2nde Chapitre 2 : Ordre. Valeur absolue I. Ordre et comparaison Comparaison de deux réels : Comparer deux réels a et b, c’est chercher à savoir quel est le plus grand Règle de base : a < b équivaut à dire que a – b < 0 ( ou s’ils sont égaux ) . Remarque : Comparer a Ex : 61 60,8 > 17 17 et b revient à étudier le signe de a – b . ; 40 40 < ; 7 6 20 102,01 20 102,01 < en effet < 1 et > 1 21 102 21 102 Dans la suite on considère des inégalités strictes ( a < b ) mais tous le énoncés restent valables avec des inégalités « larges » ( a ≤ b ) Ordre et addition : • Si a<b alors a+c<b+c . a−c < b−c Ajouter ( ou soustraire ) un même nombre à chaque membre d’une inégalité d’où la règle de transposition : si x + a < b alors x < b – a ne change pas son sens . ( on ajoute - a à chaque membre ) • Si a < b et c < d alors a + c < b + d . En ajoutant membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens . Ex : si x ≤ -3 alors x–1≤-4 ; si 2 < x < 6 alors -2 < x – 4 < 2 . Ordre et multiplication : • Si a < b et c > 0 alors a × c < b × c a b . < c c Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif, • Si a < b et c < 0 alors ne change pas son sens. a × c > b × c . a b > c c Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, change le sens de l’inégalité . • Si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d alors a×c<b×d. En multipliant membre à membre des inégalités de même sens, entre nombres positifs, on obtient une inégalité de même sens . si 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2 alors 2×1 ≤ xy ≤ 3×2 ainsi 2 ≤ xy ≤ 6 x est un réel tel que -1 < x < 2 . On pose B = -2x – 3 ; trouver un encadrement de B Ex : Règle des signes : le produit et le quotient de deux nombres de même signe est toujours positif. le produit et le quotient de deux nombres de signes contraires est toujours négatif. Conséquence : si C = AB et si A > 0 alors si C = AB et si A < 0 alors B et C sont de même signe. B et C sont de signes contraires. 2nde II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses Passage au carré, à la racine carrée : a et b étant deux nombres positifs distincts, a<b équivaut à a2 < b2 . a< b équivaut à a<b . Preuve : on sait que a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b ) a et b étant deux nombres positifs distincts, j’en déduis que a + b > 0 il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que : ( a – b ) et a2 – b2 sont de même signe . • • Si a < b alors a – b < 0 donc a2 – b2 < 0 2 2 2 Si a < b alors a – b2 < 0 donc a–b<0 Ainsi ( ( a<b ) et par suite a2 < b2 et par suite a < b ⇔ ( a2 < b2 ) autrement dit : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés . a < b ) ⇔ ( ( a )2 < ( b )2 ) ⇔ ( a < b ) Remarque : l’inégalité -2 < 1 est vraie, mais (-2)2 < 12 c’et faux. Si a et b sont tous deux négatifs a < b équivaut à a2 > b2 . Passage à l’inverse : a et b étant deux nombres strictement positifs, a<b Preuve : 1 1 1 1 1 1 b−a > équivaut à – > 0 . Or – = a b a b a b ab équivaut à 1 1 > . a b et ab > 0 car a > 0 et b > 0 il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que : 1 1 – a b et b – a sont de même signe . 1 1 – > 0 équivaut à b – a > 0 c’est-à-dire a < b . a b autrement dit : deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses . 1 est un réel tel que 2 < x < 5 . donner un encadrement de A = x + x III. Comparaison de a, a2 et a3 lorsque a ≥ 0 Théorème : a ∈ R*+, Preuve : • Si a > 1 donc • Ex : alors a3 > a2 > a ; si 0 < a < 1 alors a3 < a2 < a . si a > 1 alors d’une part et d’autre part a3 > a2 > a . a2 > a a3 > a2 ( on multiplie les deux membres par a > 0 ) ( on multiplie les deux membres par a2 > 0 ) Si 0 < a < 1 alors de la même façon : a3 < a2 < a . x est un réel tel que 3 < x < 4 . On pose A = 4 – x. Comparer les nombres A, A2 et A3 . -4 < -x < -3 donc 0<4–x<1 par suite 0 < A < 1 et A3 < A2 < A . 