Didactique des mathématiques 1. Espace topologique - HEP

Didactique des mathématiques
Semestre 2
Cours 10
C.Bazzoni
Mai 2016
Construction de l’espace chez
l’enfant
Du point de vue des mathématiques :
◦ Espace topologique
◦ Espace projectif
◦ Espace euclidien
2
1
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
1. Espace topologique
Notions:
•
•
•
•
•
•
•
Continu
Discontinu
Voisinage
Frontière
Intérieur
Extérieur
Troué
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
1
1. Espace topologique
Ages: entre 2 et 7 ans (1-2H)
L’enfant ne perçoit que des rapports
topologiques entre les objets
•
•
•
•
•
Rapport
Rapport
Rapport
Rapport
Rapport
de voisinage
de séparation
d’ordre ou de succession spatiale
d’entourage et d'enveloppement
de continuité et discontinuité
4
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
5
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
1. Espace topologique
•
•
Par le biais du jeu symbolique, l’enfant
s’adapte intellectuellement et
affectivement au monde qui l'entoure, il
commence à percevoir l’espace sans que
son corps ait besoin de l’expérimenter
directement
C'est à ce stade qu'apparaît
l'égocentrisme: La vision du monde de
l'enfant se fait par rapport à lui
6
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
2
1. Espace topologique
•
•
•
Distinction entre contours rectiligne et
curviligne (5-6 ans)
Jusqu’à 7 ans, la « droite » est
« parallèle » au bord de la table
Perception tactile de formes
géométriques (6-7 ans)
7
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
8
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
1. Espace topologique
•
L’enfant construit son espace
sensorimoteur (sensori: perception et
moteur: activités motrices de découverte)
•
Relation entre le tout et ses parties.
Découpe d’un carré, d’un triangle,…
9
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
3
2. Contexte
Vers 5-6 ans, la prédominance droite/gauche (latéralité),
stimule la structuration de l'espace
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2. Espace projectif
Notions :
• Gauche
• Droite
• Avant
• Arrière
• Dessus
• Dessous
11
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2. Espace projectif
Ages : entre 6 et 11 ans (2-7H)
•
•
•
•
Liberté de mouvement accrue
Variation des points de vue
Le corps n'est plus perçu comme
l’origine de tout espace
Egocentrisme exocentrisme
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4
2. Espace projectif
•
Processus de décentration
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2. Espace projectif
• Capacité
de percevoir l’espace sans être obligé de
s'y déplacer
analyse de l’espace par l’observation
• Système
de coordonnées, horizontalité (8-9 ans)
• Capacité
de se mettre mentalement à la place
d'autrui
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Que voit la personne assise en face de moi ?
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2. Espace projectif
Le réalisme visuel succède au réalisme intellectuel
6-7 ans
10-11 ans
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2. Espace projectif
L’enfant dessine tel qu’il voit, selon sa perspective
d’observateur (vers 9 ans)
espace perçu
5-6 ans
10-11 ans
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2. Espace projectif
L’image est imitation intériorisée, non pas de l’objet
mais des accommodations propres à l’objet (ce que
l’enfant pense que l’on va en faire)
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3. Espace euclidien
Notions :
• Distance
• Eloignement
• Mesures
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3. Espace euclidien
• Dessin
correct de l’eau dans un récipient
11 ans, disparition des orientations
perpendiculaires (poteaux sur une colline)
• Dès
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Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
3. Espace euclidien
Âges : vers 11 ans et plus (7-8H)
Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés et
orientés selon un système de référence stable qui leur
est extérieur
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7
4. Espace euclidien
Âges : vers 11 ans et plus (7-8H)
•
Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés
et orientés selon un système de référence stable qui
leur est extérieur
Anicia,14 ans
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3. Espace euclidien
Sébastien
15 ans
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3. Espace euclidien
Le niveau d’abstraction augmente avec l’âge et
la formation
• Espace sphérique…
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3. Espace euclidien
•
•
•
L’enfant conçoit l’espace selon des règles
précises qui ne font plus appel ni au
mouvement, ni à l’observation mais
seulement à la représentation
Parallélisme, transformations du plan
Notion de distance et de mesures
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3. Espace euclidien
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TP et lecture - cours 10
Travail de groupe :
rechercher 3 activités dans les moyens
d’enseignement, jeux, etc... qui illustrent la
mise en place des étapes de construction
de l’espace chez les enfants de :
3-4H 5-6H 7-8H
à lire pour la fois suivante :
Fichier COROME chapitre 9
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Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
9
Pour chaque activité, préciser :
Les objectifs
Le type d’espace travaillé (…, projectif,
euclidien)
Un commentaire relatif au déroulement
Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE
10
Quelques aspects du développement de l'espace
rapport de voisinage, séparation, ordre, entourage,continuité.
perçu
Age des enfants
Développement de
l'enfant , aspect
psychologique
1
décentration, relations spatiales se coordonnent, Corps au milieu d'autres
Les objets sont coordonnés et
orientés selon un système de
conçu
référence
5
10
12
tout se
rapporte
L'objet cesse d'être
à l'objet
envisagé pour luiet
même. La notion de
l'enfant.
