Devoir surveillé N°6.

PCSI. 99/00.
Physique.
Devoir surveillé N°6.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous
forme littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute
réponse non justifiée sera considérée comme fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il
ne sera pas tenu compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Filtre passe-bande. Décomposition en série de Fourier.
Les amplificateurs opérationnels (A.O.) utilisés sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
Pour les applications numériques on prendra : C = 680 nF ; R2=R3= 47  ; R= 6,8 k .
1. Calculer les fonctions de transfert complexes des trois circuits alimentés par une
tension sinusoïdale de pulsation .
Les trois circuits sont associés suivant le schéma:
2. Montrer que la fonction de transfert de l’ensemble est de la forme:
s
 Ho
H (j )  
e 1  j a  b
j
Ho, a et b font intervenir les éléments constitutifs du circuit. Exprimer ces trois
grandeurs.
3. Déterminer la pulsation o de « résonance » du filtre.
Déterminer la bande passante  à - 3 dB ainsi que le facteur de qualité Q 
Calculer Q
Montrer que :
H (j ) 
o
.

 Ho
 o
1  jQ (

)
o 
4. Déterminer le diagramme asymptotique du gain en décibel GdB.
Calculer la valeur de l’ordonnée du point d’intersection des asymptotes.
Donner l’allure de la courbe GdB en fonction de log x où x est la pulsation réduite.
On se propose de déterminer la réponse de ce circuit à un signal carré d'amplitude E = 10 V, de
fréquence f = 1650 Hz.
La tension carrée e(t), fonction périodique peut être décomposée en série de Fourier:
e(t) = ao + a1sin t + b1cos t + a2sin 2t + b2cos 2t + . . . . + ansin nt + bncos nt + . . . .
On donne :
T
an 
2
e(t ) sin n t dt
T 0
5. Quelle est la valeur de ao?
Que valent les coefficients bn ?
2E
1   1n pour n  0.
Montrer que : a n 
n
Quelle est l’amplitude du fondamental (n = 1) ? ; des harmoniques 3 et 5 ( n = 3, n =
5) ?


6. Caractériser le signal obtenu en sortie du filtre : nature, fréquence et amplitude.
Problème 2. Etude d'un sismographe élémentaire.
Ce système peut être utilisé dans la mesure de l’amplitude d’une secousse sismique.
Le bâti rigide d'un sismographe est soudé en O au sol horizontal Oxy.
La masselotte dotée de son index, de masse m, est accrochée à un ressort sans masse de
raideur k, de longueur à vide lo. Le ressort est fixé au bâti. ( AB = h > lo ).
On note z(t) l'altitude du centre d'inertie de la masselotte-index au dessus du sol Oxy.
Le tout est amorti de façon "fluide visqueux" (d'où la présence du pot amortisseur). La force
d'amortissement est de la forme f = -  v.
Le champ de pesanteur d'intensité g est supposé uniforme et constant.
Le mouvement de tremblement du sol est idéalisé par une vibration sinusoïdale : S(t) = So
cost avec So> 0,  > 0, et où S(t) représente la cote du sol Oxy, à la date t au-dessus du plan
galiléen GXY.
On notera Z = z - ze, où ze représente l'altitude par rapport au sol Oxy d'équilibre de la
masselotte-index en l'absence de tremblement du sol.
1. Etablir l'équation différentielle du mouvement dans le référentiel non galiléen Oxz.
k
 o
On posera  o2  et
avec Q facteur de qualité.

