1
(1+x) /3 −x /3
=
1
x /3
1
1+
x
1/3
!
−1
=
1
x /3
1
1
1
1
1/
3
1+
+ 2 (x) − 1 = x
+ 2 (x)
3x x
3x x
où limx→+∞ 1 (x) = limx→+∞ 2 (x) = 0. On en déduit :
x
(1 + x2 )
(1 + x)
1/
6
1/
3
−x
−x
1/
3
1/
3
=x
1/
3
1
6x2
1
1
x /3 3x
x
ce qui montre que la limite existe et vaut 21 .
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+
+
1
(x)
x2 1
1
(x)
x 2
=
1
6
1
3
+ 1 (x)
+ 2 (x)
48
5.2
Étude d’une branche infinie (recherche d’asymptote)
Étude d’une forme indéterminée 1∞
1
On cherche la limite pour x → 0 de f (x) = (cos(x)) x2 .
On écrit :
1
1
cos(x) x2 = e x2 ln(cos(x))
et on est ramené à l’étude de x12 ln(cos(x)) pour x → 0. C’est une forme indéterminée 00 .
Effectuons un DL à l’ordre 2 de ln(cos(x)) (pour x → 0). :
ln(1 + u) = u + u1 (u)
2
u = cos(x) − 1=− x2 + x2 2 (x)
où limx→+∞ 1 (x) = limx→+∞ 2 (x) = 0.
En composant les DL, on obtient :
2
1
x2
x
2
2
ln(cos(x)) = − + x 2 (x) + x − + 2 (x) 1 (u) = − + x2 3 (x)
2
2
2
où limx→+∞ 3 (x) = 0.
D’où :
1
1
lim 2 ln(cos(x)) = −
x→0 x
2
6
1
1
lim (cos(x)) x2 = √
x→0
e
et
Étude d’une branche infinie (recherche d’asymptote)
On se propose d’étudier la branche infinie, x → +∞ de la courbe y = f (x) = (1 − x2 +
1
x3 ) /3
Direction asymptotique :
f (x)
=
x
1/3
1
1
− +1
→1
x3 x
Asymptote :
on forme f (x) − x = x
1
x3
−
1
x
pour x → +∞
1/3
+1
−1 .
1
Utilisons le DL à l’ordre 1 : (1 + v) /3 = 1 + v3 + v1 (v) avec limv→0 1 (v) = 0 pour en
déduire :
u
1
(1 − u + u3 ) /3 − 1 = − + u2 (u)
3
avec limu→0 2 (u) = 0
Par conséquent :
1
1
1
f (x) − x = x − + 2 (x) → −
quand x → +∞
3x x
3
y = f (x) admet donc, pour x → +∞, l’asymptote y = x −
1
3
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49
4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
Position par rapport à l’asymptote : il s’agit d’étudier le signe, pour x grand, de
f (x) − x + 13 :
1
1
1
1
1
f (x) − x −
= ((1 − u + u3 ) /3 − 1) +
où u =
3
u
3
x
1
On effectue un DL à l’ordre 2 de (1 − u + u3 ) /3 . On a :
(1 + v)
1/
3
=1+
v 1 2
− v + v 2 01 (v)
3 9
lim 01 (v) = 0
v→0
et en composant avec v = −u + u3 :
(1 − u + u3 )
1/
3
=1−
u 1 2
+ u + u2 02 (u)
3 9
lim 02 (u) = 0
u→0
Par conséquent :
1
1
1
1
3 1/3
0
((1 − u + u ) − 1) + = − u + u2 (u) = u − + 2 (u)
u
3
9
9
lim 02 (u) = 0
u→0
Pour u > 0, assez petit − 19 + 2 (u) < 0. Ce qui prouve que f (x) − x − 13 < 0, pour
x assez grand (x → +∞) et par conséquent la courbe y = f (x), présente une branche
infinie situé sous l’asymptote y = x − 31 (x → +∞).
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50
Exercices
7 Exercices
1. Vrai ou Faux ?
(a) Toute fonction continue sur un intervalle I admet un développement limité.
(b) Un développement limité d’ordre n est un polynôme d’ordre n + 1.
(c) les coefficients pairs du DL d’une fonction paire sont nuls.
(d) Toute fonction admettant un développement limité d’ordre supérieur ou égal
à 1 possède une asymptote.
(e) Le logarithme l’emporte toujours sur la puissance.
(f) La dérivée d’un DL est le DL de la dérivée.
2. Déterminer le DL à l’ordre 4, au voisinage de 0, des fonctions :
(a) f1 : x 7→
1−x2
1+x4
(b) f2 : x 7→
1−x4
1−x2
3. Déterminer par deux méthodes, le développement limité d’ordre 3, au voisinage de
0, de la fonction f : x 7→ tan(x).
4. Déterminer le DL à l’ordre 3, au voisinage de 0, des fonctions :
√
(a) f1 : x 7→ 1 + x sin(x)
(b) f2 : x 7→
(c) f3 : x 7→
sin(x)
√
1+x
√
1 + x cos(x)
5. Déterminer le DL à l’ordre 8, au voisinage de 0, de f : x 7→ tan(x), en remarquant
que f 0 = 1 + f 2 .
6. Calculer le DL à l’ordre 5, au voisinage de 0, de la fonction f définie par la formule
suivante :
π −cot(2x)
f (x) = tan x +
si x 6= 0
4
et prolonger par continuité.
7. Déterminer :
x−sin(x)
x3
1−cos(x)
limx→0 tan2 (x)
√
4+x−(2+ x )
limx→0 1−cos(2x)4
(a) limx→0
(b)
(c)
s
(d) limx→0
(e) limx→0
r
1
x
+
1
x
+
q
1
+
x
−
q
1
x
earcsin(x) −esin(x)
earctan(x) −etan(x)
8. Montrer qu’au voisinage de +∞ :
q
q
√
√
1
2
x + x + 1 − x + x2 − 1 ≈ √ 3
2 2x /2
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51
4. F ORMULE DE TAYLOR -D ÉVELOPPEMENTS LIMIT ÉS
9. Déterminer le DL d’ordre p, au voisinage de 0, de la fonction :
f : x 7→ (1 + x)n , n ∈ Q
en déduire la formule du binôme de Newton (1 + x)n où n ∈ N∗
10. Déterminer :
√
√2+x−2
x+7−3
√
limx→2 2x+5−3
x2 −4
√
3 cos(x)
limx→ π3 sin(x)−
2 cos(x)−1
(a) limx→2
(b)
(c)
(d) limx→ π2 (sin(x))tan(x)
arcsin(x)2 − π/16
2x2 −1
2
√ √
x− e
limx→e ln(x)−1
(e) limx→ √1
(f)
11. Déterminer le DL d’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction : f : x 7→
√
12. Donner une valeur approchée de 1.02 et estimer l’erreur.
1
13. Donner une valeur approchée de sin 100
et estimer l’erreur.
√
1 − x − x2
14. Déterminer le DL d’ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction : f : x 7→ arcsin(x).
En déduire limx→0 arcsin(x)
et la position de la courbe représentative de f par rapx
port à la première bissectrice.
15. Étudier la présence éventuelle d’asymptotes ou de directions asymptotiques pour
le graphe des fonctions suivantes quand x tend vers +∞ :
(a) f (x) =
1
(x3 +1) /2
1
(x5 +x4 −2x) 3
(b) f (x) = 1 +
1
x
(c) f (x) = x2 +
arctan(x)
1
1 /3
x
16. Montrer que la fonction ln(1 + ex ) est une fonction convexe (voir exercice 13 du
chapitre 2). En déduire que si n est un entier positif et ai , bi des réels positifs pour
i = 1, 2, . . . , n, on a :
v
v
v
u n
u n u n
uY
uY uY
n
n
n
t
(ai + bi ) ≥ t
ai t
bi
i=1
bar-hen.net
i=1
i=1
Chapitre 5
L’intégrale
1
Définition de
Rb
a
f (x)dx
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur l’intervalle [a, b] (a, b ∈ R, a < b).
Donnons nous, pour chaque entier positif n, un découpage de [a, b] en n intervalles ; un tel
découpage est obtenu en marquant n + 1 points : x0 = a < x1 < · · · < xn−1 < xn = b ;
on dit que σn = {x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn } est une subdivision de [a, b].
Le pas de cette subdivision est par définition le maximum des longueurs x1 − x0 , x2 −
x1 , . . . , xn − xn−1 ; le pas mesure la ”finesse” du découpage associé à la subdivision.
Notons δn le pas de la subdivision σn .
À chaque subdivision σn , on peut associer une somme :
Sn =
n−1
X
f (xk )(xk+1 − xk ) =
n−1
X
f (xk )∆xk
k=0
k=0
Interprétation géométrique : Sn représente une aire ; si f est positive sur [a, b], Sn est
la somme des aires des rectangles de base [xk , xk+1 ] sur l’axe Ox et de hauteur f (xk ).
Si f est de signe quelconque, il faut compter négativement l’aire des rectangles situés
dans le demi plan y ≤ 0.
Il est alors intuitif que si lorsque n augmente indéfiniment le pas δn du découpage σn
tend vers zéro, alors les sommes Sn tendent vers l’aire de la région Σf = {(x, y); a ≤
x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f (x) ou f (x) ≤ y ≤ 0}
Ces considérations rendent plausibles le théorème suivant que nous admettrons :
Théorème 5.1 Si limn→∞ δn = 0 alors Sn tend vers une limite finie indépendante de la
suite de subdivisions σRn utilisée. Cette limite est appelée l’intégrale de f sur l’intervalle
b
[a, b] et elle est notée a f (x)dx.
Exemple : Prenons f (x) = 1 ; alors Sn =
Rb
voit donc que a dx = (b − a)
Pn−1
53
k=0 (xk+1
− xk ) = xn − x0 = b − a. On
54
Premières propriétés
Rb
Ra
Conventions : on pose a f (x)dx = − b f (x)dx.
R c On convient aussi que l’intégrale
de f sur un intervalle réduit à un point est nulle : c f (x)dx = 0 pour tout c ∈ [a, b].
Extension : tout ce qui précède s’étend au cas d’une fonction f : [a, b] → R continue
sur [a, b] sauf sur un nombre fini de points où f admet une limite à droite et une limite à
gauche finies (discontinuité de première espèce).
2
Premières propriétés
Les trois propriétés suivantes se déduisent facilement de la définition de l’intégrale :
2.1
Linéarité de l’intégrale
Si f et g sont continues sur l’intervalle I, si a, b ∈ I et si λ ∈ R, on a :
Z b
Z b
Z b
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
a
et
b
Z
a
Z
λf (x)dx = λ
f (x)dx
a
2.2
b
a
Relation de Chasles
Si f : I → R est continue sur l’intervalle I et si a, b, c sont trois points quelconques de
I, on a :
Z
Z
Z
b
c
f (x)dx =
a
b
f (x)dx +
a
f (x)dx
(5.1)
c
2.3 Inégalités :
Soient f et g deux fonctions continues sur l’intervalle I = [a, b] (on suppose a ≤ b).
Alors :
Rb
Rb
• si f (x) ≤ g(x) sur [a, b], on a : a f (x)dx ≤ a g(x)dx
En particulier, l’intégrale sur [a, b] d’une fonction positive est positive.
• si f (x) reste compris entre les réels m et M sur I (m ≤ f (x) ≤ M ) alors : m(b − a) ≤
Rb
f (x)dx ≤ M (b − a).
a
Exercice :
déduire de l’une de ces propriétés l’inégalité :
Z b
Z b
≤
f
(x)dx
|f (x)|dx
a
a
où a ≤ b et f : [a, b] → R est supposée continue.
Cette inégalité permet par exemple de montrer le théorème suivant :
bar-hen.net
55
5. L’ INT ÉGRALE
Rx
Théorème 5.2 Si f est une fonction intégrable sur [a, b], la fonction F : x 7→ a f (t)dt
(a ≤ x ≤ b) est continue sur [a, b]
R
R
x
x
En effet 0 ≤ |F (x) − F (x0 )| = x0 f (t)dt ≤ x0 |f (xt)|dt ≤ (x − x0 )H où H est un
majorant de f (t) sur ]x0 , x[. On en déduit que si x − x0 → 0 alors f (x) − f (x0 ) → 0.
Exercice :
suivant :
déduire de la propriété 2.3 et du théorème des accroissements finis, le théorème
Théorème 5.3 Si f est une fonction intégrable sur [a, b], il existe un nombre c ∈]a, b[ tel
Rb
1
que f (c) = b−a
f (t)dt.
a
Définition 5.1 Soit f est une fonction intégrable sur [a, b], le nombre λ =
est appelé valeur moyenne de f sur [a, b].
1
b−a
Rb
a
f (t)dt
3 Primitives et intégrales
Le théorème suivant est fondamental :
Théorème 5.4 Soit f : I → R une fonction continue sur l’intervalleRI et a ∈ I. On
x
suppose que I n’est pas réduit à un point. Posons, pour x ∈ I : φ(x) = a f (t)dt ; alors
φ est dérivable sur I et φ0 (x) = f (x) sur I.
Démonstration : prenons x0 ∈ I et h > 0 tel que x0 + h ∈ I. On a, d’après la formule
de Chasles :
Z x0 +h
φ(x0 + h) − φ(x0 )
1
− f (x0 ) =
f (t)dt − f (x0 )
h
h
x0
si h est assez petit, on aura : f (x0 ) − ≤ f (t) ≤ f (x0 ) + pour tout t ∈ [x0 , x0 + h]
( > 0 donné), puisqu’on a supposé f continue. En intégrant sur [x0 , x0 + h] :
Z x0 +h
h(f (x0 ) − ) ≤
f (t)dt ≤ h(f (x0 ) + )
x0
et
1
− ≤
h
Z
x0 +h
f (t)dt − f (x0 ) ≤ x0
0)
ce qui prouve que φ(x0 +h)−φ(x
tend, lorsque h > 0 tend vers zéro, vers f (x0 ).
h
Une étude plus approfondie montre qu’en fait :
lim
h→0
h>0
Ce qui donne le théorème.
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φ(x0 + h) − φ(x0 )
= f (x0 )
h
56
Primitives et intégrales
Corollaire 5.1 Toute fonction continue f sur un intervalle I (non réduit à un point)
admet une infinité de primitives sur I ; ce sont les fonctions de la forme :
Z x
F (x) =
f (t)dt + C
a
où C est une constante réelle et a ∈ I fixé.
Cet énoncé découle du théorème 5.4 et du corollaire 2.1.
