I) Définir une fonction

I) DÉFINIR UNE FONCTION
CHAPITRE I : TECHNIQUES FONDAMENTALES EN ANALYSE - ÉTUDIER UNE FONCTION
L’objectif de ce chapitre est de consolider les acquis du lycée et de mettre en œuvre de nouvelles techniques et de
maîtriser un vocabulaire précis et rigoureux dans l’étude des fonctions numériques. Les preuves et les constructions
rigoureuses seront abordées ultérieurement dans d’autres chapitre. Le cours sera illustré de nombreux exemples.
En particulier, des fonctions usuelles seront introduites et leurs propriétés seront à connaître.
I) Définir une fonction
I-1) Définition analytique d’une fonction
Définir la fonction f, c’est donner :
•un ensemble D où évolue la variable x •l’expression f (x) qui dépend de x.
En langage courant, on décrit généralement la fonction par : " Soit la fonction fdéfinie sur D par f(x)=..."
Le domaine D, inclus dans R, est l’ensemble de définition de f: c’est l’ensemble des valeurs autorisées pour x.
Le réel f(x) est l’image par f de l’élément x: il a une unique valeur pour un réel xfixé dans D.
L’écriture symbolique ·f: D →F
x7→ f(x)¸se lit : "f est la fonction définie sur Dà valeurs dans Fqui à x associe f (x)"
(Attention! : →signifie "dans", 7→ signifie "associe")
Dans l’écriture symbolique, on voit apparaître un ensemble F qui contient les valeurs possibles de f(x) lorsque x
évolue dans D. C’est un domaine de valeurs de la fonction fet on dit que f est définie sur Dà valeurs dans F.
Ce domaine de valeur n’est pas unique et la précision attendue sur celui-ci dépend du contexte dans lequel on
utilise la fonction. Dans ce chapitre, nous allons étudier des fonctions à valeurs réelles aussi on pourra toujours
prendre par défaut F =R.
On précise parfois le domaine de valeurs qui est le plus petit et qu’on appelle l’image de la fonction f :
Si f: D →Ralors l’image de fest : f(D) ={f(x)|x∈D} se lit "ensemble des réels f(x) lorsque xappartient à D"
Attention! Il ne faut pas confondre le domaine de définition, domaine de valeurs et l’ image de la fonction.
Changer le domaine de définition D, c’est changer la fonction f. Par contre, pour une fonction fdéfinie sur D
donnée, on peut proposer plusieurs domaines de valeurs mais il y aura une unique image f(D).
Il ne faut pas confondre aussi la fonction fet l’expression f(x)!
Une fonction est définie par son expression et par son ensemble de définition! Toutefois, souvent, la fonction fest
introduite dans les sujets par : " Soit la fonction fdonnée par f(x)=..."
Si l’ensemble de définition n’est pas précisé, il s’agit par défaut de l’ensemble des réels xoù l’expression f(x)existe.
Exemples :
1. La fonction exp est définie sur à valeurs dans mais aussi dans . Son image est
2. La fonction ln définie sur à valeurs dans . Son image est
3. Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur à valeurs dans . Leur image est
4. L’écriture symbolique de la fonction ud’expression u(x)=ln(x2−1) est :
5. ·g: [0,+∞[→R
x7→ p2+x¸est à valeurs dans et son image est
·[0,2] →R
x7→ p2+x¸n’est plus la fonction g: c’est la restriction de gà [0,2] qu’on noteg|[0,2].
Son image est
On peut parfois étendre le domaine de définition en définissant un prolongement de la fonction. Pour xréel :
p2+xexiste ⇔. Si on définit hsur avec h(x)=p2+x, on a
Chapitre I 1/12 LEROY - PTSI Paul Constans