Décentré point de vue apparaît.
continu, discontinu, voisinage,
frontière, intérieur, extérieur distinction entre les Perception tactile des
contours rectilignes formes
et curvilignes
gauche droite, avant arrière,
dessus, dessous. La "droite"
projective est parallèle au bord
projectif de la table
Egocentrique
topologique
Développement de
l'espace en temps que
notion mathématique
L'objet peut
être
représenté
à l'échelle
labyrinthes, jeu de la vie, tore,ballons de foot,
plans de ville
Le réalisme visuel
succède au réalisme
intellectuel. L'image est
imitation intériorisée
euclidien
Approche du micro et meso
espace. Acquisition en ordre
dispersé
préparer des parcours pour les autres,
choisir des itinéraires
suivre un parcours, verbaliser
Lignes, continuité, comparer des
itinéraires. Chercher un système de
référence.
Désigne des situations, les décrit
Dessiner des itinéraires. Dessiner des
figures
Découvrir des objets cachés à l'aide
d'indications
perçois des situations spatiales
Distance, éloignement, mesures, verticalité,
eau dans un récipient, transformations du
plan
représentation du macro dans le
micro espace
Découverte du macro espace
S'orienter, faire des rondes, jeux des
places publiques
Apprentissage
Vit les situations. Espace sensori
moteur
Saisir des ob jets à portée de main
Attitudes
Occuper l'espace, se cacher, entrer,
sortir. Enfiler des perles. Enrober des
objets.
Comportement, compétences
Hypothéticodéductif
Tracer des parcours sur une carte,
mesurer des distances. Schéma
topographique, plan de ville
espace vécu
mb mai 2013
Composantes de la notion d'espace
Pour pouvoir se représenter l'espace comme l'adulte, l'enfant doit maîtriser 3 type de représentations :
Les relations topologiques
Une personne établit des relations topologiques lorsqu'elle apprécie les positions relatives des éléments
dans son environnement de façon élémentaire et qualitative, et en se référant à son seul point de vue.
Cela signifie qu'elle est capable de positionner un objet de la scène visuelle par rapport à un autre (et
donc de se représenter la position relative). Il existe plusieurs types de relations topologiques :
- Relations de localisation (devant, à droite,…)
- Relations de voisinage (loin, près de, à coté,…)
- Relations d'enveloppement (= d'inclusion : au milieu, à l'intérieur, l'extérieur,…)
- Relations de continuité (à la limite, bord, joindre, toucher,…)
- Relations de succession (au début, en avant, au bout,…)
- Relations de séparation (séparé, écarté, en dehors,…)
Il s'agit des premières relations que l'enfant va être capable d'établir, et dont il va pouvoir se souvenir
(conserver en mémoire). Les relations topologiques se développent entre 0 et 7-8 ans (stades sensorimoteur et préopératoire)
L'espace projectif
Une personne établit des relations projectives lorsqu'elle apprécie les positions relatives des éléments
de l'environnement en adoptant un point de vue différent de celui qu'elle a réellement sur cet
environnement. Pour établir la distinction entre l'espace topologique et l'espace projectif, Piaget
introduit le test des 3 montagnes : Il montre à l'enfant une maquette représentant 3 montagnes, dont
l'une est grande, l'autre moyenne, la dernière est petite. Si l'enfant ayant acquis la représentation d'un
espace topologique, est capable de comprendre si la montagne grande est à droite de la montagne plus
petites, il n'est cependant pas encore capable, lorsqu'on lui montre une poupée se trouvant de l'autre
côté de la maquette, de répondre correctement à des questions comme "pour la poupée, la grande
montagne est-elle aussi à droite de la petite?". Il ne sait répondre qu'en prenant en compte son propre
point de vue, et donc, localise les objets et relations à partir de sa propre localisation.
A contrario, un enfant se représentant un espace projectif est capable de se mettre mentalement à la
place d'autrui, et comprend notamment que certaines relations s'inverse (par exemple, devant pour lui,
est derrière pour quelqu'un qui est en face, droite et gauche s'inverse pour quelqu'un qui lui fait face,
etc...
Cette étape est donc celle de la mise en relation des perspectives, la période des opérations mentales de
transformation (rotation, inversion…). Elle se développe, selon Piaget, pendant le stade opératoire (7-8
à 11-12 ans).