Un autre corollaire est la formule de base du calcul des intégrales :
Corollaire 5.2 Si f : I → R est continue sur l’intervalle I, si a, b ∈ I et si F est
primitive de f sur I, on a :
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a) = [F (x)]ba
a
Exemples :
1. pour α ∈ R et α 6= −1, 0 < a ≤ b :
Z b
bα+1 − aα+1
α
x dx =
α+1
a
R 1 dx
2. 0 1+x2 = [arctan(x)]10 = π4
π
R 1/ dx
1
3. 0 2 √1−x
= 6
2 = arcsin 2
3.1
Intégrales indéfinies
R
Soit f une fonction continue sur l’intervalle I de R : f (x)dx désigne n’importe laquelle
des primitives deR f sur I, exprimée comme fonction de x. C’est une notation commode
mais
ambiguë : f (x)dx n’est définie qu’à une constante près. On convient de dire que
R
f (x)dx est une intégrale indéfinie.
Exemples :
R dx
1. √1−x
2 = arcsin(x) + C sur ] − 1, +1[
R u0 (x)
dx = ln |u(x)| + C sur I (pour u : I → R dérivable à dérivée continue sur
2.
u(x)
I, u ne s’annulant pas sur I)
R dx
sur I, en supposant que le trinôme x2 + bx + c admet deux
3. Calcul de
x2 +bx+c
racines réelles distinctes α et β (c’est-à-dire b2 − 4ac > 0), I ne contenant ni α ni
β. On a :
1
1
1
1
1
=
=
−
x2 + bx + c
(x − α)(x − β)
(α − β) (x − α) (x − β)
d’où :
Z
x − α
dx
1
+C
=
ln x2 + bx + c
(α − β) x − β sur I
bar-hen.net
57
5. L’ INT ÉGRALE
Exercice :
4
Calculer
R
cos2 (x)dx,
R
cos3 (x)dx (sur R)
La formule d’intégration par parties
Théorème 5.5 Soient f et g deux fonctions admettant chacune une dérivée continue sur
l’intervalle I de R. Alors :
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)dx sur I
(5.2)
et si a et b sont deux points de I :
Z b
Z b
b
0
f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)]a −
f 0 (x)g(x)dx
a
sur I
(5.3)
a
En effet, f (x)g(x)
est, sur I, une primitive de f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x), par conséquent,
R
f (x)g(x) − f (x)g 0 (x)dx est la primitive générale de f 0 (x)g(x) sur I. Ce qui explique
la formule 5.2.
Pour la formule 5.3, on écrit :
Z b
Z b
Z b
0
0
f (x)g (x)dx +
f (x)g(x)dx =
(f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x))dx
a
a
a
Z b
=
[f (x)g(x)]0 dx
a
= [f (x)g(x)]ba
Exemples :
R
R
1. ln(x)dx = x ln(x) − dx = x ln(x) − x + C, sur ]0, +∞[. (On a posé f (x) =
ln(x) et g(x) = x).
R
2. la même méthode fournit arcsin(x)dx (sur ] − 1, +1[) :
Z
Z
√
x
arcsin(x)dx = x arcsin(x) − √
dx = x arcsin(x) + 1 − x2 + C
1 − x2
R
3. Exercice : calculer de même : arctan(x)dx
R
4. primitive d’une fonction polynôme exponentielle : par exemple x2 ex dx :
Z
Z
Z
2 x
2
x 0
2 x
x e dx = x (e ) dx = x e − 2 xex dx
en intégrant par parties on a :
Z
Z
Z
x
x 0
x
xe dx = x (e ) dx = xe − ex dx = xex − ex + C
soit finalement :
Z
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x2 ex dx = (x2 − 2x + 2)ex + C
(sur R)
58
La formule du changement de variable
R
R
R
5. Exercice : calculer x2 e2x dx, x3 e2x dx, x cos(x)dx
R
6. Exercice : calculer ex cos(x)dx à l’aide de deux intégrations par parties.
5
La formule du changement de variable
Soient f une fonction réelle continue sur l’intervalle I, F une primitive de f sur I, et
φ : J → I une fonction admettant une dérivée continue sur l’intervalle J, à valeurs dans
I. On a alors la formule suivante :
Théorème 5.6 (formule du changement de variable dans les intégrales indéfinies) Si
on pose x = φ(t),
Z
Z
f (φ(t))φ0 (t)dt
f (x)dx =
Cette formule signifie qu’on passe du membre de gauche (primitive quelconque F (x)
de f (x) sur I) au membre de droite (primitive quelconque de f (φ(t))φ0 (t) sur J) en
remplaçant x par φ(t).
La preuve est immédiate : ddt F (φ(t)) = F 0 (φ(t))φ0 (t) = f (φ(t))φ0 (t) sur J. Ce qui
montre que F (φ(t)) est une primitive deR f (φ(t))φ0 (t) sur J.
En pratique, on part, par exemple de f (x)dx, on ”pose” x = φ(t) et on remplace
l’intégrale définie x par φ(t), et dx par φ0 (t)dt. On écrit :
x = φ(t)
dx = φ0 (t)dt
,
on retrouve la deuxième formule en dérivant par rapport à t les deux membres de la
relation x = φ(t) : on obtient ddxt = φ0 (t), d’où en multipliant par dt : dx = φ0 (t)dt.
On dit que dx = φ0 (t)dt est la relation qui relie dx et dt (qui sont les accroissements
infinitésimaux de x et t) si x et t sont liées par la relation x = φ(t).
Il importe de remarquer qu’on trouve la même relation entre dx et dt si on part de la
formule t = ψ(x) où ψ est la fonction réciproque de φ (en supposant qu’elle existe et que
φ0 ne s’annule pas) ; on obtient en effet :
dt
1
1
= ψ 0 (x) = 0
= 0
dx
φ (ψ(x))
φ (t)
φ0 (t)dt = dx
d’où
R dx
sur R, lorsque le trinôme x2 + bx + c n’a pas de
Exemple : calcul de I = x2 +bx+c
2
racines réelles, et b, c ∈ R (donc b − 4ac < 0).
On met le trinôme sous la forme canonique :
2 2 2
b
b
b
2
x + bx + c = x +
+ c−
= x+
+ β2
2
4
2
q
2
où β = c − b4 . D’où :
I=
x+
dx
b 2
2
+ β2
dx
=
β2
x+ b/2
β
2
+1
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59
5. L’ INT ÉGRALE
on fait le changement de variable X =
Z
I=
x+ b/2
,
β
d’où dx = βdX et :
1 dX
1
1
= arctan(X) + C = arctan
2
β1+X
β
β
x + b/2
β
+C
Pour les intégrales définies, on a la formule suivante :
Théorème 5.7 Soient f : I → R une fonction continues sur l’intervalle I ⊂ R, et
φ : [α, β] → I une fonction admettant une dérivée continue sur l’intervalle [α, β]. On a
alors :
Z
Z
φ(β)
β
f (φ(t))φ0 (t)dt
f (x)dx =
φ(α)
α
R φ(u)
Démonstration : posons pour
u
∈
[α,
β],
G(u)
=
f (x)dx, c’est-à-dire G(u) =
a
Rx
F (φ(u)), si on note F (x) = a f (t)dt, (x ∈ I).
Comme F 0 (x) = f (x), on a G0 (u) = f (φ(u))φ0 (u), et par conséquent :
Z
β
0
f (φ(u))φ (u)du =
[F (φ(u))]u=β
u=α
Z
= (F (φ(β)) − F (φ(α))) = (F (b) − F (a)) =
α
b
f (x)dx
a
Remarques :
1. il n’est pas nécessaire que φ envoie [α, β] sur [a, b] = [φ(α), φ(β)] (ou [b, a] si
φ(α) > φ(β)) mais il est essentiel que f soit définie, continue sur un ensemble
contenant toutes les valeurs de φ.
Rb
2. En pratique, on transformera a f (x)dx en posant x = φ(t), dx = φ0 (t)dt mais il
ne faut pas oublier de changer aussi les bornes d’intégrations, en remplaçant a, b
par α, β.
Exemples :
R 1 dx
1. calcul de I = 0 (1+x
2 )2 . Posons x = tan(θ), 0 ≤ θ ≤
D’où dθ = dx et :
π
4
(donc θ = arctan(x)).
1+x2
Z
I=
0
π
4
dθ
=
(1 + tan2 (θ))
Z
π
4
π
4
cos (θ)dθ =
0
et finalement :
Z
2
sin(2θ) θ
I=
+
4
2
0
π4
=
0
1 + cos(2θ)
dθ
2
π 1
+
8 4
2. changement de variable t = tan( θ/2).
Ce changement de variable est souvent utilisée dans le calcul des intégrales dont
l’intégrant est une fonction de sin(θ) et cos(θ), θ désignant la variable d’intégration.
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60
La formule du changement de variable
Supposons, par exemple 0 < θ <π et posons t = tan( θ/2) où θ = 2 arctan(t).
On
a alors : sin(θ) = 2 sin 2θ cos 2θ = 2t cos2 2θ et comme 1+tan2 2θ = cos21 θ ,
(2)
on obtient :
2t
sin(θ) =
(5.4)
1 + t2
De même :
2
1 − t2
θ
2
cos(θ) = 2 cos
−1=
−
1
=
2
1 + t2
1 + t2
c’est-à-dire :
1 − t2
cos(θ) =
1 + t2
(5.5)
Enfin puisque θ = 2 arctan(t)
dθ =
2
dt
1 + t2
(5.6)
On utilise les formules 5.4, 5.5, 5.6 pour effectuer le changement de variable. En
voici deux exemples :
R dθ
(a) I =
, 0 < θ < π ; on obtient :
sin(θ)
Z
I=
1 + t2 2dt
=
2t 1 + t2
Z
dt
= ln |t| + C
t
et finalement :
Z
(b) calcul de A =
Rπ
2
0
dθ
= ln(tan( θ/2)) + C
sin(θ)
dθ .
5+3 cos(θ)
sur ]0, π[
On trouve :
Z 1
Z
1 + t2
2dt
2dt
1 1
dt
A =
=
=
2
2
2
2
4 0 1+ t 2
0 5(1 + t ) + 3(1 − t ) 1 + t
0 8 + 2t
2
1
1
t
1
1
=
arctan
= arctan
2
2 0 2
2
Z
1
√
3. lorsqu’apparaı̂t dans l’expression à intégrer 1 − x2 (x : variable d’intégration),
on peut
R 1 √essayer le changement de variable x = sin(θ). Calculons par exemple
I = 0 1 − x2 dx :
En posant x = sin(θ), 0 ≤ θ ≤ π2 , on obtient :
Z
1 =
π
2
Z
q
2
1 − sin (θ) cos(θ)dθ =
0
0
π
2
2
Z
cos (θ)dθ =
0
π
2
1 + cos(2θ)
dθ
2
π
1
1 π
π
=
[sin(2θ)]02 + [θ]02 =
4
2
4
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61
5. L’ INT ÉGRALE
6 Quelques applications de l’intégrale
6.1
Calcul d’aires
À titre d’exemple, on va calculer l’aire A d’un disque plan DR de rayon R, dont le centre
est à l’origine des axes : DR = {(x, y); x2 + y 2 ≤ R}.
√
RR √
En notant que x2 + y 2 ≤ R ⇐⇒ |y| ≤ R2 − x2 , on voit que A = 2 −R R2 − x2 dx.
On calcule alors A à l’aide du changement de variable x = R sin(θ), − π2 ≤ θ ≤ π2 et on
√
trouve R2 − x2 = R cos(θ), dx = R cos(θ)dθ et :
Z π
Z π
2
2 1 + cos(2θ)
2
2
2
A = 2R
cos (θ)dθ = 2R
dθ
2
− π2
− π2
= πR2
2
Exercice : calculer plus généralement l’aire de l’ellipse : D = {(x, y); xa +
(a, b étant deux nombres positifs donnés).
6.2
y2
b
≤ 1}
Longueur d’un arc de courbe
On se donne deux fonctions X, Y : I → R admettant des dérivées continues sur l’intervalle I.
Notant Mt = (X(t), Y (t)), le point du plan Oxy, de coordonnées X(t) et Y (t), on
obtient un point mobile qui, lorsque t varie de a à b (a, b ∈ I, a < b) parcourt un arc de
courbe γab dont on veut exprimer la longueur |γab |. La formule est la suivante :
Z bp
b
X 0 (t)2 + Y 0 (t)2 dt
|γa | =
a
p
Remarques : si on interprète t comme le temps, X 0 (t)2 + Y 0 (t)2 est la longueur
R b −−→
−−→
−−→
|V (t)| de la vitesse V (t) du point Mt à l’instant t, et la formule est |γab | = a V (t)dt.
Lorsque t effectue une petite variation dt, Mt parcourt un élément de courbe de longueur :
−−→
dl = |V (t)|dt. La longueur |γab | est la somme des longueurs dli correspondant à une suite
de petites variations dti = ti+1 − ti , conduisant de t0 = a à tn = b :
Z b
n
X
b
|V (t)|dt
|γa | ≈
|V (ti )|dti ≈
a
i=0
ce qui explique la formule.
Exemple : arc de cercle.
X=R cos(θ)
Y =R sin(θ)
où θ0 ≤ θ ≤ θ1
Rθ
On obtient facilement l = θ01 Rdθ = R(θ1 − θ0 ).
Le cercle entier est de longueur l = 2πR
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62
Extension de la notion d’intégrale définie
6.3 Centre de gravité d’une tige rectiligne
−→
on considère une tige rectiligne T assimilée à un intervalle [a, b] sur un axe Ox. On
suppose que T admet une densité de masse ρ, continue sur [a, b] : cela signifie que ρ est
une fonction continue positive sur [a, b] et que si x est un point de [a, b], I un intervalle
contenant x, de longueur ∆x, la masse de la portion de la tige contenue dans I est :
m(I) = ρ(x)∆(x)
à un infiniment petit d’ordre supérieur à 1 en ∆(x), près.
On montre alors qu’on peut exprimer à l’aide de ρ la masse totale M de (T ) et l’abscisse
xG de son centre de gravité par les formules :
Z b
M =
ρ(x)dx
a
Rb
xρ(x)dx
xG = Ra b
ρ(x)dx
a
7 Extension de la notion d’intégrale définie
En premier lieu, on envisagera le cas où l’intervalle d’intégration est non borné :
Définition 5.2 • Soit
une fonction f intégrable sur tout segment [a, Rx], avec x > a. On
R +∞
x
dit que l’intégrale a f (t)dt converge ou a un sens si l’intégrale a f (t)dt tend vers
R +∞
une limite finie I lorsque x tend vers +∞ et on écrit : a f (t)dt = I. Dans le cas
R +∞
contraire on dit que l’intégrale a f (t)dt diverge.
