2nde. Ordre. Valeur absolue

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Chapitre 2 : Ordre. Valeur absolue
I. Ordre et comparaison
Comparaison de deux réels : Comparer deux réels a et b, c’est chercher à savoir quel est le plus grand
Règle de base : a < b équivaut à dire que a – b < 0 ( ou s’ils sont égaux ) .
Remarque : Comparer a et b revient à étudier le signe de a – b .
Ex :
61 60,8 40 40 20 102,01 20 102,01
; ; en effet 1 et 1
17 17 7 6 21 102 21 102
> < < < >
Dans la suite on considère des inégalités strictes ( a < b ) mais tous le énoncés restent valables avec des inégalités « larges » ( a ≤ b )
Ordre et addition :
• Si a < b alors
− < −
a + c < b + c
a c b c
.
Ajouter ( ou soustraire ) un même nombre à chaque membre d’une inégalité ne change pas son sens .
d’où la règle de transposition : si x + a < b alors x < b – a ( on ajoute - a à chaque membre )
•
Si a < b et c < d alors a + c < b + d .
En ajoutant membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens .
Ex : si x ≤ -3 alors x – 1 ≤ - 4 ; si 2 < x < 6 alors -2 < x – 4 < 2 .
Ordre et multiplication :
• Si a < b et c > 0 alors
a c b c
a b
c c
× < ×
< .
Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif, ne change pas son sens .
• Si a < b et c < 0 alors
a c b c
a b
c c
× > ×
> .
Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, change le sens de l’inégalité .
•
Si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d alors a × c < b × d .
En multipliant membre à membre des inégalités de même sens, entre nombres positifs, on obtient une inégalité de même sens .
Ex : si 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2 alors 2×1 ≤ xy ≤ 3×2 ainsi 2 ≤ xy ≤ 6
x est un réel tel que -1 < x < 2 . On pose B = -2x – 3 ; trouver un encadrement de B
Règle des signes : le produit et le quotient de deux nombres de même signe est toujours positif.
le produit et le quotient de deux nombres de signes contraires est toujours négatif.
Conséquence : si C = AB et si A > 0 alors B et C sont de même signe.
si C = AB et si A < 0 alors B et C sont de signes contraires.

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II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses
III. Comparaison de a, a
2
et a
3
lorsque a ≥
≥≥
≥ 0
Passage au carré, à la racine carrée : a et b étant deux nombres positifs distincts,
a < b équivaut à a
2
< b
2
.
a b
< équivaut à a < b .
Preuve : on sait que a
2
– b
2
= ( a – b ) ( a + b )
a et b étant deux nombres positifs distincts, j’en déduis que a + b > 0
il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que : ( a – b ) et a
2
– b
2
sont de même signe .
• Si a < b alors a – b < 0 donc a
2
– b
2
< 0 et par suite a
2
< b
2
• Si a
2
< b
2
alors a
2
– b
2
< 0 donc a – b < 0 et par suite a < b
Ainsi ( a < b )
⇔
( a
2
< b
2
) autrement dit : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés .
(
a b
< )
⇔
( (
a
)
2
< (
b
)
2
)
⇔
( a < b )
Remarque : l’inégalité -2 < 1 est vraie, mais (-2)
2
< 1
2
c’et faux.
Si a et b sont tous deux négatifs a < b équivaut à a
2
> b
2
.
Passage à l’inverse : a et b étant deux nombres strictement positifs,
a < b équivaut à
1
a
>
1
b
.
Preuve :
1
a
>
1
b
équivaut à
1
a
–
1
b
> 0 . Or
1
a
–
1
b
=
b a
ab
−
et ab > 0 car a > 0 et b > 0
il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que :
1
a
–
1
b
et b – a sont de même signe .
1
a
–
1
b
> 0 équivaut à b – a > 0 c’est-à-dire a < b .
autrement dit : deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses .
est un réel tel que 2 < x < 5 . donner un encadrement de A = x +
1
x
Théorème : a ∈ R
*
+, si a > 1 alors a
3
> a
2
> a ;
si 0 < a < 1 alors a
3
< a
2
< a .
Preuve :
• Si a > 1 alors d’une part a
2
> a ( on multiplie les deux membres par a > 0 )
et d’autre part a
3
> a
2
( on multiplie les deux membres par a
2
> 0 )
donc a
3
> a
2
> a .
• Si 0 < a < 1 alors de la même façon : a
3
< a
2
< a .
Ex : x est un réel tel que 3 < x < 4 . On pose A = 4 – x. Comparer les nombres A, A
2
et A
3
.
-4 < -x < -3 donc 0 < 4 – x < 1 par suite 0 < A < 1 et A
3
< A
2
< A .