L'espace Euclidien
L'espace euclidien est l'espace tel qu'on se le représente en mathématiques, qui correspond à savoir
positionner et se positionner dans un espace de coordonnées, et sert par exemple à estimer (distance,
direction, volume, surface, position par rapport à une certaine longitudes et latitudes) des
caractéristiques de l'espace ou des objets contenus dans cet espace. Un enfant ou un adulte capable de
se représenter cet espace a atteint le stade formel (formalisation des dimensions représentées par
l'espace et les éléments de celui-ci). L'acquisition de cette représentation de l'espace dépend
notablement du niveau d'éducation, n'est donc pas systématique : de nombreux adultes restent au stade
de l'espace projectif.
UF Math
S2
La construction de l’espace chez l’enfant
La construction de l'espace se fait du concret vers l'abstrait, du physique au mental et
s'enracine dans le domaine perceptif pour se poursuivre sur le plan représentatif.
L’enfant construit ainsi, peu à peu, l'espace de la naissance jusqu'à l'âge adulte, à partir de
son activité, au fur et à mesure du développement de ses activités gestuelles, de sa capacité
de locomotion et d’exploration de l’environnement.
Il dispose pour cela de deux activités motrices essentielles : la préhension (qui lui permet
de saisir, de toucher, de lancer, de jeter… des objets) et la locomotion (qui va lui permettre
d’agrandir considérablement les dimensions de l’espace investi et de relativiser et
multiplier les points de vue).
Le développement de la connaissance de l’espace se fait selon trois stades successifs :
selon son âge, l’enfant se situe dans l’espace topologique, projectif ou euclidien.
constructionespace.docx (Avril 14)
1/3
C. Bazzoni et P.-O.r Vallat
UF Math
S2
Espace topologique
•
•
•
Le système est centré sur le sujet qui ne fait pas la différenciation du soi et du nonsoi.
L’apprentissage des notions spatiales est d’abord utilitaire, elles n’ont de signification
que par rapport à sa position personnelle : haut, bas, devant, derrière.
Espace de l’action et du mouvement
Avant deux ans
À partir de réflexes simples et
d’habitudes acquises, l’enfant
découvre progressivement son
environnement.
Le développement de ses capacités perceptives et
motrices lui permet de découvrir l’espace vécu.
En manipulant les objets et en explorant l’espace
immédiat, avec lequel il est en contact direct.
Entre 2 et 7 ans
Par le biais du jeu symbolique,
l’enfant s’adapte
intellectuellement et
affectivement au monde qui
l'entoure, il commence à
percevoir l’espace sans que son
corps ait besoin de
l’expérimenter directement
C'est à ce stade qu'apparaît
l'égocentrisme. La vision du
monde de l'enfant se fait par
rapport à lui
L’enfant ne perçoit que des rapports topologiques
entre les objets :
•
•
•
•
•
constructionespace.docx (Avril 14)
le rapport de voisinage qui est le rapport le plus
élémentaire et correspond à la proximité des
éléments perçus dans un même champ visuel
(près ; loin ; à côté...)
le rapport de séparation qui correspond à
dissocier deux éléments voisins qui peuvent s’inter
pénétrer et se confondre en parties
le rapport d’ordre ou de succession spatiale qui
existe entre des éléments voisins et séparés
lorsque nous les situons les uns à la suite des
autres (devant/derrière ; dessus, dessous).
le rapport d’entourage et d'enveloppement qui
consiste à percevoir un élément entre deux autres
éléments ou entouré par d'autres éléments
(intérieur/extérieur, dedans, dehors...).
le rapport de continuité et discontinuité qui
existe dans le cas des lignes ou des surfaces
(formes ouvertes ou fermées)
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Espace projectif
Entre 6 et 11 ans
L’enfant est capable de
percevoir l’espace sans être
obligé de s'y déplacer : il
analyse l’espace par
l’observation.
Le développement physique de l’enfant lui permet de
libérer ses mouvements, d’être plus endurant,
d'accéder à des espaces de plus grande dimension,
de varier ses points de vue sur la réalité.
Les relations spatiales se coordonnent entre elles et
on se dirige vers un espace projectif ou l'objet n'est
plus seulement envisagé en lui-même, mais selon des
points de vue relatifs au sujet et à l’objet à la fois.
Le processus de décentration permet à l'enfant de
penser son corps comme un objet au milieu d'autres et
non plus comme l’origine de tout espace.
Espace euclidien
Dès environ 11 ans
L’enfant conçoit l’espace selon
des règles précises qui ne font
plus appel ni au mouvement, ni
à l’observation, mais seulement
à la représentation.
constructionespace.docx (Avril 14)
Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés et
orientés selon un système de référence stable qui leur
est extérieur
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