• Soit une fonction g intégrable sur tout segment [x, b], avec x < b. On dit, de même,
Rb
Rb
que l’intégrale −∞ g(t)dt converge si l’intégrale y g(t)dt tend vers une limite finie J
Rb
lorsque y tend vers −∞ et on écrit : −∞ f (t)dt = J.
Exemples :
R +∞
• Étude de 1 dt5t
La fonction t 7→ t15 est continue, donc intégrable, sur tout segment [1, x], avec x > 1.
On a :
x
Z x
dt
1
1
1
=
−
=
−
+
5
4t4 1
4x4 4
1 t
R x dt
−→ 14 lorsque x −→ +∞. L’intégrale proposée converge et on a :
1 t5
Z
1
• Étude de
+∞
dt
1
=
5
t
4
R +∞ dt
√
1
t
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63
5. L’ INT ÉGRALE
La fonction t 7→
On a :
1
√
t
est continue, donc intégrable, sur tout segment [1, x], avec x > 1.
Z x
h √ ix
√
dt
√ = 2 t =2 x−2
1
t
1
R x dt
√ −→ +∞ lorsque x −→ +∞. L’intégrale proposée diverge
1
t
Définition
5.3 Soit une fonction f intégrable sur tout segment.
R +∞
R +∞On dit que Rl’intégrale
a
f
(t)dt
converge
ou
a
un
sens
si
chacune
des
intégrales
f (t)dt et −∞ f (t)dt
−∞
a
converge, le réel a étant choisi arbitrairement. On pose alors :
Z +∞
Z a
Z +∞
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt
−∞
−∞
a
Dans tous les cas contraire, on dit que l’intégrale
R +∞
f (t)dt diverge.
−∞
Pour que cette définition ait un sens, il faut évidemment démontrer que le choix de a n’a
pas d’importance. Soit b 6= a. On a, d’après la relation de Chasles (équation 5.1) :
Z x
Z a
Z x
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt
b
b
a
R +∞
R +∞
Il est alors clair que les deux intégrales b f (t)dt et a f (t)dt convergent ou divergent ensemble ; le choix de a n’a donc pas d’importance. De plus si il y a convergence :
Z
Z
Z
+∞
a
f (t)dt =
b
+∞
f (t)dt +
f (t)dt
b
On a de même :
Z
b
a
a
Z
f (t)dt =
y
et, si il y a convergence :
Z
Z
y
b
Z
f (t)dt
a
a
f (t)dt =
−∞
b
f (t)dt +
Z
f (t)dt +
−∞
b
f (t)dt
a
On en déduit, toujours dans l’hypothèse de convergence :
Z b
Z +∞
Z a
Z +∞
Z b
Z a
f (t)dt +
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt +
f (t)dt +
f (t)dt
−∞
b
−∞
a
a
b
Z a
Z +∞
f (t)dt +
f (t)dt
=
−∞
car
Rb
a
f (t)dt = −
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Ra
b
f (t)dt.
a
64
Extension de la notion d’intégrale définie
Exemples :
R +∞ dt
• Étude de −∞ 1+t
2
1
La fonction t 7→ 1+t
2 est continue, donc intégrable, sur tout segment. On a :
Z
+∞
Z0
0
−∞
dt
=
1 + t2
dt
=
1 + t2
et donc :
Z
x
lim
x→+∞
Z0 0
lim
y→−∞
Z
y
+∞
−∞
dt
π
= lim [arctan(t)]x0 =
2
x→+∞
1+t
2
dt
π
= lim [arctan(t)]0y =
2
y→−∞
1+t
2
dt
=π
1 + t2
R +∞
• Étude de −∞ tdt
La fonction identité est continue, donc intégrable, sur tout segment. On a :
2 x
Z +∞
Z x
t
tdt = lim
tdt = lim
= +∞
x→+∞ 0
x→+∞ 2
0
0
L’intégrale proposée diverge. Il n’est pas nécessaire de considérer
ailleurs, diverge également
R0
−∞
tdt qui, par
On considère maintenant le cas où la fonction à intégrer devient infinie pour l’une des
bornes d’intégration.
Définition 5.4 • Soit une fonction f intégrable sur tout segment [a, x], avec a < x < b
Rb
et telle que f (t) → ∞ Rlorsque t → b− . On dit que l’intégrale a f (t)dt converge ou
x
a un sens si l’intégrale a f (t)dt tend vers une limite finie I lorsque x tend vers b par
Rb
valeurs inférieures et on écrit : a f (t)dt = I. Dans le cas contraire on dit que l’intégrale
Rb
f (t)dt diverge.
a
• Soit une fonction g intégrable sur tout segment [y, b], avec a < y < b et telle que
Rb
g(t) → ∞ lorsque t → a+ . On dit, de même, que l’intégrale a g(t)dt converge si
Rb
l’intégrale y g(t)dt tend vers une limite finie J lorsque y tend vers a à droite et on
Rb
écrit : a f (t)dt = J.
Exemples :
R 4 dt
• Étude de 0 √
t
La fonction t 7→
x < 4. On a :
1
√
t
est continue, donc intégrable, sur tout segment [x, 4], avec 0 <
Z 4
h √ i4
√
dt
√ = 2 t =4−2 x
x
t
x
Z 4
dt
√ =4
lim+
x→0
t
x
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65
5. L’ INT ÉGRALE
L’intégrale proposée converge et on a :
Z 4
dt
√ =4
t
0
R0
• Étude de −1 dt4t
La fonction t 7→
x < 0. On a :
1
t4
est continue, donc intégrable, sur tout segment [−1, x], avec −1 <
x
Z x
dt
1
1
1
=− 3 −
= − 3
4
3t −1
3x
3
−1 t
Z x
dt
lim−
= +∞
4
x→0
−1 t
L’intégrale proposée diverge.
Définition 5.5 Soit une fonction f intégrable sur tout segment [x, y] avec a < x < y < b
et telle que f (t) tend vers l’infini lorsque t tend vers a à droite et lorsque t tend vers b à
Rb
gauche. On dit que l’intégrale a f (t)dt converge ou a un sens si chacune des intégrales
Rc
Rb
f
(t)dt
et
f (t)dt converge, le réel c étant choisi arbitrairement. On pose alors :
a
c
b
Z
c
Z
f (t)dt =
a
Z
a
√
La fonction t →
7
1
t(1−t)
0 < x < y < 1.
On remarque que : √
Z
1/
2
p
0
Z
dt
1
1/
2
1
t(1−t)
Z
=
R1
0
f (t)dt
c
Dans tous les cas contraire, on dit que l’intégrale
Exemple : calculer, si possible,
Rb
a
f (t)dt diverge.
√ dt
t(1−t)
est continue, donc intégrable, sur tout segment [x, y], avec
=
√1
t−t2
1/
2
t(1 − t)
0
Z 1
dt
p
=
1/
t(1 − t)
2
=
1
q
1
−
4
2
(t− 12 )
=√
2
.
1−(2t−1)2
π
1
= lim+ [arcsin(2t − 1)]0/2 = − −
2
1 − (2t − 1)2 x→0
2dt
π
p
= lim− [arcsin(2t − 1)]11/2 =
2
1 − (2t − 1)2 y→1
dt
p
L’intégrale proposée converge et on a :
Z 1
dt
p
=π
t(1 − t)
0
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b
f (t)dt +
66
Exercices
8 Exercices
1. Vrai ou Faux ?
(a) une fonction linéaire admet une primitive linéaire
Rb
Rb
(b) a f 0 (x)g(x)dx = a f (x)g 0 (x)dx
(c) si g est une fonction de primitive connue, on connaı̂t une primitive de g 2 (x)
(d) si g est une fonction de primitive connue, on connaı̂t une primitive de g(ax +
b)
(e) la valeur moyenne de f sur [a, b] est le nombre :
Z
b
f 0 (x)dx
a
Rπ
Rπ
2. on pose I = 02 cos2 dx et J = 02 sin2 dx calculer I et J par l’intermédiaire de
I + J et I − J.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction f : t 7→ cos2 (t) sur [0, π]. (Ce calcul
permet d’obtenir l’intensité efficace d’un courant alternatif).
4. Calculer les intégrales de Wallis :
Z
π
2
In =
cosn dx
0
Z
Jn =
π
2
sinn dx
0
où n ∈ N
5. calculer les intégrales :
√
R √32 xdx
(a) 0 9−4x4
R 1 dx
(b) 0 √x4−x
2
R 1 xdx
(c) 0 √4−x4
R −1
dx
(d) − 4/3 9x2 +18x+10
R 2 dx
(e) 1 x2 +2x+1
R −1 dx
(f) 0 x2 +2x+2
Rπ
θ
(g) 0 5+3dcos(θ)
R π
dθ
(h) 012 1+sin(6θ)
Ra √
(i) −a a2 − x2 dx
R1√
(j) 0 8 − 2x2 dx
bar-hen.net
67
5. L’ INT ÉGRALE
(k)
Rπ
2
cos5 xdx
0
R0
dx
−1 4x2 +4x+2
(l)
6. soit, dans un repère orthonormé, l’ellipse d’équation :
x2 y 2
+
=1
a
b
7.
8.
9.
10.
(a) calculer l’aire limitée par l’ellipse ;
(b) calculer le volume de l’ellipsoı̈de de révolution obtenu par rotation de l’ellipse autour de l’axe x0 Ox
(c) application au cas où a = b
Calculer le volume du cône de révolution de hauteur H et de rayon de base R.
S’il s’agit d’un solide homogène, déterminer son centre de masse et son moment
d’inertie par rapport à l’axe de révolution.
On considère un récipient de forme cylindrique et dont l’axe de révolution est horizontal. On le remplit à moitié d’un liquide de masse spécifique ρ. Calculer la force
qui s’exerce sur l’une des faces planes du cylindre.
Trouver tous les polynômes P (t) du second degré en t, à coefficients réels, tels
que, quel que soit un polynôme Q(t) à coefficients réels et de degré strictement
R2
dt = 0
inférieur à 2, on ait : −1 Q(t)P (t) 1+t
2
Soient r et s des réels positifs ou nuls. On pose :
Z 1
I(r, s) =
tr (1 − t)s dt
0
(a) calculer I(r, 0)
(b) quel résultat obtient-on par le changement de variable x = 1 − t ?
(c) par intégration par parties, obtenir une relation entre I(r, s + 1) et I(r + 1, s).
(d) calculer I(p, q) lorsque p et q sont deux entiers positifs ou nuls.
11. En utilisant la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles, calculer :
R 1 x4 +x2
(a) −1 x6 +2x
4 +x2 dx
R2
x3 +x
(b) −1 x6 +2x
4 +x2 dx
R +∞ x5 +x4 +5x3 +8x2 +16
(c) 2
dx
x7 +8x5 +16x3
R +∞ dx
(d) 0 x2 +2x+2
R +∞ x2 dx
(e) π2 −∞ (1+x
2 )2
12. calculer, en négligeant la résistance de l’air, la vitesse qu’il faut communiquer à un
projectile lancé verticalement pour qu’il ”échappe” à l’attraction terrestre. On rappelle qu’un projectile de masse m est, à la distance r du ”centre” de la terre soumis
et que, pour r ≈ 6350km, l’accélération de la pesanteur est
à l’attraction F = km
r2
−2
g ≈ 9.8m.sec .
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68
Exercices
13. On considère la suite de terme général Jn =
ou nul.
R1
0
n
√x
dx
1−x2
où n est un entier positif
(a) calculer J0 et J1
(b) montrer que Jn =
R π/2
0
cosn (t)dt
(c) établir une relation de récurrence entre Jn et Jn−2
(d) calculer Jn (n ≥ 2)
(e) montrer que la suite Jn est convergente, puis déterminer sa limite à partir du
produit Jn Jn−1
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Chapitre 6
Fonction de plusieurs variables
1
Introduction
Définition 6.1 On appelle fonction numérique de n variables réelles une application f
d’une partie D de Rn dans R. On dit que f est définie sur le domaine D.
On note :
f:
D
→ R
(x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , x2 , . . . , xn )
ou plus simplement f : (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , x2 , . . . , xn ) s’il n’y a pas d’ambiguı̈té
sur D.
On note également :
D → R
f:
H 7→ f (H)
où H = (x1 , x2 , . . . , xn ) est un ”point” de Rn appartenant à D.
Exemple 6.1
• la fonction f : (x, y) 7→ ax2 + bxy + cy 2 où a, b et c sont des réels donnés, est une
2
fonction numérique de deux
pvariables réelles, définie sur R .
• la fonction f : (x, y) 7→ R2 − (x2 + y 2 ) est une fonction numérique de deux variables réelles définie pour tout couple (x, y) tel que (x2 + y 2 ) ≤ R2 , R étant un réel
positif donné.
2
2
est une fonction numérique de deux variables réelles
• la fonction f : (x, y) 7→ xx2 −y
+y 2
2
définie sur D = R \ {(0, 0)}.
√
2 y−2
• la fonction f : (x, y) 7→ x z−3
est une fonction numérique de trois variables réelles
définie pour tout triplet (x, y, z) tel que : y ≥ 2, z 6= 3.
1.1
Représentation graphique
Dans le cas particulier d’une fonction de deux variables, on peut utiliser des représentations
géométriques.
69
70
Introduction
Si on choisit, par exemple, un trièdre orthonormé direct, un couple (x, y) de D est
représenté par un point H du plan xOy, auquel on peut associer les M (x, y, f (x, y)).
Si D est représenté par une surface plane, alors l’ensemble des points M (x, y, f (x, y))
constitue également une surface.
p
Exemple 6.2 Soit f : (x, y) 7→ R2 − (x2 + y 2 ). Le domaine de définition D défini par
(x2 + y 2 ) ≤ R2 est représenté par l’ensemble des points du disque circulaire de centre
O et p
de rayon R.
z = R2 − (x2 + y 2 ) ⇔ (x2 +y 2 +z 2 = R2 et z ≥ 0). L’ensemble des points M (x, y, z)
forme une demi-sphère de centre O et de rayon R.
Dans le cas particulier d’une fonction de trois variables, il est encore possible de représenter
le domaine de définition D par un ensemble de points de l’espace réel.