m
m Q
2. En résolvant cette équation par la méthode complexe, déterminer l'amplitude de Z en
fonction de So, Q et u= /o.
3. Etudier, avec soin, la fonction Z(u).
4. Tracer le graphe de l'amplitude de Z en fonction de u pour Q = 1.
5. Comment choisit-on o en pratique pour un sismographe et pourquoi?
Problème 3. Etude d’un satellite artificiel.
1. Propriétés générales de la trajectoire.
Un satellite artificiel, S, assimilable à point matériel de masse m, évolue librement à grande
distance de la Terre. La Terre est considérée comme un corps immobile, rigoureusement
sphérique et homogène, de rayon R, de masse M et de centre O.
On désigne par r(t) = OS, le vecteur position du satellite et par v(t) son vecteur vitesse.
A l'instant initial t = 0, le satellite se trouve dans la position ro, animé de la vitesse vo, non
radiale.
L'influence de la Lune, du Soleil, des autres planètes, ainsi que celle de l'atmosphère sont
ignorées. On étudie la situation pour t > 0.
1.1. Donner l'expression vectorielle du champ de force F(r) auquel est soumis le satellite.
On désignera par G la constante de gravitation universelle et par u = OS/OS le
vecteur unitaire radial.
1.2. Définir le vecteur moment cinétique L du satellite, par rapport au centre O.
1.3. Montrer que, quel que soit t  0 , le moment cinétique L du satellite est constant, égal
à une valeur Lo. Expliciter Lo.
1.4. Justifier le fait que la trajectoire suivie par le satellite, pour t  0, est entièrement
contenue dans un plan fixe P, que l'on précisera.
2. Etude du mouvement plan. Aspects dynamiques et énergie.
On reprend les hypothèses de la section 1 ci-dessus, en se plaçant dans le plan P de la
trajectoire. Ce plan est rapporté aux coordonnées polaires (r,  ) de centre O et de base locale
(ur, u ).
II.1.Montrer que le principe fondamental de la dynamique, appliqué au satellite, conduit à
l'équation différentielle : r 2 
  2rr = 0 .
II.2.Déduire de l'équation différentielle précédente que le mouvement du satellite vérifie
une relation de la forme : r n  = C =cste.
Déterminer l'exposant n, et relier la constante C au moment cinétique, L, du satellite
par rapport au centre de la Terre et à sa masse m.
II.3.Exprimer l'aire, dA, balayée par le rayon-vecteur r durant l'intervalle de temps dt.
Montrer que l'aire  A balayée par le rayon-vecteur durant un intervalle de temps
t  t 2  t1  0 est proportionnelle à t , le facteur de proportionnalité  étant le même
quel que soit t1  0 (seconde loi de Kepler). Pour cela, on identifiera le facteur  .
On note respectivement Ep(r) et Ec(r) l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du satellite dans
la position courante r, et respectivement Eco et Epo , ces mêmes énergies à l'instant initial.
II.4.En adoptant la convention : Ep = 0 à l'infini, justifier physiquement le fait que l'énergie
potentielle de gravitation Ep(r) est négative quelle que soit la distance r, finie.
II.5.Partant de la position r, le satellite effectue un déplacement élémentaire dr le long de
sa trajectoire. Relier les variations dEp(r) et dEc(r) de l'énergie potentielle et cinétique
observées au cours de ce déplacement, au champ de force F(r).
De quelle propriété jouit la somme: E(r) = Ec(r) + Ep(r) ?
II.6.Après avoir exprimé Ep(r) et en utilisant la propriété précédente montrer que la
p
trajectoire du satellite vérifie une équation de la forme : r 
. On exprimera p
1  ecos
en fonction C, M et G.
II.7.Etablir une équation du premier ordre, à une seule inconnue, de la forme :
1 2
mr  Epeff ( r )  E où Epeff est une énergie potentielle effective que l’on exprimera
2
en fonction de la constante C, m, M, G et r.
II.8.Représenter avec soin le graphe Epeff(r). Montrer que Epeff(r) passe par un minimum
pour une valeur rm de r que l’on exprimera en fonction de C, M et G.
Déterminer l’expression de l’énergie potentielle effective minimale.
II.9.A quelle condition liant, Eco et Epo le satellite reste-t-il en orbite autour de la Terre
(état lié) ? Quelle est alors la nature de la trajectoire suivie par le satellite ?