2nde IV. Valeur absolue Distance entre deux réels : la distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit. Cette distance est notée x − y ou encore y − x . x − y se lit « valeur absolue de x moins y » . Remarque : la distance entre deux réels est toujours un nombre positif Ex : Interprétation graphique de x−y : Valeur absolue d’un réel : lorsque y = 0, x − y = x . Le nombre réel x est donc la distance entre x et 0 ; x lorsque x ≥ 0 x = -x lorsque x ≤ 0 Remarque : . . 0 = 0 car c’est la distance entre 0 et 0 . x est le plus grand des deux nombres x ou -x . Ex : 5 = 5 car 5 ∈ R+ -3 = 3 car -3 ∈ R– si x est un réel : Propriétés : 1. x 2 = x2 car x2 ≥ 0 . x =0 équivaut à dire que x = 0 . 2. -x = x 3. x = y . équivaut à dire que x = y ou x = -y . Ex : Trouver les réels x tels que x−2 = 3 . Il s’agit de trouver les réels tels que la distance entre x et 2 est égale à 3 . 2 – ( -1 ) = 3 et 5 – 2 = 3 donc x = 5 ou x = -1 Méthode : x − 2 = 3 peut s’écrire x − 2 = 3 ce qui équivaut à x – 2 = 3 ou x – 2 = -3 . Trouver les réels x tels que x−2 ≤ 3 -1 ≤ x ≤ 5 .C’est-à-dire les réels tels que la distance entre x et 2 est inférieure ou égale à 3 . 2nde V. Intervalles et valeur absolue Définition : a et b sont deux réels tels que a < b . Le tableau ci-dessous résume les différents types d’intervalles . Remarque : +∞ se lit « plus l’infini » -∞ se lit « moins l’infini » L’ensemble R de tous les réels est un intervalle : R = ] -∞ ; + ∞ [ Vocabulaire : [ a ; b ] , ] a ; b [ , ] a ; b ] , [a ; b [ sont des intervalles d’extrémités a et b ( a < b ) a+b b−a Le centre, ou milieu de l’intervalle est le nombre ; son rayon est 2 2 Sa longueur, ou amplitude : b – a . Ex : Trouver les réels, s’il en existe, appartenant à la fois à l’intervalle [ 2 ; 8 ] et à l’intervalle [ -5 ; 3 [ Même question avec les intervalles ] -∞ ; 1 ] et ] 1 ; 4 ] Intervalles et valeur absolue : a est un réel, r est un réel positif . x−a ≤ r Preuve : Ex : équivaut à dire que x ∈ [ a – r ; a + r ] . x − a ≤ r signifie que la distance de x à a est inférieure ou égale à r ; c’est-à-dire que : Résoudre dans R : 1. x+4 ≤ 2 L’ensemble solution est l’intervalle [ -4 – 2 ; -4 + 2 ] c’est-à-dire [ -6 ; -2 ] 2. a–r ≤ x ≤ a+r x+4 > 2 S = ] -∞ ; -6 [ ∪ ] -2 ; +∞ [ 2nde VI. Inéquations. Signe de ax + b Inéquations du premier degré : a et b sont deux réels donnés . Résoudre l’inéquation ax + b ≤ 0 , c’est trouver tous les nombres x tels que ax + b est négatif. les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l’inéquation. L’inéquation 2x + 3 ≤ 0 s’écrit 2x ≤ -3 Ex : -3 2 -3 S= -∞ ; 2 x ≤ Signe de ax + b : Trouver le signe de ax + b, c’est trouver les valeurs de x telles que ax + b > 0 et celles telles que ax + b < 0 . a et b sont des réels avec a ≠ 0 . Le signe de ax + b suivant les valeurs du réel x est donné par : si a > 0 x ax + b Preuve : -b a -∞ – 0 ax + b = 0 équivaut à x = +∞ -b a . 3x – 2 . +∞ 0 + – ( ici a ≠ 0 ) -b a -b ⇔ x < a ⇔ x > si a < 0 ; -b a -b ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x > a ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x < signe de 3x – 2 . x . -b a -∞ ax + b ax + b < 0 ⇔ ax < -b Ex : x + ax + b > 0 ⇔ ax > -b si a > 0 ; si a < 0 2 3 -∞ – 0 +∞ + Trouver le signe de E(x) = ( 4 – 3x ) ( 5x + 2 ) suivant les valeurs du réel x. -2 4 − 3x On pose pour x ≠ , F(x) = 5 5x + 2 trouver le signe de F(x) suivant les valeurs du réel x . A F(x) = où A = 4 – 3x et B = 5x + 2 B A Lorsque B ≠ 0 : et A.B sont toujours de même signe B x 4 –3x 5x + 2 E(x) E(x) > 0 SSI E(x) > 0 SSI -2 5 -∞ + – – 0 0 4 -2 x∈ ; 3 5 -2 x ∈ -∞ ; 5 4 3 + + + 0 0 4 ∪ 3 ; +∞ +∞ – + –