Pour une fonction de n variables, avec n > 3, on ne peut évidemment plus donner de
représentation globale.
1.2
Limite
La notion de limite d’une fonction de plusieurs variables s’introduit comme pour les
fonctions d’une variable. On a, par exemple, pour une fonction de deux variables (la
généralisation est aisée) :
Définition 6.2 On dit que f (x, y) = f (H) tend vers une limite L lorsque (x, y) tend
(x0 , y0 ) ou lorsque H(x, y) tend H(x0 , y0 ), si :
∃ > 0, ∃α > 0 tel que (|x − x0 | < α et |y − y0 | < α avec (x, y) 6= (x0 , y0 )) ⇒ |f (H)−L| < On écrit :
lim f (H) =
H→H0
lim
f (x, y) = L
(x,y)→(x0 ,y0 )
On notera :
• que la définition implique que la fonction f est définie sur un pavé ouvert entourant
H0 (un voisinage de H0 ).
• que la définition entraı̂ne l’unicité de la limite ; lorsqu’elle existe ;
• qu’on peut écrire un définition équivalente :
∃ > 0, ∃β > 0 tel que ||HH0 || < β avec H 6= H0 ⇒ |f (H) − L| < • que les théorèmes, concernant la somme, le produit, et le quotient de deux fonctions
admettant une limite lorsque H tend vers H0 , s’énoncent et s’établissent comme dans
le cas des fonctions d’une variable ;
• qu’il est aisé de définir une limite infinie ainsi qu’une limite de f (H) quand H s’éloigne
indéfiniment.
1
Exemple 6.3 Soit f : (x, y) 7→ (x + y) sin x2 +y
2
f n’est pas définie en (0, 0) mais on a lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0. En effet (x + y) → 0 et
1
sin x2 +y
2 demeure borné.
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71
6. F ONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
2
√
y−2
Exemple 6.4 Soit f : (x, y) 7→ x z−3
.
On considère H0 (1, 3, 3) où f n’est pas définie. On a :
lim f (H) = +∞
si
z →z+0
lim f (H) = −∞
si
z →z−0
H→H0
H→H0
Il convient de préciser si H tend vers H0 avec une côte supérieure ou une côte inférieure.
1.3
Continuité
La notion de continuité découle naturellement de la notion de limite. On aura en particulier pour une fonction de deux variables :
Définition 6.3 On dit qu’une fonction f : (x, y) 7→ f (x, y) est continue au point (x0 , y0 )
si :
lim
f (x, y) = f (x0 , y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
Une fonction continue en tout point d’un domaine est dite continue sur ce domaine.
Théorème 6.1 Si f et g sont deux fonctions continues au point M0 , il en est de même
pour des fonctions f + g, αf (α ∈ R), f × g et si g(M0 ) 6= 0, f/g.
Il s’agit là d’une conséquence des théorèmes sur les limites.
Exemple 6.5 Soit la fonction f : (x, y) 7→ 3x − y + 1.
Cette fonction est définie sur R2 . Elle est continue sur R2 , ce que l’on peut démontrer en
s’appuyant sur la définition de la continuité. Quel que soit (x0 , y0 ), on a :
∀ > 0, ∃α = > 0 tel que : (|x − x0 | < α, |y − y0 | < α et (x, y) 6= (x0 , y0 )) ⇒ |f (x, y)−f (x0 , y0 )| < 4
En effet |x − x0 | < 4 ⇒ 3|x − x0 | < 34
Or |f (x, y) − f (x0 , y0 )| = |3(x − x0 ) − (y − y0 )| ≤ 3|x − x0 | + |y − y0 |.
Donc |x − x0 | < 4 et |y − y0 | < 4 ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < 2 Fonctions composées
On peut envisager plusieurs types de composition
2.1
Fonction de fonction
Soit u une fonction de variables x1 , x2 , . . . , xn . Soit f une fonction d’une variable. On
peut définir la fonction :
φ : (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (u(x1 , x2 , . . . , xn ))
sous réserve, bien entendu, que u(x1 , x2 , . . . , xn ) appartienne au domaine de définition
de f .
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72
Fonctions composées
p
Exemple 6.6 La fonction φ : (x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2 est obtenue
√ par composition
de la fonction u : (x, y, z) 7→ x2 + y 2 + z 2 par la fonction f : u 7→ u.
Théorème 6.2 Si u est une fonction, de deux variables, continue au point (x0 , y0 ) et si
f est une fonction, d’une variable, continue au point (x0 , y0 ), la fonction φ : (x, y) 7→
f (u(x, y)) est continue au point (x0 , y0 ).
On généralise aisément au cas où u est une fonction de n variables.
En effet puisque f est continue au point u0 = u(x0 , y0 ), on peut trouver β > 0 tel que :
|u − u0 | < β ⇒ |f (u) − f (u0 )| < Mais u est continue au point (x0 , y0 ) ; il est donc possible de choisir α > 0 tel que :
(|x − x0 | < α et |y − y0 | < α) ⇒ |u(x, y)−u(x0 , y0 )| < β. Donc il est possible d choisir
α > 0 tel que :
(|x − x0 | < α et |y − y0 | < α) ⇒ |u(x, y)−u(x0 , y0 )| < β ⇒ |f (u(x, y))−f (u(x0 , y0 ))| < Exemple 6.7 La fonction φ : (x, y, z) 7→
2.2
p
x2 + y 2 + z 2 est continue dans R3
Fonction composée
Soit φ : (u, v, w) 7→ φ(u, v, w) une fonction de 3 variables. Soient f : x 7→ u = f (x),
g : x 7→ v = g(x), h : x 7→ h(x), trois fonctions d’une variable. On peut donc définit la
fonction :
F : x 7→ φ(f (x), g(x), h(x))
sous réserve que le point (f (x), g(x), h(x)) appartienne au domaine de définition de φ.
Une telle fonction est dite fonction composée de f , g et h par φ. On notera que F est
fonction d’une variable. On généralise aisément au cas où F est fonction de n variables.
Exemple 6.8 La fonction
2
cos2 x × ex
F :7→
x2
est une fonction composée. Elle est obtenue en composant les fonctions : x 7→ u = cos2 x,
2
x 7→ v = ex , x 7→ w = x2 par la fonction (u, v, w) 7→ uv
w
Théorème 6.3 Si f , g et h sont des fonctions, d’une variable, continues en x0 et si φ est
une fonction, de trois variables, continue au point u0 = f (x0 ), v0 = g(x0 ), w0 = h(x0 ),
la fonction F : x 7→ φ(f (x), g(x), h(x)) est continues en x0 .
On généralise aisément au cas où φ est une fonction de n variables.
Ce théorème se démontre aisément, en utilisant le même schéma que pour la démonstration
du théorème 6.2.
Exemple 6.9 La fonction
cos2 x × ex
F :7→
x2
2
est continue sur R∗ .
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73
6. F ONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
2.3 Autre cas
Soient les fonctions u : (x, y) 7→ u(x, y), v : (x, y) 7→ v(x, y), w : (x, y) 7→ w(x, y) et
soit la fonction f : (u, v, w) 7→ f (u, v, w). On peut alors définir la fonction :
F : (x, y) 7→ f (u(x, y), v(x, y), w(x, y))
sous réserve que le point (u(x, y), v(x, y), w(x, y)) appartienne au domaine de définition
de f .
On généralise aisément à la composition de n fonctions de p variables par une fonction
de n variables.
Exemple 6.10 La fonction
F 7→
x2 − y 2
x2 + y 2
est obtenue en composant les fonctions u(x, y) 7→ u = x2 − y 2 et (x, y) 7→ v = x2 + y 2
par la fonction (u, v) 7→ uv
Théorème 6.4 Si les fonctions, de deux variables, u, v et w sont continues au point
(x0 , y0 ) et si la fonction de trois variables, est continue au point (u(x0 , y0 ), v(x0 , y0 ), w(x0 , y0 )),
la fonction
F : (x, y) 7→ f (u(x, y), v(x, y), w(x, y))
est continue au point (x0 , y0 ).
Ce théorème se démontre aisément, en utilisant le même schéma que pour la démonstration
du théorème 6.2.
Exemple 6.11 La fonction
x2 + y 2
F →
7
x2 − y 2
est continue sur R2 \ {(0, 0)}
3 Dérivées partielles
Définition 6.4 Soit la fonction de deux variables f : (x, y) 7→ f (x, y).
On appelle dérivée partielle de f , par rapport à la variable x et au point (x0 , y0 ), le
nombre s’il existe :
fx0 (x0 , y0 ) =
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
h→0
∂x
h
On appelle de même dérivée de f , par rapport à la variable y et au point (x0 , y0 ), le
nombre s’il existe :
fy0 (x0 , y0 ) =
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∂f
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
k→0
∂y
k
74
Dérivées partielles
Si en tout point d’un domaine D il existe des dérivées partielles, les fonctions ∂f
:
∂x
∂f
∂f
∂f
(x, y) 7→ ∂x (x, y) et ∂y : (x, y) 7→ ∂y (x, y) sont appelées dérivées partielles premières
de f , par rapport à x et par rapport à y.
On généralise aisément cette définition à une fonction de n variables.
On remarque que la dérivée partielle par rapport à x, au point (x0 , y0 ), n’est autre que la
dérivée, au point x0 , de la fonction φ : x 7→ f (x, y0 ). Pour la dérivée partielle par rapport
à y, il s’agit de la dérivée, au point y0 , de la fonction ψ : y 7→ f (x0 , y).
On en déduit la règle pratique : pour déterminer une dérivée partielle, il suffit de dériver
comme on en a l’habitude par rapport à la variable considérée, les autres variables étant
considérées comme des constantes.
Exemple 6.12 La fonction f : (x, y) 7→ 5x2 − xy + 2y 2 est définie et continue sur R2 .
Sur R2 , elle admet pour dérivées partielles :
∂f
: (x, y) 7→ 10x − y
∂x
et
∂f
: (x, y) 7→ −x + 4y
∂y
Exemple 6.13 La fonction f : (x, y) 7→ x2 sin y est définie et continue sur R2 . Sur R2 ,
elle admet pour dérivées partielles :
∂f
: (x, y) 7→ 2x sin y
∂x
3.1
et
∂f
: (x, y) 7→ x2 cos y
∂y
Dérivées partielles secondes
Les fonctions dérivées partielles premières, d’une fonction f de plusieurs variables, peuvent
elles-mêmes admettre des dérivées partielles ; on les appelle dérivées partielles secondes
de f .
On peut évidemment envisager également des dérivées partielles d’ordre supérieur.
Pour une fonction de deux variables f : (x, y) 7→ f (x, y), il faut a priori envisager quatre
dérivées partielles secondes :
∂2f
∂ ∂f
∂ ∂f
∂2f
00
00
=
=
f
,
=
= fxy
2
x
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂x∂y
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f
∂2f
00
=
= fyx ,
= 2 = fy002
∂x ∂y
∂y∂x
∂y ∂y
∂y
Exemple 6.14 La fonction f : (x, y) 7→ 5x2 − xy + 2y 2 admet, sur R2 , les dérivées
partielles secondes :
∂2f
∂2f
(x,
y)
→
7
10
;
(x, y) 7→ −1
∂x2
∂x∂y
∂2f
∂2f
(x, y) 7→ −1 ;
(x, y) 7→ 4
∂y∂x
∂y 2
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75
6. F ONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
Exemple 6.15 La fonction f : (x, y) 7→ x2 sin y admet, sur R2 , les dérivées partielles
secondes :
∂2f
(x, y) 7→ 2 sin y
∂x2
∂2f
(x, y) 7→ 2x cos y
∂y∂x
∂2f
;
(x, y) 7→ 2x cos y
∂x∂y
∂2f
;
(x, y) 7→ −x2 sin y
2
∂y
On remarque, sur ces deux exemples que l’on a :
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
Théorème 6.5 Si, dans le voisinage du point (x0 , y0 ), la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y)
admet des dérivées partielles premières continues et si les dérivées partielles secondes
00
00
fxy
et fyx
existent et sont continues, on a :
00
00
(x0 , y0 ) = fyx
(x0 , y0 )
fxy
On admettra ce théorème qui se généralise aisément et permet de considérer les dérivations
successives par rapport aux variables dans un ordre quelconque.
Sous réserve de la continuité des dérivées partielles, la fonction f : (x, y) 7→ f (x, y)
2
2
∂2f
n’admet que trois dérivées partielles secondes ∂∂xf2 , ∂x∂y
et ∂∂yf2 et quatre dérivées partielles
troisièmes :
3
3
∂3f
, ∂f , ∂f
∂x3 ∂x2 ∂y ∂x∂y 2
et
∂3f
∂y 3
Exemple 6.16 Reprenons la fonction f : (x, y) 7→ x2 sin y. On peut facilement vérifier
l’égalité des dérivées partielles :
∂3f
∂x∂y∂y
∂3f
∂y∂x∂y
∂3f
∂y∂y∂x
On note que
∂3f
∂x∂y 2
: (x, y) 7→ −2x sin y
: (x, y) 7→ −2x sin y
: (x, y) 7→ −2x sin y
: (x, y) 7→ −2x sin y.