I-2) Fonction donnée par une représentation graphique I) DÉFINIR UNE FONCTION
EXEMPLE NO1 Soit v(x)=2(x2−x)
x+|x−2|.
1. Préciser le domaine de définition de vet simplifier l’expression v(x) selon les valeurs de x.
Étant donné la fonction réelle fdéfinie sur l’ensemble D, on définit
• pour toute partie A de D, l’image directe par fde la partie A par f¡A¢=©f(x)|x∈Aª
• pour toute partie B de R, l’image réciproque par fde la partie B par f−1¡B¢=©x∈D|f(x)∈Bª.
En particulier, si B ={k} où kest un réel, f−1({k})est l’ensemble des antécédents de kpar f.
Définition : Image directe, Image réciproque
Remarques :
•f(D) est ce qu’on a appelé ;
• Si kest un réel, ne pas confondre f(k), f({k})et f−1({k}):
f(k) est
f({k})est
f−1({k}) est
I-2) Fonction donnée par une représentation graphique
Parfois la fonction est directement donnée par sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On peut alors déterminer graphiquement des informations : images, antécédent mais aussi solutions d’équations
ou d’inéquations. Ces lectures graphiques donnent des réponses imprécises. Aussi, lorsqu’on dispose d’une expres-
sion analytique pour la fonction, on l’utilisera pour justifier rigoureusement les réponses.
SUITE EXEMPLE NO1
2. Esquisser une représentation graphique de v.
3. Donner graphiquement :
• l’image de −1 par vet les antécédents par vde 2, ceux de 0 et ceux de −1
• l’image directe par vde [1;2] et celle de ]0;2[.
• l’image réciproque par vde R∗
+et celle de [2,6[
4. Prouver analytiquement vos réponses à la question précédente.
Chapitre I 2/12 LEROY - PTSI Paul Constans

I-2) Fonction donnée par une représentation graphique I) DÉFINIR UNE FONCTION
La connaissance des courbes représentatives des fonctions de référence permet souvent d’éviter une étude inutile
pour d’autres fonctions. En effet, on peut souvent obtenir les courbes représentatives à l’aide de transformations
géométriques simples à partir des courbes de référence.
Dans la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé ¡O; #» ı,#» ¢et aest un nombre réel non nul.
On note Cla courbe représentative de la fonction fc’est à dire la courbe d’équation C:y=f(x) dans ¡O; #» ı,#» ¢
On obtient les courbes d’équation
Cv:y=f(x)+aet Ch:y=f(x+a)
à partir de Cen appliquant
pour Cv:
pour Ch:
#»
ı
#»
C
On obtient les courbes d’équation
Cx:y=−f(x) et Cy:y=f(−x)
Co:y=−f(−x) et Cd:y=f(a−x)
à partir de Cen appliquant
pour Cx:
pour Cy:
pour Co:
pour Cd:
#»
ı
#»
C
#»
ı
#»
C
On obtient les courbes d’équation Cev :y=a f (x) et Ceh :y=f(ax) à partir de Cen appliquant :
pour Cev :
pour Ceh :
#»
ı
#»
C
(a=0.4)
(a=1.6)
#»
ı
#»
C
(a=0.4)
(a=1.6)
EXEMPLE NO2 Sans aucune étude, esquisser la représentation graphique de la courbe d’équation :
1) y=−px−3 2) y=ln(2−x)+1 3) y=e−x+2
BILAN : FONCTIONS TRINÔME DU 2ND DEGRÉ,EXPONENTIELLE,LOGARITHME,VALEUR ABSOLUE ET PARTIE ENTIÈRE
EXEMPLE NO3 Montrer que les réels suivants sont rationnels :
A=(p8−p18)(p50+p72−p32), B =q¡1−p5¢2−4
3−p5et C =e3ln10+ln(0.08)−ln(25)
EXEMPLE NO4 Résoudre les équations ou inéquations suivantes :
1) |2x+4|=3 2)p1−x=p2(1−x) 3) |ln(2x)|Ê1 4) ln(|x+1|)<0 5) |ex−2|=e2x−1 6) j¡x−1
2¢2k=x
Chapitre I 3/12 LEROY - PTSI Paul Constans

