Algèbre linéaire et géométrie vectorielle : Opérations et équations

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
Opérations sur les vecteurs
Addition de vecteurs
u
v
u +v
a1
a2
an
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+
b1
b2
bn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
a1+b1
a2+b2
an+bn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Soustraction de vecteurs
u
v
u −v
v
u
a1
a2
an
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
−
b1
b2
bn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
a1−b1
a2−b2
an−bn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Multiplication par un scalaire
u
ku
k
a1
a2
an
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
ka1
ka2
kan
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Multiplication scalaire
u
v
θ
u
⋅v
=u
⋅v
cos( θ )
u1
un
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⋅
v1
vn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=u1v1+...+unvn
Multiplication vectorielle
u
×v
=u
⋅v
sin( θ ) n
u1
u2
u3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
×
v1
v2
v3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
i j k
u1u2u3
v1v2v3
=
u2v3−u3v2
u3v1−u1v3
u1v2−u2v1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Norme d’un vecteur
u1
un
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=u1
2+u2 2+... +un 2
Sous-espace vectoriels
Les bases
Considérons un ensemble B={u1,u2,...,um}
d'un sous-espace vectoriel V alors:
B est linéairement indépendant si
λ
1u1+
λ
2u2+...+
λ
mum=0 possède
exactement une solution
B est générateur de V si pour tout y∈V,
l'équation λ
1u1+
λ
2u2+...+
λ
mum=y
possède au moins une solution.
B est une base, si B est un ensemble
linéairement indépendant et générateur
de V
Angle entre 2 vecteurs
Si u et v sont 2 vecteurs de n alors
l'angle entre les deux vecteurs est donnés
par: cos( θ )=u
⋅v
u v
Un sous-ensemble V de n est un
sous-espace vectoriel si:
u +v ∈V pour tout u ,v ∈V et
λ u ∈V pour tout u ∈V et λ ∈
Projection
La projection d'un vecteur u sur un vecteur v
est donné par: u
v
=projv
u
( )
=u
⋅v
v
2v

a11 ... a1n
am1... amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
±
b11 ... b1n
bm1... bmn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
a11 ±b11 ... a1n±b1n
am1±bm1... amn ±bmn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Opérations sur les matrices
Addition et soustraction de matrices
Multiplication par un scalaire
k
a11 ... a1n
am1... amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
ka11 ... ka1n
kam1... kamn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Multiplication de matrices
Le produit est définie seulement lorsque la dimension des matrice
a la forme: Am×pBp×n=Cm×n dans ce cas, on a:
a11 ... a1p
am1... amp
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
b11 ... b1n
bp1... bpn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
c11 ... c1n
cm1... cmn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
avec cij =
k=1
p
∑aikbkj
Matrice inverse
Si A est une matrice carré, alors on appelle matrice
inverse (dénoté A−1) une matrice tel que
AA−1=A−1A=I
Si A est une matrice carré, alors la matrice adjointe
dénoté adj(A) est la matrice formé des cofacteurs
Cij sous forme de matrice.
Si A est une matrice carré tel que det(A)≠0, alors
A−1=1
det(A)adj(A)
[ ]
T dans le cas d'une matrice
2×2 on obtient: a b
c d
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−1
=1
ad −bc
d−b
−c a
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
Méthode de Gauss
Les opérations suivantes sur
les lignes d’une matrice
augmenté ne change pas
l’ensemble des solutions du
système
Li+aLj→Li si i≠j
aLi→Li si a≠0
Li↔Lj
aLi+bLj→Li si i≠j
et a≠0
Théorème du rang
Si A est une matrice m×n, alors:
rang(A) +nullité(A) =n
Transposé d’une matrice
Si A est une matrice, alors sa transposé (dénoté AT) est la matrice
obtenu en inversant les lignes et les colonnes de A
Propriétés du déterminant
Si A et B sont des matrices
carrés de même dimension,
alors
det(AB) =det(A)det(B)
det(AT)=det(A)
det(A−1)=1
det(A)
Base de span, Im et Ker
Une base de span est obtenu en applicant
la méthode de Gauss au vecteur placé
horizontalement
Une base de ker est obtenu en résolvant le
système d'équation Ax =b
Un base de Im est obtenu en applicant la
méthode de Gauss à la matrice tranposé
Normalisation de vecteurs
u
u