Théorème 6.6 Soient les fonctions u : x 7→ u(x) et v : x 7→ v(x) dérivables en x0 ;
on pose u0 = u(x0 ) et v0 = v(x0 ). Soit la fonction φ : (u, v) 7→ φ(u, v) admettant
au voisinage du point (u0 , v0 ) des dérivées partielles premières continues en (u0 , v0 ). La
fonction composée F : x 7→ φ [u(x), v(x)] admet pour dérivée en x0 :
F 0 : φ0u [u(x0 ), v(x0 )] u0 (x0 ) + φ0v [u(x0 ), v(x0 )] v 0 (x0 )
On considère les valeurs x0 et x0 + ∆x de la variable x. À l’accroissement ∆x de la
variable correspondent les accroissements :
∆u = u(x0 + ∆x) − u(x0 )
∆v = v(x0 + ∆x) − v(x0 )
∆F = F (x0 + ∆x) − F (x0 )
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76
Dérivées partielles
On a
F (x0 + ∆x) − F (x0 ) = φ [u(x0 + ∆x), v(x0 + ∆x)] − φ [u(x0 ), v(x0 )]
= φ (u0 + ∆u, v0 + ∆v) − φ(u0 , v0 )
On peut écrire :
F (x0 +∆x)−F (x0 ) = φ (u0 + ∆u, v0 + ∆v)−φ(u0 , v0 +∆v)+φ(u0 , v0 +∆v)−φ(u0 , v0 )
On applique le théorème des accroissements finis à la fonction : u 7→ φ(u, v0 + ∆v), qui
est dérivable :
φ (u0 + ∆u, v0 + ∆v) − φ(u0 , v0 + ∆v) = ∆uφ0u (u0 + θ1 ∆u, v0 + ∆v) 0 < θ1 < 1
On applique le théorème des accroissements finis à la fonction : v 7→ φ(u0 + ∆u, v), qui
est dérivable :
φ (u0 , v0 + ∆v) − φ(u0 , v0 ) = ∆vφ0v (u0 , v0 + θ2 ∆v) 0 < θ2 < 1
Il en résulte :
F (x0 + ∆x) − F (x0 ) = ∆uφ0u (u0 + θ1 ∆u, v0 + ∆v) + ∆vφ0v (u0 , v0 + θ2 ∆v)
Et donc :
∆u 0
∆v 0
F (x0 + ∆x) − F (x0 )
=
φu (u0 + θ1 ∆u, v0 + ∆v) +
φ (u0 , v0 + θ2 ∆v)
∆x
∆x
∆x v
Lorsqu’on fait tendre ∆x vers zéro, étant données la dérivabilité de u et v et la continuité de φ0u et φ0v , on obtient comme limite du second membre : u0 (x0 )φ0u (u0 , v0 ) +
v 0 (x0 )φ0v (u0 , v0 ). Il en résulte que F est dérivable en x0 et que :
F 0 (x0 ) = u0 (x0 )φ0u (u0 , v0 ) + v 0 (x0 )φ0v (u0 , v0 )
Lorsque u et v sont dérivables sur un intervalle [a, b] et φ0u et φ0v sont continues sur le
domaine correspondant à [a, b] on obtiendra comme fonction dérivée de F :
F 0 = u0 φ0u + v 0 φ0v
u(x)
.
v(x)
u 0
vu0 −uv 0
v = v2
v2
Exemple 6.17 Soit F : x 7→
On obtient : F 0 = v1 u0 −
Exemple 6.18 Soit F : x 7→ log[u(x)v(x)].
0
0
On obtient : F 0 = u1 u0 + v1 v 0 = uu + vv
Exemple 6.19 Soit F : x 7→ u(x)v(x).
On obtient : F 0 = vu0 + uv 0
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77
6. F ONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
Quelques remarques :
1. Le théorème 6.6 se généralise aisément au cas où φ est une fonction de n variables.
si, par exemple, on a F [u(x), v(x), w(x)], on obtient :
F 0 = u0 φ0u + v 0 φ0v + w0 φ0w
c’est-à-dire que l’on a :
F 0 (x) = u0 (x)φ0u [u(x), v(x), w(x)]+v 0 (x)φ0v [u(x), v(x), w(x)]+w0 (x)φ0w [u(x), v(x), w(x)]
2. Si on considère la composition de fonctions de plusieurs variables par une autre
fonction, le théorème 6.6 s’applique également aux dérivées partielles, sous réserve
des conditions de validité.
Soit par exemple F : (x, y) 7→ φ[u(x, y), v(x, y)], on aura :
∂F
= φ0u ∂u
+ φ0v ∂u
∂x
∂x
∂x
F :
∂F
= φ0u ∂u
+ φ0v ∂u
∂y
∂y
∂y
si les fonctions u et v admettent des dérivées partielles en (x, y) et si φ admet des dérivées
partielles au voisinage de (u(x, y), v(x, y)) continues en ce point.
Exemple 6.20 La fonction F : x 7→
2
cos2 xex
x2
admet pour dérivées, sur R∗ :
2
2
cos2 xex
ex
cos2 x x2
F : x 7→ 2 (−2 cos x sin x) +
2xe
−
2x
x
x2
x4
0
Exemple 6.21 La fonction F : (x, y) 7→
(
F :
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∂F
(x, y)
∂x
∂F
(x, y)
∂y
7→
7→
x2 −y 2
x2 +y 2
admet pour dérivées partielles, sur R∗ :
2 −y 2
1
2x − (xx2 +y
2 )2 2x
x2 +y 2
x2 −y 2
1
(−2y) − (x2 +y2 )2 2y
x2 +y 2
=
=
4xy 2
(x2 +y 2 )2
−4x2 y
(x2 +y 2 )2
78
Exercices
4 Exercices
1. Déterminer les
pdomaines de définition des fonctions f et g définies par :
• f (x, y) = 25 − x2 − y 2
• g(x, y) = √ x2 2 si x2 − y 2 6= 0, et g(0, 0) = 0
x −y
2. On désigne par :
• f la fonction à valeurs réelles définie sur R2 par :
1
si 0 ≤ x < y
y
f (x, y) =
0 ailleurs
• g la fonction réelle définie sur R par :
−y
ye
g(y) =
0
si y ≥ 0
si y < 0
• h la fonction réelle définie sur R2 par :
h(x, y) = g(y)f (x, y)
(a) Définir D l’ensemble de R2 sur lequel la fonction h prend des valeurs non
nulles et donner une représentation géométrique de cet ensemble.
R +∞
(b) Calculer l’intégrale f (x) = 0 h(x, y)dy. (on prendra soin d’utiliser la
question précédente).
(c) Donner, en fonction de x et y, l’expression explicite de :
(
h(x,y)
si x ≥ 0
f (x)
h(x, y) =
0
si x < 0
Pour quelles valeurs des variables x et y cette quantité est-elle non nulle ?
(d) Calculer l’intégrale suivante dépendant du paramètre a :
Z +∞
Q(a, x) =
(y − a)2 h(x, y)dy
0
(e) Donner en fonction de x la valeur a0 du paramètre a qui rend minimum
l’intégrale Q(a, x).
3. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition des fonctions f
et g définies par :
• f (x, y) = p
log[(16x2 − y 2 )(x2 + y 2 − 4)]
• g(x, y) = 6 − (2x + 3y)
4. Déterminer si les fonction suivantes ont une limite (x, y) 7→ (0, 0) :
2
2
• f : (x, y) 7→ xx2 −y
+y 2
• g : (x, y) 7→
|x+y|
x2 +y 2
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79
6. F ONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
3 3
y
• h : (x, y) 7→ xx2 +y
2
Ces fonctions, complétées par : (0, 0) 7→ 0, sont-elles continues à l’origine ?
5. Peut-on rendre continues à l’origine, en les définissant en ce point, les fonctions
définies par :
• f (x, y) = sin(x+y)
x+y
• g(x, y) = x2xy
+y 2
6. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de la fonction :
f : (x, y) 7→
sin x − sin y
x−y
Trouver une fonction g qui prenne la même valeur que f partout où celle-ci est
définie et qui soit continue dans tout le plan.
7. Montrer que la fonction (x, y) 7→
s’éloigne à l’infini.
x+y
x2 +y 2
admet une limite lorsque le point M (x, y)
8. La fonction f , définie par f (x, y) = ex−y a-t-elle une limite lorsque le point
M (x, y) s’éloigne à l’infini.
9. Soit la fonction f :
f:
(x, y) 7→ x2 + 2y ,
(x, y) 7→ 0
,
si (x, y) 6= (1, 2)
si (x, y) = (1, 2)
Cette fonction est-elle continue au point (1, 2) ?
10. Calculer les dérivées partielles des fonction suivantes :
• f1 (x, y) 7→ 2x2 − 3xy + 4y 2
2
2
• f2 (x, y) 7→ xy + yx
• f3 (x, y) 7→ sin(2x − 3y)
2
• f4 (x, y) 7→ ex +xy
11. Calculer les dérivées partielles secondes des fonction suivantes :
• f1 (x, y) 7→ x2 + 3xy + y 2
• f2 (x, y) 7→ x cos y − y cos x
• f3 (x, y) 7→ xy
• f4 (x, y) 7→ log(xy)
• f5 (x, y) 7→ arctan xy
• f6 (x, y) 7→ log √ 21 2
x +y
12. On considère la fonction f :
,
(x, y) 7→ x22xy
+y 2
f:
(x, y) 7→ 0
,
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Montrer que les dérivées partielles fx0 (0, 0) et fy0 (0, 0) existent. La fonction est-elle
continue au point (0, 0) ?
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80
Exercices
1
13. Montrer que la fonction définie par U (x, y, z) = (x2 +y 2 +y 2 )− /2 vérifie l’équation
aux dérivées partielles de Laplace :
∂2U
∂2U
∂2U
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂z 2
x
y
z
14. Soit la fonction f : (x, y, z) 7→ e− /y + e− /z + e− /x . Déterminer le domaine de
définition de D de f ; la fonction est-elle continue en D ? Calculer les dérivées
partielles, premières et secondes, de f .
15. Soit la fonction f : (x, y) 7→ x2 + y 2 . Calculer, en appliquant le théorème 6.6, la
dérivée de F : t 7→ f (a cos t, b sin t).
p
16. Soit la fonction F : r 7→ F (r). On pose r = x2 + y 2 + z 2 , ce qui permet de
p
2
2
2
définir la fonction f : (x, y, z) 7→ f ( x2 + y 2 + z 2 ). Calculer ∂∂xf2 + ∂∂yf2 + ∂∂zf2 .
Déterminer F pour que l’on ait :
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y 2
+
∂2f
∂z 2
= 0.
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Annexe A
Intégrales multiples
1
1.1
Intégrale double
Notion d’intégrale double
Soit une fonction f : (x, y) 7→ z = f (x, y), définie sur un domaine D fermé et supposée
nulle à l’extérieur de D.
→
→ −
−
→ −
L’espace étant muni d’un repère orthormé direct (O, i , j , k ), lorsque le point H(x, y)
se déplace dans D, le point M (x, y, z) décrit une surface S.
On désigne par a et b les bornes inférieures et supérieures des abcisses d’un point de
contour de D et par c et d les bornes inférieures et supérieures des ordonnées d’un point
de ce même contour.
On partage [a, b] par les valeurs x0 = a < x1 < x2 < . . . < xi < . . . < xm = b
et [c, d] par les valeurs y0 = c < y1 < y2 < . . . < yj < . . . < ym = d
ce qui permet de définir un ensemble de mn rectangles recouvrant D.
Soit Eij le rectangle [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ], de dimensions ∆xi = xi − xi−1 et ∆yj =
yj − yj−1 .
On choisit arbitrairementPdansP
Eij un point Hij .
n
On considère la somme i=1 m
j=1 f (Hij )∆xi ∆yj .
Si cette somme tend vers une limite I, lorsque m et n tendent vers l’infini de manière à
ce que sup ∆xi et sup ∆yj tendent vers zéro, indépendamment de la façon dont on fait
les partages et dont on choisit les points Hij , on dit que f est intégrable sur D, que I est
l’intégrale de f sur d et on pose :
Z Z
I=
f (x, y)dxdy
D
On peut démontrer en particulier que si f est continue sur D, l’intégrale existe toujours.
1.2
Calcul d’une intégrale double
Le calcul d’une intégrale double se ramène au calcul de deux intégrales définies.
81
82
Intégrale double
Limitons-nous, dans un premier temps, au cas où les parallèles aux axes qui coupent le
contour de domaine D ont en commun avec D un segment.
On peut choisir des points Hij d’abcisse ξi , constante pour tous les rectangles d’une
rangée parallèle à Oy et d’ordonnée ηj , constante pour tous les rectangles d’une rangée
parallèle à Ox.
On obtient alors la somme double :
n X
m
X
f (ξi , ηj )∆xi ∆yj
i=1 j=1
que l’on peut
Pécrire :
Pn
m
i=1 ∆xi
j=1 f (ξi , ηj )∆yj
Or lorsque n → +∞ avec sup ∆yj → 0, il est clair que :
lim
m
X
Z
φ2 (ξi )
f (ξi , ηj )∆yj =
f (ξi , y)dy = F (ξi )
φ1 (ξi )
j=1
et lorsque n → +∞ avec sup ∆xi → 0, on obtient :
lim
n
X
Z
b
F (x)dx
F (ξi )∆xi =
a
j=1
Finalement :
Z Z
b
Z
dxdy =
D
φ2 (ξi )
Z
f (x, y)dy
dx
a
φ1 (ξi )
Cette écriture signifie que, x étant fixé, on intègre d’abord par rapport à y ; la fonction φ2
admet pour graphe la partie supérieure du contour de D, la fonction φ1 la partie inférieure.
On obtient alors une fonction de x qu’il reste à intégrer de a à b.
En inversant l’ordre de la mise en facteurs, on obtiendrait également :
Z Z
Z
dxdy =
D
d
Z
ψ2 (y)
f (x, y)dx
dy
c
ψ1 (y)
RR
Exemple A.1
(x + y 2 )dxdy où D est défini par {x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}. Il est
D
facile de représenter le domaine (premier quadrant en dessous de la droite y = 1 − x)
• Premier calcul :
1−x
Z 1 Z 1−x
Z 1 y3
2
I =
dx
(x + y )dy =
dx xy +
3 0
0
0
0
Z 1
1
1
1
x4
1
=
(1 − x3 )dx =
x−
=
3
4 0 4
0 3
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83
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
• Deuxième calcul :
Z
1
Z
I =
1−y
Z
2
1
dy
(x + y )dx =
0
0
Z 1
3
1
=
−y 3 + y 2 − y +
dy
2
2
0
4
1
y
y3 y2 y
1
= − +
−
+
=
4
2
2
2 0 4
0
1.3
x2
dy
+ xy 2
2
1−y
0
Propriétés
1. L’intégrale double se calculant par deux intégrales simples successives, il résulte de
la linéarité d’une intégrale définie que l’intégrale double est une expression linéaire
de la fonction à intégrer, lorsque le domaine d’intégration est fixé :
Z Z
Z Z
Z Z
[g(x, y) + h(x, y)]dxdy =
g(x, y)dxdy +
h(x, y)dxdy
D
D
D
Z Z
Z Z
λf (x, y)dxdy = λ
f (x, y)dxdy , λ ∈ R
D
D
2. On peut montrer également que si le domaine D est la réunion de deux domaines
disjoints D1 et D2 , on a :
Z Z
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy
D
D1
D2
Cette propriété permet d’étendre la notion d’intégrale double à des domaines de
forme générale.
1.4
Cas particuliers
1. Le domaine d’intégration est un rectangle.
On a alors :
Z Z
Z
f (x, y)dxdy =
b
Z
D
a
d
f (x, y)dy
dx
c
Les bornes de la première intégrale ne sont pas fonction de x.