II) EXPLOITER LES SYMÉTRIES D’UNE FONCTION POUR RÉDUIRE LE DOMAINE D’ÉTUDE
II) Exploiter les symétries d’une fonction pour réduire le domaine d’étude
Certaines propriétés de la fonction permettent de restreindre l’étude à un domaine plus petit que son domaine de
définition car elles traduisent des propriétés géométriques de la courbe représentative.
Une fonction fdéfinie sur un domaine D inclus dans Rest paire si :
• D est symétrique par rapport à 0 : ∀x∈D, −x∈D
• Pour tout xdans D, f(−x)=f(x)
#»
ı
#»
La courbe représentative dans un repère orthogonal ¡O; #» ı,#» ¢présente une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Il suffit donc d’étudier la fonction sur D∩[0;+∞[
Exemples de référence :
Définition : Parité
Une fonction fdéfinie sur un domaine D inclus dans Rest impaire si :
• D est symétrique par rapport à 0 : ∀x∈D, −x∈D
• Pour tout xdans D, f(−x)=−f(x)
#»
ı
#»
La courbe représentative dans un repère orthogonal ¡O; #» ı,#» ¢présente une symétrie par rapport à l’origine.
Il suffit donc d’étudier la fonction sur D∩[0;+∞[
Exemples :
Définition : Imparité
Remarque : Si fest une fonction impaire définie sur D contenant 0 alors
Une fonction fdéfinie sur un domaine D inclus dans Rest Tpériodique où T ∈R∗lorsque
∀x∈R,x∈D⇔x+T∈D et ∀x∈D, f(x+T) =f(x)
#»
ı
#»
Il suffit alors d’étudier la fonction sur un intervalle d’amplitude |T|puisque la courbe représentative
de la fonction f dans un repère orthogonal (O; #» ı,#» )est conservée par les translations de vecteurs k T#» ı (où k ∈Z)
Exemples :
Si ω>0 et ϕ∈R, les fonctions [t7→cos(ωt+ϕ)] et [t7→sin(ωt+ϕ)] sont
La fonction tangente est Si ω>0 et ϕ∈R, la fonction [t7→tan(ωt+ϕ)] est
Définition : Périodicité
BILAN FONCTIONS COSINUS ET SINUS
EXEMPLE NO5 Résoudre les équations (E1) : sin(2x)=1
2(E2) : cos(2x)=sin(x) (E3) : sin(3x)+p3cos(3x)=0
Pour (E2), représenter les solutions sur la droite réelle. Exprimer alors l’ensemble solution le plus simplement pos-
sible en justifiant votre réponse.
BILAN FONCTION TANGENTE
Chapitre I 4/12 LEROY - PTSI Paul Constans

III) JUSTIFIER LA RÉGULARITÉ D’UNE FONCTION ET ÉTABLIR SON SENS DE VARIATION
III) Justifier la régularité d’une fonction et établir son sens de variation
• Si fest définie sur un voisinage D d’un réel a(mais pas forcément en a) alors
∗lorsque fest définie en aet lim
x→af(x)=f(a), on dit que f est continue en a
(éventuellement uniquement lim
x→a±f(x)=f(a) si aest une extrémité)
∗lorsque fn’est pas définie en amais que lim
x→af(x)=`∈R,
alors on peut définir fsur D∪{a} en posant f(a)=`, on dit qu’on prolonge f par continuité en a.
En fait, on définit une "nouvelle" fonction car on a changé le domaine de définition) mais, en général,on convient de l’appeler encore f
• La fonction fdéfinie sur le domaine D de Rest continue sur D si elle est continue en apour tout réel ade D.
Lorsqu’on demande d’étudier la continuité de f, on cherche le plus grand domaine où la fonction fest continue
et on l’obtient éventuellement en prolongeant fpar continuité.
Définition : Continuité, prolongement par continuité
• Soient [f: I →R] et [g: I →R] des fonctions continues sur l’intervalle I, et αet βdes réels alors :
∗αfest continue sur l’intervalle I (multiplication par un scalaire)
∗f+gest continue sur l’intervalle I (somme)
∗αf+βgest continue sur l’intervalle I (combinaison linéaire)
∗f g est continue sur l’intervalle I (produit)
∗Si gne s’annule pas sur l’intervalle I, f
gest continue sur l’intervalle I (quotient)
• Soient [f: I →R] continue sur l’intervalle I et g: J →Rcontinue sur l’intervalle J avec f(I) ⊂J alors
[g◦f: I →R] est continue sur l’intervalle I (composition)
Si fest (strictement) monotone sur I et que gest (strictement) monotone sur J
alors g◦fest aussi (strictement) monotone sur I.
Si les deux fonctions sont de monotonie contraire alors g◦fsera décroissante.
Si les deux fonctions ont la même monotonie alors g◦fsera croissante.
Théorème : Théorèmes usuels sur la continuité
EXEMPLE NO6
Prouver que le sinus cardinal d’expression sinc(x)=sin x
xsi x6=0 est C0sur Rpar prolongement et préciser sinc(0)
EXEMPLE NO7 Étudier la continuité et la monotonie de ·f:x7→tanµ1
1+x2¶¸
Chapitre I 5/12 LEROY - PTSI Paul Constans