1 lois de composition internes 2 structure de groupe

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI STRUCTURES DE GROUPE ET D’ANNEAU
1 LOIS DE COMPOSITION INTERNES
1Pour tout (x,y)∈[0, 1]×[0, 1], on pose :
x⋆y=x+y−x y.
1) Montrer que [0, 1],⋆est un magma commuta-
tif et associatif.
2) Montrer que [0, 1],⋆possède un élément neutre.
3) Quels sont les éléments inversibles de [0, 1],⋆?
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2Soient Eun ensemble et ´une relation d’ordre
totale sur E.
1) Pour tous x,y∈E, justifier l’existence de max ¦x,y©.
2) Montrer que le magma (E, max)est associatif et
commutatif.
3) A quelle condition nécessaire et suffisante (E, max)
possède-t-il un élément neutre ?
4) Si (E, max)possède un élément neutre, quels sont
ses éléments inversibles ?
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3Soit Eun ensemble à au moins trois éléments.
Montrer qu’alors SEest non commutatif.
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2 STRUCTURE DE GROUPE
4Pour tous x,y∈]−1, 1[, on pose :
x⊕y=x+y
1+x y .
1) Montrer que ⊕est une loi interne sur ]−1, 1[.
2) Montrer que ]−1, 1[,⊕est un groupe commu-
tatif.
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5Pous tous (x,y),(x′,y′)∈R∗×R, on pose :
(x,y)⋆(x′,y′) = (x x′,x y′+y).
1) Montrer que R∗×R,⋆est un groupe. Ce groupe
est-il commutatif ?
2) Simplifier (x,y)npour tous (x,y)∈R∗×Ret
n∈N.
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6Soit p∈N∗fixé. Montrer que l’ensemble des e
2ikπ
pn,
(k,n)décrivant Z×N, est un sous-groupe de C∗.
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7Montrer que ¦z∈C/∃n∈N∗/zn=1©est un
sous-groupe de C∗.
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8Montrer que l’ensemble des fonctions z7−→ az+b,
(a,b)décrivant C∗×C, est un groupe pour la composi-
tion.
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9Soit n∈N∗. On note Gl’ensemble des permu-
tations σ∈S¹1,nºtelles que pour tout k∈¹1, nº:
σ(n−k+1) = n−σ(k) + 1.
Montrer que Gest un sous-groupe de S¹1,nº.
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10 On introduit six fonctions de R\¦0, 1©dans R
définies pour tout x∈R\¦0, 1©par :
a(x) = x,b(x) = 1−x,c(x) = 1
x,
d(x) = x
x−1,e(x) = x−1 xet f(x) = 1 1−x.
Montrer que ¦a,b,c,d,e,f©est un sous-groupe de SR\{0,1}
dont on déterminera la table.
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11 Soit Gun groupe.
1) Soit (Hi)i∈Iune famille de sous-groupes de Gin-
dexée par un ensemble I. Montrer que \
i∈I
Hiest
un sous-groupe de G.
2) Soit x∈G. On appelle centralisateur de x dans
G, noté CG(x), l’ensemble des éléments de Gqui
commutent à x. Montrer que CG(x)est un sous-
groupe de G.
3) On appelle centre de G et on note Z(G)l’ensemble
des éléments de Gqui commutent à TOUT élé-
ment de G. Montrer que Z(G)est un sous-groupe
de G.
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12 1) Trouver deux sous-groupes de R∗dont la réunion
N’est PAS un sous-groupe de R∗.
2) Soient Gun groupe et (Hn)n∈Nune suite CROIS-
SANTE de sous-groupes de G. Montrer que [
n∈N
Hn
est un sous-groupe de G.
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13 Soient Gun groupe et Hun sous-groupe de G.
1) Soit x∈G. On pose : xH x−1=¦xhx−1©h∈H.
Montrer que x H x−1est un sous-groupe de G.
2) On pose : HG=\
x∈G
xH x−1. Montrer que HG
est un sous-groupe de G.
3) Montrer que pour tout x∈G:x HGx−1=HG.
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14 1) Soient Gun groupe commutatif fini de
cardinal net g∈G.
a) Montrer que l’application x7−→ g x est bijec-
tive de Gsur G.
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b) Montrer, en calculant de deux manières le
produit : Y
x∈G
(g x), que : gn=1G. Ce
résultat est un cas particulier d’un théorème
essentiel — le théorème de Lagrange.
2) Déterminer tous les sous-groupes finis
de C∗.
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15 Soit Gun groupe.
1) On suppose que : x2=1Gpour tout
x∈G. Montrer que Gest commutatif.
2) On suppose que : (x y)3=x3y3pour
tous x,y∈Get tout élément de Gpeut être écrit
comme un cube.
a) Montrer que : x3y2=y2x3pour tous
x,y∈G.
b) En déduire que pour tout x∈G,x2commute
à tout élément de G.
c) En déduire que Gest commutatif.
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16 Soit Gun groupe. On définit une relation binaire
∼sur Gpour tous x,y∈Gpar :
x∼y⇐⇒ ∃ g∈G/y=g−1x g.
Montrer que ∼est une relation d’équivalence sur G.