2. Le domaine d’intégration est un rectangle et f (x, y) = g(x)f (y).
Dans ce cas :
Z Z
Z b Z d
f (x, y)dxdy =
dx
g(x)f (y)dy
D
a
c
Z b
Z d
g(x)dx
f (y)dy
=
a
c
L’intégrale double est alors le produit de deux intégrales simples.
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84
Intégrale double
RR
Exemple A.2
xydxdy où D est défini par : 0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ 2.
D
h 2 i1 h 2 i 2
R1
R2
y
=1
On a : I = 0 xdx 0 ydy = x2
2
0
1.5
0
Calcul de volumes et de surfaces
Si f (x, y) est positif ou nul en tout point du domaine D, le produit f (Hij )∆xi ∆yj est
égal au volume d’un parallélépipède rectangle de surface de base ∆xi ∆yj et de hauteur
f (Hij ). En sommant sur i et sur j, on obtient un volume qui, à la limite, est égal au
volume V de la portion de cylindre, de génératrices parallèles à Oz, limité par la base D
et par la surface S. On posera donc :
Z Z
V =
f (x, y)dxdy
D
Par contre, si f (x, y) n’est pas forcément positif ou nul, on parlera de volume algébrique.
Les portions situées en dessous du plan xOy étant comptées négativement (voir propriété 2).
Si on considère maintenant
la fonction f : (x, y) 7→ 1, définie sur un domaine D, il est
RR
clair que l’intégrale
dxdy donne le volume d’un cylindre de base D et de hauteur 1.
D
Le nombre obtenu est donc également l’aire de la surface D. On posera donc :
Z Z
S=
dxdy
D
Exemple A.3 (Volume d’une sphère). Une sphère de centre O et de rayon R admet pour
équation, par rapport à un repère orthonormé d’origine O : x2 + y 2 + z 2 = R2
La demi-sphère S située au-dessus du plan xOy a pour équation :
p
x2 + y 2 + z 2 = R2 et z ≥ 0 ⇔ z = R2 − x2 − y 2
p
C’est donc le graphe de la fonction f : (x, y) 7→ R2 − x2 − y 2 définie sur le domaine
D : x2 + y 2 ≤ R 2 .
Le volume limité par la demi-sphère S et le plan xOy est donc :
Z Z p
I =
R2 − x2 − y 2 dxdy
D
√
R2 −x2
p
√
√
R2 − x2 − y 2 dy sur D, pour x fixé, − R2 − x2 ≤ y ≤ R2 − x2
√
− R2 −x2
−R
r
Z R
Z √R2 −x2 √
y2
2
2
R −x 1− 2
dy
=
dx √
R − x2
−R
− R2 −x2
Z
=
R
Z
dx
On pose :
t = arcsin √
π
π
y
y
= sin t et − ≤ t ≤
⇔ √
2
2
R 2 − x2
R 2 − x2
√
⇒ dy = R2 − x2 cos tdt
p
1 − sin2 t = | cos t| = cos t (≥ 0 si − π2 ≤ t ≤ π2 )
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85
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
Finalement :
Z R
Z
2
2
I=
(R − x )dx
π
2
− π2
−R
R
π
2
π
x3
2
cos tdt =
(R − x )dx =
R x−
= πR3
2
2
3 −R 3
−R
Z
2
R
2
2
D’où le volume de la sphère
4
V = 2I = πR3
3
Exemple A.4 (Aire du cercle) Soit un cercle de centre O et de rayon R. On a :
Z Z
Z R
Z √R2 −x2
dy
S=
dxdy =
dx √
− R2 −x2
−R
D
Z
R
√
R2 − x2 dx
Z Rr
x2
= 2R
1 − 2 dx
R
−R
= 2
−R
On pose
u = arcsin
On obtient
Z
2
S = 2R
π
2
2
cos udu = 2R
x
π
π
x
⇔
= sin u et − ≤ u ≤
R
R
2
2
⇒ dx
=
R
cos
udu
p
1 − sin2 u = | cos u| = cos u
2
− π2
1.6
Z
π
2
− π2
π
sin 2u 2
π
1 + cos 2u
2 u
du = 2R
+
= 2R2 = πR2
2
2
4
2
−π
2
Changement de variables
RR
f (x, y)dxdy.
Soit l’intégrale double
D
Pour faciliter les calculs, il est souvent commode de changer de variables. Sans aller
jusqu’à la justification, relativement compliquée, du procédé, il convient cependant d’en
connaı̂tre les règles.
Le changement de variables, dans un intégrale double, consiste à passer d’un couple
(x, y) à un autre couple (u, v) par l’intermédiaire d’une application (x, y) 7→ (u, v).
Lorsque le point H(x, y) décrit le domaine D, son image K(u, v) va décrire un nouveau
domaine ∆.
L’application doit donc être bijective.
Considérons maintenant les fonctions φ et ψ définies par : x = φ(u, v) et y = ψ(u, v),
les formules de changement de variables.
On appelle déterminant fonctionnel ou Jacobien des fonctions φ et ψ le déterminant :
D(x, y) x0u x0v =
= x0u yv0 − x0v yu0
D(u, v) yu0 yv0 bar-hen.net
86
Intégrale double
Sous réserve de la continuité des fonctions φ et ψ et de leurs dérivées partielles sur ∆, on
a:
Z Z
Z Z
D(x, y) dudv
f (x, y)dxdy =
f (φ(u, v), ψ(u, v)) D(u,
v)
D
∆
Application : utilisation des coordonnées polaires
→
→ −
−
→ −
À tout point M du plan muni du repère orthonormé (O, i , j , k ), on associe ses coor−−→
→
−
→
−
données cartésiennes x et y qui sont telles que : OM = x i + y j .
→
On peut également lui associer ses coordonnées polaires r et θ : si −
u est le vecteur
−−→
unitaire parallèle et de même sens que OM , on a :
−−→
→ −
−
→
OM = r−
u (r ≥ 0) , θ = ( \
i ,→
u )(0 ≤ θ < 2π)
Dans ces conditions, il est clair que se donner (x, y), c’est se donner (r, θ) et réciproquement ;
l’application (x, y) 7→ (r, θ) est bijective.
On a : x = r cos θ et y = r sin θ
D(x, y) cos θ −r sin θ =
= r cos2 θ + r sin2 θ = r
sin
θ
r
cos
θ
D(r, θ)
D(x, y) =r
r ≥ 0 ⇒ D(r, θ) et on peut écrire :
Z Z
Z Z
f (x, y)dxdy =
D
f (r cos θ, r sin θ)rdrdθ
∆
RR p
Exemple A.5 On avait à calculer : I =
R2 − x2 − y 2 dxdy
D
On
√ en coordonnées polaires. On obtient :
R R passe
R2 − r2 rdrdθ où ∆ est défini par : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ < 2π.
∆
D’où
Z 2π Z R √
I =
dθ
R2 − r2 rdr
cas particulier 2 du paragraphe 1.4
0
0
R
1 2
2
2 3/2
= 2π − (R − r )
= πR3
3
3
0
et donc
4
V = πR3
3
RR 2
2
Exemple A.6
x + y dxdy où D est défini par x ≥ 0, y ≥ 0 et x2 + y 2 ≤ 2.
D
→
→ −
−
→ −
Dans un plan muni d’un repère orthonormé (O, √i , j , k ), le domaine D est représenté
par le quart de cercle, de centre O et de rayon 2, situé dans le premier quadrant. On
passeR en
polaires et on obtient : √
R coordonnées
3
I=
r
drdθ
où
∆
est défini par : 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ < π2 .
∆
D’où
4 √2
Z π Z √2
π
2
r
π
dθ
r3 dr = [θ]02
=
I=
2
4 0
0
0
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87
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
2 Intégrale triple
2.1 Notion d’intégrale triple
Soit une fonction f : (x, y, z) 7→ t = f (x, y, z), définie sur un domaine D fermé et
supposée nulle à l’extérieur de D.
→
→ −
−
→ −
L’espace étant muni d’un repère orthormé direct (O, i , j , k ), D peut être représenté
par l’ensemble des points d’un volume limité par une surface fermée S.
On désigne par a et b, c et d, e et f les bornes inférieures et supérieures des abcisses, des
ordonnées et des côtes des point de S.
On partage [a, b] par les valeurs x0 = a < x1 < x2 < . . . < xi < . . . < xm = b
[c, d] par les valeurs y0 = c < y1 < y2 < . . . < yj < . . . < ym = d
et [e, f ] par les valeurs z0 = e < z1 < z2 < . . . < zk < . . . < zp = f
et on quadrille l’espace par des plans d’abcisses x0 , x1 , . . . , xm des plans d’ordonnée
y0 , y1 , . . . , yn et des plans de côte z0 , z1 , . . . , zp , ce qui permet de définir un ensemble de
mnp parallélépipèdes rectangles recouvrant D.
On désigne par Eijk le parallélépipède rectangle
[xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , yk ]
de dimensions ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 et ∆zk = zk − zk−1 .
On choisit arbitrairement dans chaque parallélépipède Eijk un point Mijk .
Soit maintenant la somme :
p
m X
n X
X
f (Mijk )∆xi ∆yj ∆zk
i=1 j=1 k=1
Si cette somme tend vers une limite I, lorsque m, n et p tendent vers l’infini de manière
à ce que sup ∆xi , sup ∆yj et sup ∆zk tendent vers zéro, indépendamment de la façon
dont on fait les partages et du point Mijk , on dit que f est intégrable sur D, que I est
l’intégrale triple de f sur D et on pose :
Z Z Z
f (x, y, z)dxdydz
D
On peut démontrer, en particulier, que, si f est continue sur D, l’intégrale existe.
2.2
Calcul d’une intégrale triple
Le calcul d’une intégrale triple se ramène au calcul d’une intégrale double et d’une
intégrale simple donc, finalement, au calcul de trois intégrales simples successives.
On peut choisir Mijk = (ξi , ηj , ζk ) ; ceci revient à choisir même abcisse pour tous les
points de premier indice i, même ordonnée pour tous les points de deuxième indice j
et même côte pour tous les points de troisième indice k. On peut alors écrire la somme
triple :
p
m X
n X
X
i=1 j=1 k=1
bar-hen.net
f (ξi , ηj , ζk )∆xi ∆yj ∆zk =
p
X
k=1
∆zk
m X
n
X
i=1 j=1
f (ξi , ηj , ζk )∆xi ∆yj
88
Intégrale triple
À la limite, la somme double est l’intégrale double de f (x, y, ζk ) par rapport à x et y,
ζk étant fixé, sur un domaine D(ζk ) obtenu par l’intersection de D par le plan de côté
z = ζk .
Cette intégrale double est évidemment fonction de ζk . Il ne reste plus qu’à sommer sur k
ce qui, à la limite est une intégrale simple sur z. On écrira donc successivement :
Z Z Z
Z f Z Z
f (x, y, z)dxdydz =
dz
f (x, y, z)dxdy
D
e
Z Z Z
f
Z
f (x, y, z)dxdydz =
Z
D(z)
φ2 (z)
dz
D
e
Z
ψ2 (y,z)
f (x, y, z)dx
dy
φ1 (z)
ψ1 (y,z)
Cette notation signifie que x et y étant fixées, on intègre d’abord par rapport à x ; les
bornes de cette première intégrale dépendant en général de (y, z). On intègre ensuite par
rapport à y, z étant fixé ; les bornes de cette deuxième intégrale dépendant en général de
z. Enfin on intègre par rapport à z.
Bien entendu l’ordre d’intégration choisi ici est arbitraire ; on pourrait commencer à
intégrer d’abord par rapport à z, x et y étant fixés, puis par rapport à x, y étant fixé,
enfin par rapport à y.
RRR
2
2
Exemple A.7
xyzdxdydz où D est défini par : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, xa2 + yb2 +
D
z2
≤ 1 (a > 0, b > 0, c > 0).
c2
Le domaine D peut ici être représenté par un huitième d’ellipsoı̈de. On a
q
q
Z a
Z b 1− x22
Z c 1− x22 − y22
a
a
b
I =
xdx
ydy
zdz
0
0
a
0
q
2
b 1− x2
c2
ydy
2
x2 y 2
=
xdx
1− 2 − 2
a
b
0
0
q
2
x
2
b 1− 2
Z
a
c2 a
y
x2 y 2
y4
=
xdx
− 2 − 2
2 0
2
a 2
4b 0
"
2 #
Z
c2 b2 a
x2
x2 x3
x2
x
=
1− 2 x− 1− 2
− 1− 2
dx
2
2 2 0
a
a
a
a
2
b 2 c 2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2
=
−
−
+
−
+
−
2
2
4
4
6
4
4
12
2 2 2
abc
=
48
Le produit ∆xi ∆yj ∆zk est égal au volume du parallélépipède rectangle Eijk .
Soit maintenant la fonction :
(x, y, z) 7→ 1 sur D
g:
(x, y, z) 7→ 0 ailleurs
Z
Z
a
Il est clair qu’en multipliant ∆xi ∆yj ∆zk par g(Mijk ) et en sommant sur i, j et k, on obtient un volume qui, à la limite, est égal au volume de la portion de l’espace représentant
D.
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89
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
2.3 Changement de variables
Soient les formules de changement de variables :
x = φ(u, v, w) , y = ψ(u, v, w) et z = χ(u, v, w)
définissant une correspondance bijective entre l’ensemble D des points (x, y, z) et l’ensemble ∆ des points (u, v, w). On admettra que, sous réserve de la continuité des fonctions φ, ψ et χ et de leurs dérivées partielles :
Z Z Z
Z Z Z
D(x, y, z) dudvdw
f (x, y, z)dxdydz =
f (φ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w)) D(u,
v,
w)
D
∆
où
D(x,y,z)
D(u,v,w)
est le Jacobien des fonctions φ, ψ et χ défini par le déterminant :
0
xu x0v x0w D(x, y, z)
= yu0 yv0 yw0 D(u, v, w) 0
zu zv0 zw0 2.4
Généralisation
On peut envisager des intégrales n-uples de fonctions de n variables. Le support géométrique
fera évidemment totalement défaut dès que n > 3, ce qui n’est pas nécessairement
gênant.
En fait le processus de calcul sera le même que pour les intégrales doubles et triples.