Théorème de la matrice inverse
Si A est une matrice de dimension n×n,
alors les énoncés suivant sont équivalent:
(a) La matrice A est inversible
(b) det(A)≠0
(c) ker(A)={0}
(d) Im(A)=n
(e) rang(A)=n
(f) nullité(A)=0
(g) Les colonnes de A forment une base de n
(h) Ax =b a une unique solution
a b
c d
=ad −bc
Si A est une matrice carré, alors on appelle
mineur de A pour à la position i,j
(dénoté Mij ) le déterminant de la matrice
obtenu en enlevant la ie ligne et la je colonne.
Si A est une matrice carré, alors on appelle
cofacteur de A pour la position i,j la valeur
Cij =(−1)i+jMij
Si A est une matrice carré de dimension n×n
avec n≥3, alors on définit le déterminant
comme étant:
det(A)=
k=1
n
∑aikCik en utilisant la ie ligne
det(A)= akj
k=1
n
∑Ckj en utilisant la je colonne
Calcul du déterminant Opérations sur le déterminant
Li+cLj→Li avec i≠j ne change pas la valeur
du déterminant
Li↔Lj avec i≠j change le signe du déterminant
cLi→Li multiplie le déterminant par c
Équations d’une droite en 2 dimensions
Équation fonctionnelle: y=mx +b avec m=Δy
Δx
est la pente et b la valeur initiale
Équation normale: ax +by +c=0 avec (a,b) un
vecteur normale à la droite
Équation vectoriel: x
y
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=tv
+P avec v
 un
vecteur directeur et P un point de la droite
Équation paramétrique: x=v1t+p1
y=v2t+p2
⎧
⎨
⎩ avec v
=v1
v2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
un vecteur directeur et p1
p2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ un point de la droite.
Équation symétrique: x−p1
a
=y−p2
b avec v
=a
b
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
un vecteur directeur et p1
p2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Distance entre un point et une droite en deux dimensions
Si ax +by +c=0 est une droite et p
q
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ est un point, alors la plus courte distance entre la droite et le
point est: ap +bq +c
a2+b2

Droites en 3 dimensions
Équation vectorielle: x =tv +P, t∈
Équation paramétrique:
x=tv1+p1
y=tv2+p2
z=tv3+p3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪, t∈
Équation symétrique: x−p1
v1
+y−p2
v2
+z−p3
v3
avec v =
v1
v2
v3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
est un vecteur directeur, et
P=
p1
p2
p3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
est un point de la droite.
Plans en 3 dimensions
Équation vectorielle: x
!
=tu
!
+kv
!, t,k∈"
Équation paramétrique:
x=tu1+kv1+p1
y=tu2+kv2+p2
z=tu3+kv3+p3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪, t,k∈"
Équation normale: ax +by +cz +d=0
avec u
!
=
u1
u2
u3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, v
!
=
v1
v2
v3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
sont des vecteurs
directeurs
n
!
=
a
b
c
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ est un vecteur normal et
P=
p1
p2
p3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
est un point de la droite.
Distance entre un point et un plan
Si ax +by +cz +d=0 est un plan et P=
p
q
r
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
est
un point de la droite, alors la plus courte distance
entre le plan et le point est donné par:
ap +bq +cr +d
a2+b2+c2
Distance entre un point et une droite en 3
dimensions
Si P est un point de la droite, u un vecteur
directeur de la droite, et Q un point
quelconque alors la plus courte distance
entre Q et la droite est donné par:
PQ −PQu
Distance entre 2 droites
Pour trouver la distance entre deux droites
parallèles, on trouve la plus courte distance
entre un point de la première droite et le
deuxième droite. Si les deux droites ne sont
pas parallèle, alors on utilise la formule:
PQ ⋅u ×v
( )
u ×v
 où P est un point de la
première droite, Q est un point de la
deuxième droite, u est un vecteur directeur
de la première droite, et v un vecteur
directeur de la deuxième droite.
Quelques propriétés de l’inverse et transposé
(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT
(AB)T=BTAT
(A−1)−1=A
(AB)−1=B−1A−1