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IV. Valeur absolue
Distance entre deux réels : la distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit.
Cette distance est notée
x y ou encore y x
− −
.
x y
−
se lit « valeur absolue de x moins y » .
Remarque : la distance entre deux réels est toujours un nombre positif
Ex :
Interprétation graphique de
x y
−
:
Valeur absolue d’un réel : lorsque y = 0,
x y = x
− . Le nombre réel
x
est donc la distance entre x et 0 ;
≥
=
≤
x lorsque x 0
x
-x lorsque x 0
Remarque : .
0
= 0 car c’est la distance entre 0 et 0 .
.
x
est le plus grand des deux nombres x ou -x .
Ex :
5
= 5 car 5 ∈ R+
-3
= 3 car -3 ∈ R–
si x est un réel :
2
x
= x
2
car x
2
≥ 0 .
Propriétés : 1.
x
= 0 équivaut à dire que x = 0 .
2.
-x x
= .
3.
x y
= équivaut à dire que x = y ou x = -y .
Ex :
Trouver les réels x tels que
x 2
−
= 3 . Il s’agit de trouver les réels tels que la distance entre x et 2 est égale à 3 .
2 – ( -1 ) = 3 et 5 – 2 = 3 donc x = 5 ou x = -1
Méthode :
x 2
−
= 3 peut s’écrire
x 2
−
=
3
ce qui équivaut à x – 2 = 3 ou x – 2 = -3 .
Trouver les réels x tels que
x 2
−
≤ 3 .C’est-à-dire les réels tels que la distance entre x et 2 est inférieure ou égale à 3 .
-1 ≤ x ≤ 5

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V. Intervalles et valeur absolue
Définition : a et b sont deux réels tels que a < b .
Le tableau ci-dessous résume les différents types d’intervalles .
Remarque :
+∞
se lit « plus l’infini »
-
∞
se lit « moins l’infini »
L’ensemble R de tous les réels est un intervalle : R =
]
[
- ; +
∞ ∞
Vocabulaire : [ a ; b ] , ] a ; b [ , ] a ; b ] , [a ; b [ sont des intervalles d’extrémités a et b ( a < b )
Le centre, ou milieu de l’intervalle est le nombre
a + b
2
; son rayon est
b a
2
−
Sa longueur, ou amplitude : b – a .
Ex : Trouver les réels, s’il en existe, appartenant à la fois à l’intervalle [ 2 ; 8 ] et à l’intervalle [ -5 ; 3 [
Même question avec les intervalles
]
]
1
- ;
∞ et ] 1 ; 4 ]
Intervalles et valeur absolue : a est un réel, r est un réel positif .
x a
−
≤ r équivaut à dire que x ∈ [ a – r ; a + r ] .
Preuve :
x a
−
≤ r signifie que la distance de x à a est inférieure ou égale à r ; c’est-à-dire que : a – r ≤
≤≤
≤ x ≤
≤≤
≤ a + r
Ex : Résoudre dans R : 1.
x 4
+
≤ 2 2.
x 4
+
> 2
L’ensemble solution est l’intervalle S =
]
[
]
[
- ; -6 -2 ; +
∞ ∞
∪
[ -4 – 2 ; -4 + 2 ] c’est-à-dire [ -6 ; -2 ]

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VI. Inéquations. Signe de ax + b
Inéquations du premier degré : a et b sont deux réels donnés . Résoudre l’inéquation ax + b ≤ 0 ,
c’est trouver tous les nombres x tels que ax + b est négatif.
les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l’inéquation.
Ex : L’inéquation 2x + 3 ≤ 0
s’écrit 2x ≤ -3
x ≤
-3
2
S =
-3
- ;
2
∞
Signe de ax + b : Trouver le signe de ax + b, c’est trouver les valeurs de x telles que ax + b > 0
et celles telles que ax + b < 0 .
a et b sont des réels avec a ≠ 0 . Le signe de ax + b suivant les valeurs du réel x est donné par :
si a > 0
x -
∞
-b
a
+
∞
ax + b
– +
si a < 0
x -
∞
-b
a
+
∞
ax + b
+ –
Preuve : ax + b = 0 équivaut à x =
-b
a
( ici a ≠ 0 )
si a > 0 ; ax + b > 0
⇔
ax > -b
⇔
x >
-b
a
ax + b < 0
⇔
ax < -b
⇔
x <
-b
a
si a < 0 ; ax + b > 0
⇔
ax > -b
⇔
x <
-b
a
ax + b < 0
⇔
ax < -b
⇔
x >
-b
a
Ex : . signe de 3x – 2 .
x -
∞
2
3
+
∞
3x – 2
– +
. Trouver le signe de E(x) = ( 4 – 3x ) ( 5x + 2 )
suivant les valeurs du réel x.
. On pose pour x ≠
-2
5
, F(x) =
4 3x
5x + 2
−
trouver le signe de F(x) suivant les valeurs du réel x .
F(x) =
A
B
où A = 4 – 3x et B = 5x + 2
Lorsque B ≠ 0 :
A
B
et A.B sont toujours de même signe
x
-
∞
-2
5
4
3
+
∞
4 –3x
+ + –
5x + 2
– + +
E(x)
– + –
E(x) > 0 SSI x ∈
-2 4
;
5 3
E(x) > 0 SSI x ∈
-2 4
- ; ; +
5 3
∞ ∞
∪
0
0
0
0
0
0
0