3 Rappels de mécanique
L’espace est muni d’un repère orthonormé Oxyz
Pour un
Pensemble de points isolés Ai (xi , yi , zi ) affectés d’une masse mi , de masse totale
M = i mi , on définit :
P
−−→ −
→
le centre de masse G(X, Y, Z) par la relation vectorielle i mi GAi = O . On en déduit
−→ P
−−→
M OG = i mi OAi , d’où les coordonnées de G :
X=
1 X
1 X
1 X
mi xi , Y =
mi yi , X =
mi zi
M i
M i
M i
le moment d’inertie par rapport à un point, à un axe, ou à un plan :
X
I=
mi d2i
i
où di est la distance du point Ai au point, à l’axe, ou au plan par rapport auquel le
moment d’inertie est calculé.
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90
Rappels de mécanique
Pour une tige porté par l’axe Ox, de masse spécifique (linéaire) ρ(x), (a, b) étant l’ensemble des abcisses des points de la tige, on obtient :
Z b
Z b
1
M=
ρ(x)dx , X =
xρ(x)dx , (Y = Z = 0)
M a
a
Z b
I=
d2 (x)ρ(x)dx
a
où d(x) est la distance du point A(x) de la tige, à l’élément par rapport auquel I est
calculé.
Pour un plaque plane situé sur le plan xOy, de masse spécifique (superficielle) ρ(x, y),
D étant l’ensemble des couples (x, y) associés aux points de la plaque, on obtient :
Z Z
M =
ρ(x, y)dxdy
ZD Z
1
xρ(x, y)dxdy
X =
M
Z ZD
1
Y =
yρ(x, y)dxdy , (Z = 0)
M
D
Z Z
I=
d2 (x, y)ρ(x, y)dxdy
D
où d(x, y) est la distance du point A(x, y) de la plaque, à l’élément par rapport auquel I
est calculé.
Pour un solide, à 3 dimensions, de masse spécifique ρ(x, y, z), ∆ étant l’ensemble des
triplets (x, y, z) définissant les points du solide, on a :
Z Z Z
Z Z
1
M=
ρ(x, y, z)dxdydz , X =
xρ(x, y, z)dxdydz
M
∆
D
Z Z
Z Z
1
1
Y =
yρ(x, y, z)dxdydz , Z =
zρ(x, y, z)dxdydz
M
M
D
D
Z Z
I=
d2 (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz
D
où d(x, y, z) est la distance du point A(x, y, z) du solide, à l’élément par rapport auquel
I est calculé.
Si le solide est homogène, la masse spécifique est constante.
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91
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
4 Exercices
RR
xydxdy, où D est défini par {x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − 2x}
RR
2. Calculer, par deux méthodes différentes :
xydxdy, où D1 est défini par {x ≥
D1
RR
2
2
2
0, y ≥ 0, x + y ≤ R } Calculer
xydxdy, où D2 est défini par {x ≥ 0, y ≥
D2
2
2
2
0, x + y ≤ R , x + y ≥ R > 0}
RR
3. Calculer
x sin(x + y)dxdy, où D est défini par {0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π2 }
D
R +∞ R +∞
1
4. Calculer 0
dxdy
(x2 +y 2 +a2 )2
0
1. Calculer
D
5. Calculer l’aire plane limitée par les courbes d’équations, dans un repère orthonormé y = x2 et y = 2 − x2
6. L’espace est muni d’un repère orthonormé Oxyz. Calculer le moment d’inertie, par
rapport à l’axe Oz, d’une plaque homogène situé dans le plan xOy et limitée par
les courbes d’équations : y 2 = 4x, x = 0, y = 2.
7. Déterminer le centre de masse d’une plaque semi-circulaire homogène, de centre
O et de rayon R.
RR
1
8. Calculer
dxdy où D est défini par {x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 3}
D (x+y)2
RR
9. Calculer D x2xy
dxdy où D est le triangle de sommets : O(0, 0), A(a, a), B(a, 0)
+y 2
avec a > 0, les trois points étant repérés par rapport à un système orthonormé xOy.
RR 1
10. Calculer
dxdy où D est défini par {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x + y ≥ 1}
D x+y
RRR 2
11. Calculer
z dxdydz où D est défini par {x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 }
R R RD
12. Calculer
zdxdydz où V est défini par {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ a}
R R RV
13. Calculer
zd(x+y+z)dydz où V est défini par {−h ≤ z ≤ h, x2 +y 2 ≤ R2 }
V
14. Calculer le volume, la masse, le moment d’inertie par rapport à son axe de révolution,
d’un cône de révolution homogène, de hauteur H et de rayon de base R. Déterminer
son centre de masse.
R R − 1 (x2 +y2 )
R +∞ 1 − x2/
2 dx.
√ e
15. Calculer
e 2
dxdy. En déduire
R2
−∞
2π
16. Calculer la surface d’un cercle de rayon R.
17. Calculer le volume d’une sphère de rayon R.
18. Calculer l’aire plane limitée par les courbes d’équation : y 2 = 4x et y = 2x − 4,
dans un repère orthonormé.
19. Calculer l’aire et déterminer le centre de masse d’une plaque plane homogène limitée par une courbe d’équation polaire :
(a) r2 = a2 cos 2θ avec − π4 ≤ θ ≤
(b) r = a cos θ avec − π2 ≤ θ ≤
π
4
π
2
20. L’espace est muni d’un repère orthonormé. Calculer le volume et déterminer le
centre de masse d’un solide homogène limité par la surface d’équation x2 +y 2 +z =
9 et le plan z = 0.
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92
Exercices
21. Calculer le volume et déterminer le centre de masse du solide homogène limité par
les plans d’équations : x = 0, y = 0, z = 0, xa + yb + zc = 1, (a, b, c ∈ R∗+ )
22. Calculer le moment d’inertie par rapport à une de ses arêtes d’une plaque rectangulaire homogène.
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93
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
5 Solutions
1. On a :
Z Z
I =
xydxdy =
D
1/
2
Z
=
xdx
0
1/
2
Z
1
2
=
0
0
(x − 4x2 + 4x3 )dx
0
1 x2 4x3
=
−
+ x4
2 2
3
1
=
96
RR
ydy
0
1−2x
2
y
2
1−2x
Z
xdx
2. Soit I1 =
1/
2
Z
12
0
1
=
2
1
4
1
−
+
8 24 16
xydxdy.
D1
(a) on a
√
R
Z
I1 =
Z
R2 −x2
xdx
ydy
0
0
R
Z
=
0
y2
xdx
2
√R2 −x2
0
R
2
1
1
x4
2
3
2x
=
(R x − x )dx =
R
−
2 0
2
2
4 0
4
R
=
8
Z
R
(b) On peut également écrire, en passant en coordonnées polaires :
Z Z
I1 =
r2 cos θ sin θrdrdθ où ∆1 est défini par {0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ r ≤ R}
∆1
Z π/2
=
Z
0
sin θ
2
4
R
=
8
π2 =
Soit maintenant I2 =
Z
I2 =
0
4
r
4
RR
D2
√
R
Z
R
0
xydxdy. On a :
R2 −x2
xdx
0
r3 dr
0
2
bar-hen.net
R
cos θ sin θdθ
ydy
R−x
94
Solutions
R
Z
=
0
y2
xdx
2
√R2 −x2
R−x
R
3
1
2x4
1
2
2
2
2
2x
(R − x − R − x + 2Rx)xdx =
R
−
=
2 0
2
3
4 0
R4
=
12
Z
R
3.
Z π/2
π
Z
I =
xdx
0
π
Z
sin(x + y)dy
0
=
π
xdx [− cos(x + y)]0 /2
Z0 π π
=
x − cos x +
+ cos x dx
2
Z0 π
=
x(cos x + sin x)dx
0
R
R
On intègre par parties
udv = uv − vdu en posant x = u ⇒ dx = du et
(cos x + sin x)dx = dv ⇒ v = sin x − cos x
Z π
π
I = [x(sin x − cos x)]0 −
(sin x − cos x)dx = π − [− cos x − sin x]π0 = π − 2
0
R +∞ R +∞
1
4. Soit I = 0
dxdy. Le domaine d’intégration peut être représenté
(x2 +y 2 +a2 )2
0
dans un plan, muni d’un repère orthonormé, par le premier quadrant.
On passe en coordonnées polaires :
Z π/2
I=
+∞
r
π
1
π
dr =
− 2
= 2
2
2
2
2
(r + a )
2
r +a 0
2a
+∞
Z
dθ
0
0
5. Dans un plan muni d’un repère orthonormé, l’aire à calculer est limitée par deux
paraboles admettant y 0 Oy pour axe de symétrie et symétriques entre elles par rapport à la droite d’équation y = 1. Ces deux paraboles se coupent en A(−1, 1) et
B(1, 1) : y = 2 − x2 = x2 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1. On a :
Z Z
S
Z
1
dxdy =
Z
dx
−1
D
2−x2
x2
1
x3
8
dy =
(2 − 2x )dx = 2x − 2
=
3 −1 3
−1
Z
1
2
6. La plaque plane est la surface entre l’axe Oy, la droite y = 2 et la courbe y 2 = 4x.
On a, si D est l’ensemble des (x, y) définissant la plaque de masse spécifique ρ :
Z Z
I =
2
2
Z
ρ(x + y )dxdy = ρ
D
2
Z
dy
0
y 2/
4
(x2 + y 2 )dx
0
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95
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
y2/4
Z 2 6
y
y4
x3
2
=ρ
= ρ
dy
+y x
+
dy
3
192
4
0
0
0
7
2
y
y5
= ρ
+
1344 20 0
178
=
ρ
105
Il est d’usage d’exprimer un moment d’inertie en fonction de la masse M du solide.
Si S est l’aire de la plaque, on a :
Z Z
Z Z
M=
ρdxdy = ρ
dxdy = ρS
Z
2
D
Z Z
Z
2
Z
D
y 2/
4
3 2
y
2
2
3 178
89
= ⇒M = ρ⇒I= M
= M
12 0 3
3
2 105
35
D
0
0
7. On choisit le repère orthonormé Oxy de manière que Oy soit l’axe de symétrie de
la plaque. Soient ρ la masse spécifique (constante) de la plaque, M sa masse, D
l’ensemble des (x, y) définissant la plaque. Soit G(x, y) le centre de masse cherché.
On a :
Z Z
Z Z
ρ
ρ
X=
xdxdy =
r cos θrdrdθ
M
M
D
∆
, en passant en coordonnées polaires. ∆ est défini par : {0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ R}
Z π
Z R
ρ
ρ R3
cos θdθ
[sin θ]π0 = 0
X=
r2 dr =
M 0
M 3
0
Ce résultat était prévisible puisque Oy est un axe de symétrie. Le centre de masse
est donc situé sur Oy et a pour ordonnée :
Z Z
Z Z
Z π
Z R
ρ
ρ
ρ
ρ R3
2
Y =
ydxdy =
r sin θrdrdθ =
sin θdθ
r dr =
[− cos θ]π0
M
M
M 0
M 3
D
∆
0
c’est-à-dire
2 ρ 3
Y =
R
3M
RR
RR
Or M =
ρdxdy = ρ D dxdy = 12 πR2 ρ ⇒ Mρ = πR2 2 . Finalement :
D
S=
dxdy =
dy
dx =
4
R ≈ 0.4244R
3π
8. Le domaine d’intégration est facile à représenter. On a :
Z Z
Z 2 Z 3−x
1
1
dxdy =
dx
dy
2
(x + y)2
D (x + y)
1
1
3−x
Z 2 1
=
dx −
(x + y) 1
1
Z 2
1
1
=
− +
dx
3 x+1
1
h
x i2
3 1
= log(x + 1) −
= log −
3 1
2 3
Y =
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96
Solutions
9. Soit I =
RR
xy
dxdy.
D x2 +y 2
On passe en coordonnées polaires :
r2 cos θ sin θ
rdrdθ
r2
∆
Z π/4
Z a
cos θ
rdr
=
cos θ sin θdθ
Z Z
I =
0
Z π/4
0
2
a
cos θ sin θdθ
2 cos2 θ
0
Z π/4
sin θ
a2
dθ
=
2 0 cos θ
π
a2
= − [log(cos θ)]0 /4
2
√
a2
a2
=
log 2 =
log 2
2
4
=
10. Soit I =
1
dxdy.
D x+y
R1
1
dy 1−y x+y
dx
0
RR
R1
1
dy[log(x
+
y)]
=
log(1 + y)dy.
1−y
0
0
R
R
On intègre par parties :
udv = uv − vdu en posant dv = dy ⇒ v = y et
log(1 + y) = u ⇒ du = dy
On a I =
R1
=
R1
1+y
1
y
I = [y log(1 +
dy
−
0 1+y
Z 1
Z 1
1
1+y
= log 2 −
dy +
dy
0 1+y
0 1+y
= log 2 − [y]10 + [log(1 + y)]10
= 2 log 2 − 1 ≈ 0.3863
y)]10
Z
RRR 2
11. Soit I =
z dxdydz.
D
L’espace étant muni d’un repère orthonormé d’origine O, le domaine d’intégration
peut être représenté par l’ensemble des points situés à l’intérieur d’une sphère de
centre O et de rayon R. La symétrie de révolution autour de l’axe Oz suggère le
passage aux coordonnées cylindres, c’est-à-dire le changement : x = r cos θ ; y =
r sin θ ; z = z. Le domaine d’intégration ∆ étant défini par 0 ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R,
z 2 + r 2 ≤ R2 .
cos θ −r sin θ 0 D(x,y)
Le Jacobien de cette transformation est D(u,v)
= sin θ r cos θ 0 = r
0
0
1 D’où |J| = |r| = r.
finalement
Z 2π Z R
Z √R2 −r2
Z R
Z Z Z
2 2 2 3/2
2
dz = 2π
(R −r ) rdr
I=
z rdrdθdz =
dθ
rdr √
0 3
∆
0
0
− R2 −z 2
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97
A. I NT ÉGRALES MULTIPLES
h
iR
2
4
2
2 5/2
D’où I = 2π
−
(R
−
r
)
= 15
πR5
3
5
0
RRR
12. Soit I =
zdxdydz.
V
On remarque que x + y + z ≥ 0 ⇒ a ≥ 0. Les triplets (x, y, z) du domaine V sont
tels que :
• 0≤x≤a−y−z
• 0 ≤ y ≤ a − z la condition 12 impliquant a − y − z ≥ 0 ⇒ y ≤ a − z
• 0 ≤ z ≤ a la condition
impliquant
≤a
Ra
R12
R a−y−za − z ≥
R a0 ⇒ zR a−z
a−z
On en déduit I = 0 zdz 0 dy 0
dx = 0 zdz 0 (a − y − z)dy
a−z Z a
a
Z a
1
1 2 z2
z3 z4
a4
y2
2
=
(a−z) zdz =
a
− 2a +
=
zdz (a − z)y −
2 0
2
2
3
4 0 24
0 2
0
L’espace étant muni d’un repère orthonormé, le domaine d’intégration V peut être
représenté par une pyramide de sommet O.