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3 STRUCTURE D’ANNEAU
17 On note Al’ensemble des matrices de la forme
λ0
0 0,λdécrivant R. Montrer que Aest stable par dif-
férence et produit. L’ensemble Aest-il un sous-anneau
de M2(R)?
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18 1) On note Al’ensemble des rationnels p
2n,(p,n)
décrivant Z×N.
a) Montrer que Aest un sous-anneau de Q.
b) Déterminer U(A).
2) Mêmes questions avec l’ensemble Ddes décimaux.
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19 1) On rappelle que Z[i] = ¦a+ib©a,b∈Zest un sous-
anneau de C. Montrer que pour tout z∈Z[i]:
|z|2∈N, puis en déduire UZ[i].
2) a) Montrer que Zip2=¦a+ibp2©a,b∈Z
est un sous-anneau de C.
b) Déterminer UZip2.
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20 Montrer que Qp3=¦a+bp3©a,b∈Qest un
corps.
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21 On note Cl’ensemble des matrices a−b
b a ,a
et bdécrivant K.
1) Montrer que Cest un sous-anneau de M2(K).
2) Cest-il un corps ?
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22 On rappelle que pour tous f,g∈RR, les fonc-
tions f+get f×gsont définies pour tout x∈Rpar :
(f+g)(x) = f(x) + g(x)et (f×g)(x) = f(x)g(x).
1) Montrer que RR,+,×est un anneau commu-
tatif. Est-il intègre ?
2) Montrer que C(R,R)est un sous-anneau de RR.
3) Déterminer URR.
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23 1) Montrer que Zest le seul sous-anneau de Z.
2) On s’intéresse à présent aux sous-groupes de Z.
a) Montrer que nZest un sous-groupe de
Zpour tout n∈N.
b) Montrer que tout sous-groupe de Zest de la
forme nZpour un certain n∈N.
3) Soient a,b∈Z. Montrer que aZ+bZest un sous-
groupe de Z. En particulier : aZ+bZ=dZ
pour un certain d∈Nd’après 2). Montrer qu’en
réalité : d=a∧b.
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24 Soient Aet Bdeux anneaux. On pose pour tous
(a,b),(a′,b′)∈A×B:(a,b)+(a′,b′) = (a+a′,b+b′)
et (a,b)×(a′,b′) = (aa′,bb′).
1) Montrer que (A×B,+,×)est un anneau.
2) Montrer que si Aet Bsont non nuls, alors A×B
n’est pas intègre.
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25 Soit Eun ensemble. Pour tous A,B∈ P (E),
on appelle différence symétrique de A et B, notée AÍB,
l’ensemble A\B∪B\A.
1) Montrer que pour tous A,B∈ P (E):
AÍB= (A∪B)\(A∩B).
2) Montrer que P(E),Í,∩est un anneau com-
mutatif.
3) Déterminer UP(E).
4) L’anneau P(E),Í,∩est-il intègre ?
5) Soit Fune partie de E. Montrer que P(F)n’est
pas loin d’être un sous-anneau de P(E). Quelle
propriété lui manque-t-il ?
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26 Soit Aun anneau. Un élément x∈Aest dit nilpotent
si : xn=0Apour un certain n∈N∗.
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1) Si Aest intègre, montrer que 0Aest le seul élé-
ment nilpotent de A.
2) Montrer que la somme et le produit de deux élé-
ments nilpotents de AQUI COMMUTENT sont en-
core nilpotents.
3) Pour tout x∈Anilpotent, montrer que 1A−xest
inversible et déterminer (1A−x)−1.
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27 Soit Aun anneau de Boole, i.e. un anneau non
nul tel que pour tout x∈A:x2=x.
1) a) Montrer que pour tous x,y∈A: 2x=0A
et y x =−x y.
b) En déduire que Aest commutatif.
2) Déterminer Adans le cas où Aest intègre.
3) On définit une relation binaire ´sur Aen posant
pour tous x,y∈A:x´y⇐⇒ y x =x.
Montrer que ´est une relation d’ordre.
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28 Soit Aun anneau.
1) On appelle centre de A et on note Z(A)l’en-
semble des éléments de Aqui commutent à TOUT
élément de A. Montrer que Z(A)est un sous-anneau
de A.
2) On suppose que : x3=xpour
tout x∈A.
a) Montrer que pour tous x,y∈A:
x y =0A=⇒y x =0A.
b) Soit x∈Atel que x2=x. Montrer que x∈Z(A)
en étudiant x(y−x y)pour tout y∈A.
c) Montrer que x2∈Z(A)pour tout x∈A.
d) Montrer enfin que Aest commutatif.
On peut montrer plus généralement — mais c’est très
difficile — que si : ∀x∈A,∃n¾2/xn=x,
alors Aest commutatif (théorème de Jacobson).
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4 ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
29 Résoudre les équations suivantes d’inconnue x∈Z:
1) 5x=2 dans Z
7Z, puis dans Z 10Z.
2) x2=3 dans Z
5Z, puis dans Z 11Z.
3) x2+3x+1=0 dans Z
7Z.
4) x2+x=2 dans Z
9Z, puis dans Z 21Z.
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30 Soit p∈P. Effectuer le produit de tous les élé-
ments de UZ
pZet en déduire le théorème de Wilson :
(p−1)!≡ −1[p].
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