RRR
13. Soit I =
(x + y + z)dxdydz.
V
L’espace étant muni d’un repère orthonormé Oxyz, le domaine d’intégration V
peut être représenté par l’ensemble des points situés à l’intérieur d’un cylindre de
révolution autour de l’axe Oz. On a :
Z R
Z √R2 −x2
Z h
I =
dy
(x + y + z)dz
dx √
− R2 −x2
√
R2 −x2
−R
−h
h
z2
=
dx √
xz + yz +
dy
2 −h
−R
− R2 −x2
Z R
Z √R2 −x2
=
dx √
2h(x + y)dy
Z
R
Z
− R2 −x2
−R
√R2 −x2
y2
=
2hdx xy +
2 −√R2 −x2
−R
Z R
√
=
2h2x R2 − x2 dx
Z
R
−R
D’où
R
2 2
2 3/2
I = 2h − (R − x )
=0
3
−R
On aurait pu obtenir le même résultat en passant en coordonnées cylindriques (voir
exercice 11).
14. On choisit un repère orthonormé Oxyz dont l’origine est le sommet du cône et
Oz l’axe de révolution. Soit D l’ensemble des triplets (x, y, z) correspondant aux
points situés à l’intérieur du cône. On désignera par : V le volume du cône, ρ sa
masse spécifique (constante), M sa masse, I son moment d’inertie par rapport à
Oz, et G(X, Y, Z) son centre de masse. On a :
Z Z Z
Z Z Z
V =
dxdydz =
rdrdθdz
D
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∆
98
Solutions
en passant en coordonnées cylindriques.
Le domaine d’intégration ∆ est défini par {0 ≤ θ ≤ 2π ; 0 ≤ z ≤ H ; 0 ≤ r ≤
R
z}.
H
h iH
R 2π R H R R z
R H R2 2
R2 z 3
Donc V = 0 dθ 0 dz 0H rdr = 2π 12 0 H
z
dz
=
π
= 13 πR2 H
2
H2
3
0
RRR
On a M =
ρdxdydz = ρV = 31 πR2 Hρ
D
RRR
RRR
R 2π R H R R z
On a I =
ρ(x2 +y 2 )dxdydz = ρ
r×r2 drdθdz = ρ 0 dθ 0 dz 0H r3 dr =
D
∆
R H R4 4
1
R4 H 5
1
3
4
2
2πρ 41 0 H
4 z dz = 2 πρ H 4 5 = 10 πρR H = 10 M R
Le cône étant homogène, il est évident que le centre de masse G(X, Y, Z) est sur
l’axe Oz, donc X = Y = 0 (à vérifier). On a :
RRR
RRR
R 2π R H
R Rz
ρ
ρ
H
Z = M1
ρzdxdydz
=
zrdrdθdz
=
dθ
zdz
rdr =
M i
M 0
D
∆
0
0
h
H
R
2
2
4
H
ρ
ρ R
z
R 3
2π 21 0 H
= 14 π Mρ R2 H 2 = 34 H
2 z dz = π M H 2
M
4
0
RR
R +∞ 1 2 R +∞ 1 2
1
2
2
15. Il est clair que l’on a : J =
e− 2 (x +y ) dxdy = −∞ e− 2 x dx −∞ e− 2 y dy =
R×R
R +∞ 1 2
I × I = I 2 en posant I = −∞ e− 2 u du
R R − 1 r2
Or si on passe en coordonnées polaires, on : J =
e 2 rdrdθ où ∆ est défini
∆
par : {0 ≤ θ ≤ 2π, r ≥ 0}
h
i+∞
R 2π R +∞ − 1 r2
− 21 r 2
2π
2
donc J = 0 dθ 0 e
rdr = [θ]0 −e
= 2π × 1 = 2π
0
√
R +∞ 1 − 1 u2
On en déduit I = 2π et donc −∞ √2π e 2 du = 1
RR
2
2
2
16. On a S =
dxdy où DRest
D
R défini par x + y ≤ R . En passant en coordonnées
polaires, on obtient : S =
rdrdθ où ∆ est défini par {0 ≤ θ ≤ 2π, r ≤ R
∆
h 2 iR
R 2π R R
r
donc S = 0 dθ 0 rdr = [θ]2π
= πR2
0
2
0
RRR
2
2
2
2
17. On a : V =
dxdydz où D est défini par
D
R R xR + y + z ≤ R . En passant
en coordonnées polaires, on obtient : V =
rdrdθdz où ∆ est défini par
∆
2
2
2
{0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, z + r ≤ R }
iR
h
R 2π R R
R √R2 −r2
R 2π R R √
2
2
2 3/2
2
2
√
donc V = 0 dθ 0 rdr − R2 −r2 dz = 0 dθ 0 r2 R − r dr = 2π − 3 (R − r )
=
0
4
πR3
3
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Annexe B
Formulaire
1
Trigonométrie
π = 3.14159265358...
cos(−x) = cos(x)
cos
sin(−x) = − sin(x) sin
tan(−x) = − tan(x) tan
cos(x + 2π) = cos(x)
x
cos(x)
sin(x)
tan(x)
cot(x) =
0
1
0
0
π
√6
3
2
1
2
√1
3
π
√4
2
√2
2
2
1
π
− x = sin(x)
2
π
− x = cos(x)
2
π
1
− x = tan(x)
2
sin(x + 2π) = sin(x)
π
3
1
√2
3
√2
π
2
π
0 −1
1 0
3 ∞ 0
1
tan(x)
cos2 (x) + sin2 (x) = 1
• cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
• sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
tan(a)+tan(b)
• tan(a + b) = 1−tan(a)
tan(b)
•
•
•
•
cos(p) + cos(q) = 2 cos p+q
cos p−q
2
2
p−q
sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
cos
2
2
cos(p) − cos(q) = −2 sin p+q
sin p−q
2
2
cos p+q
sin(p) − sin(q) = 2 sin p−q
2
2
• cos2 (a) =
• sin2 (a) =
cos
sin
tan
1
1+tan2 (a)
tan2 (a))
1+tan2 (a)
99
π
+ x = − sin(x)
2
π
+ x = cos(x)
2
π
1
+ x = − tan(x)
2
cos(x + π) = − cos(x)
sin(x + π) = − sin(x)
tan(x + π) = tan(x)
100
Fonctions élémentaires
• cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a)
= 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a)
2 (a)
= 1−tan
1+tan2 (a)
• sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
2 tan(a)
= 1+tan
2 (a)
• tan(2a) =
2 tan(a)
1−2 tan(a)
• cos(3a) = 4 cos3 (a) − 3 cos(a)
• sin(3a) = 3 sin(a) − 4 sin3 (a)
2
2.1
Fonctions élémentaires
Fonctions trigonométriques
• si 0 ≤ y ≤ π et −1 ≤ x ≤ 1 :
• y = arccos(x) ⇐⇒ x = cos(y)
• arccos(cos(y)) = y
• cos(arccos(x)) = x
• (cos(x))0 = − sin(x)
1
• (arccos(x))0 = − √1−x
2
• si − π2 ≤ y ≤ π2 et −1 ≤ x ≤ 1 :
• y = arcsin(x) ⇐⇒ x = sin(y)
• arcsin(sin(y)) = y
• sin(arccos(x)) = x
• (sin(x))0 = cos(x)
1
• (arcsin(x))0 = √1−x
2
• si − π2 ≤ y ≤ π2 :
• y = arctan(x) ⇐⇒ x = tan(y)
• arctan(tan(y)) = y
• tan(arctan(x)) = x
• (tan(x))0 = 1 + tan2 (x) = cos12 (x)
1
• (arctan(x))0 = 1+x
2
2.2
Logarithme népérien
•
•
•
•
(ln(x))0 = x1 , x > 0
ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
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101
B. F ORMULAIRE
• ln
1
a
= − ln(a)
e = 2.71828182845...
2.3
Exponentielle
Si y > 0 :
• y = ex ⇐⇒ x = ln(y)
• eln(y) = y
• ln(ex ) = x
• ea+b = ea eb
• e0 = 1
• e−a = 1/ea
• (ex )0 = ex
2.4 Puissance
ab = eb ln(a)
Si a > 0 :
• ax+y = ax ay
• a0 = 1
• a−x = a1x
• (ax )y = axy
• (ax )0 = ax ln(a)
Si x > 0 :
• xα+b = xα xβ
• (xα )0 = αxα−1
3
3.1
Fonctions
Dérivées
f0 =
•
•
•
•
•
•
(xα )0 = αxα−1
(eax )0 = aeax (a ∈ C)
(ln |x|)0 = x1
(cos(x))0 = − sin(x)
(sin(x))0 = cos(x)
(tan(x))0 = 1 + tan2 (x) =
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1
cos2 (x)
df
= Df
dx
102
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3.2
Fonctions
1
(arccos(x))0 = − √1−x
2
1
(arcsin(x))0 = √1−x
2
1
(arctan(x))0 = 1+x
2
(f + g)0 = f 0 + g 0
(λf )0 = λf 0 , (λ ∈ R)
0
0
0
(f
g)
= f g + fg
f
g
0
0
0
g
= f g−f
g2
(f ◦ g)0 = (f 0 ◦ g)g 0
[f (g(x))]0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
f (a + h) − f (a) = hf 0 (a) + h(h) où (h) → 0 si h → 0
f est la fonction réciproque de g (y = g(x) ⇐⇒ x = f (y)) : g 0 (x) =
1
f 0 (y)
=
1
f 0 (g(x))
Formule de Taylor
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a) +
h2 00
hn−1 (n−1)
hn
f (a) + · · · +
f
(a) + f (n) (a + θh)
2!
(n − 1)!
n!
si f (n) continue en a :
h2 00
hn−1 (n−1)
hn (n)
f (a + h) = f (a) + hf (a) + f (a) + · · · +
f
(a) + f (a) + xn (x)
2!
(n − 1)!
n!
0
où (x) → 0 si x → 0 (développement de f au voisinage de a)
f (a + h) = f (a) + hf 0 (a + θh)
(cas n = 1 : formule des accroissements finis)
3.3
Développements usuels au voisinage de 0
2
3
n
• ex = 1 + 1!x + x2! + x3! + · · · + xn! + xn (x)
4
6
2
x2n
+ x2n (x)
• cos(x) = 1 − x2! + x4! − x6! + · · · + (−1)n (2n)!
•
•
•
•
•
•
•
•
3
5
7
2n+1
x
sin(x) = x − x3! + x5! − x7! + · · · + (−1)n (2n+1)!
+ x2n+1 (x)
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + xn (x)
1−x
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + xn (x)
1+x
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + x2n (x)
1+x2
3
4
n+1
2
ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + · · · + (−1)n xn+1 + xn+1 (x)
5
7
2n+1
3
arctan(x) = x − x3 + x5 − x7 + · · · + (−1)n x2n+1 + x2n+1 (x)
(1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)
x2 + α(α−1)(α−2)
x3 + · · · + α(α−1)(α−2)...(a−n+1)
xn + xn (x)
2
6
n!
3
5
7
62
tan(x) = x + x3 + 2x
+ 17x
+ 2835
x9 + x9 (x)
15
315
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B. F ORMULAIRE
4 Primitives et Intégrales
4.1
Règles de calcul
Rb
Rb
Rb
• a (f (x) + g(x))dx = a f (x)dx + a g(x)dx
Rb
Rb
• a λf (x)dx = λ a f (x)dx
Rb
Rc
Rb
• a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
Rb
Rb
• f (x) ≤ g(x) =⇒ a f (x)dx ≤ a g(x)dx
4.2
Primitives élémentaires
α
x
xα dx = α+1
+ C, (α + 1 6= 0)
R dx
• R x = ln |x| + C
• R eax dx = a1 eax + C
• R cos(x)dx = sin(x) + C
• R sin(x)dx = − cos(x) + C
• tan(x)dx = − ln |cos(x)| + C
R dx
• 1+x
= arctan(x) + C
R 2x 2
• 1+x2 dx = ln(1 + x2 ) + C
R
• √ dx = arcsin(x) + C
•
R
1−x2
4.3
Procédés d’intégration
Rb
R u(b)
• changement de variables : a f (u(x))u0 (x)dx = u(a) f (u)du
Rb
Rb
• intégration par parties : a f (x)g 0 (x)dx = [f (x)g(x)]ba − a f 0 (x)g(x)dx
• fractions rationnelles : développer en éléments simples.
4.4
Intégrales définies généralisée
R +∞
Rx
• a f (t)dt = limx→+∞ a f (t)dt
R +∞
Ra
R +∞
• −∞ f (t)dt = −∞ f (t)dt + a f (t)dt, (a quelconque)
Rb
Rx
• a f (t)dt = limx→b a f (t)dt (f non continue en b)
R +∞
1
pour α > 1
• 1 x1α dx = α−1
R +∞ 1
• 1 xα dx = +∞ pour α ≤ 1
R1
1
pour α < 1
• 0 x1α dx = 1−α
R1 1
• 0 xα dx = +∞ pour α ≥ 1
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103
104
Fonctions de plusieurs variables
5 Fonctions de plusieurs variables
• Fonctions de deux variables : (x, y) 7→ f (x, y)
• Fonctions de trois variables : (x, y, z) 7→ f (x, y, z)
• Fonctions de n variables : (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ f (x1 , x2 , . . . , xn )
5.1
Dérivées partielles
•
∂f
(x0 , y0 ) = fx0 = limh→0 f (x0 +h,y0h)−f (x0 ,y0 )
∂x
(x0 ,y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = fy0 = limk→0 f (x0 ,y0 +k)−f
∂y
k
2
∂f
∂
= ∂∂xf2 = fx002
∂x ∂x ∂f
∂2f
∂
00
= ∂x∂y
= fxy
∂y ∂x ∂f
∂2f
∂
00
= ∂y∂x
= fyx
∂x ∂y
•
∂
∂y
•
•
•
•
∂f
∂y
=
∂2f
∂y 2
= fy002
00
00
fxy
(x0 , y0 ) = fyx
(x0 , y0 )
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B. F ORMULAIRE
6 L’alphabet grec
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
alpha
béta
gamma
delta
epsilon
zeta
éta
theta
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
rho
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
oméga
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105