Primitive F

Juin 2000
PhG-Maths
y
y0
x0 x
y0
x0 x
y
Courbe continue :
x est proche de x
0, y est proche de y 0.Courbe discontinue :
x est proche de x
0, y est loin de y 0.
FONCTIONS PRIMITIVES ou PRIMITIVES
Jusqu'à présent nous avons appris à trouver la fonction dérivée d'une fonction. La recherche inverse
s'impose fréquemment : connaissant une fonction f, peut-on trouver une fonction F admettant f
pour fonction dérivée ? Si une telle fonction F existe, alors elle est appelée primitive de f.
Les primitives interviennent dans les calculs d'aires sont si intéressantes qu'elles deviennent à leur
tour des fonctions «usuelles». Par exemple x2
2, ln x et e x sont respectivement primitives de x, 1 x et ex.
I- Définition et théorèmes
Définition
Si f est une fonction définie sur un intervalle I, on appelle primitive F de f toute fonction dérivable
sur I dont la dérivée soit égale à f. Pour tout x de l'intervalle I : F '(x) = f(x).
Exemple :
1. La fonction F : x
Error!
3x est une primitive sur
Error!
de la fonction f : x
Error!
3.
2. La fonction F : x
Error!
x 2 est une primitive sur
Error!
de la fonction f : x
Error!
2x.
3. La fonction F : x
Error!
Error!
est une primitive sur ] – ; 0 [ de la fonction f : x
Error!
– 1
x 2.
4. La fonction F : x
Error!
ln x est une primitive sur ] 0 ; + [ de la fonction f : x
Error!
Error!
.
Théorème 1
Toute fonction CONTINUE sur un intervalle I admet une infinité de primitives ; ces primitives
diffèrent d'une constante.
Si F est une primitive quelconque de f, la primitive la plus générale de f est donc
notée F(x) + C, où C est une constante arbitraire réelle.
Exemples :
1. Ainsi toutes les primitives de la fonction x sont les fonctions x2
2 + C.
2. La fonction F : x
Error!
3x + 4 est une primitive sur
Error!
de la fonction f :
Error!
3.
Commentaires :
1. Elles sont définies à une constante près,
puisque les fonctions constantes ont des
dérivées nulles.
2. La notion de courbe CONTINUE est
intuitivement naturelle : il s'agit d'une courbe
«d'un seul tenant». Si cette courbe est la

ba 0 x0
y0
C
représentation graphique d'une fonction f, cette idée intuitive revient à dire que pour rendre f(x) assez proche de
f(x0), il suffit de choisir x assez proche de x0.
Théorème 2
Si une fonction f admet des primitives sur un intervalle I, alors il existe une unique primitive F
qui prend une valeur y0 en un point donné x0 de l'intervalle I : F(x0) = y0.
En effet si f admet les primitives F(x) + C sur l'intervalle I alors F(x0) + C = y0.
Il vient : C = y0 – F(x0) d'où la fonction unique: F(x) + y0 – F(x0).
La fonction F(x) + y0 – F(x0) est l'unique primitive de f sur i qui vaut y0 en x0.
Interprétation graphique :
Dans un repère (O;
Error!
,
Error!
), C est la courbe représentative de la
primitive F de f sur l'intervalle I = [a ; b].
Toutes les autres primitives F(x) + C de f se déduisent de C par une translation
de vecteur C
Error!
.
Il existe bien une seule courbe image de C par la translation qui passe
par le point de coordonnées (x0 ; y0).
II- Détermination des primitives
Une lecture inverse du tableau des dérivées permet de trouver les primitives usuelles.
Toutes les primitives de la fonction f sont définies par F(x) + C où C est une constante réelle.
Dérivée f '
Fonction f
Primitive F
Le calcul des primitives est
sensiblement gouverné par les mêmes
règles régissant la dérivation.
La primitive d’une somme ou d’une
différence de fonctions est la somme ou
la différence de leurs primitives.
La primitive du produit d'une fonction
par un réelle est le produit de la
primitive de la fonction par le réelle.
Si F et g sont les primitives des
fonctions f et g sur un intervalle I, alors :
F + G est une primitive de f + g ;
 F est une primitive de  f.
0
0
C
0
a
ax
1
x
1
2 x 2
2x
x 2
1
3 x 3
– 2
x 3
1
x 2 (x  0)
– 1
x
– 1
x 2
1
x (x  0)
ln x
e x
e x
e x
a e ax + b
e ax + b (a  0)
1
a e ax + b
– sin x
cos x
sin x
cos x
sin x
– cos x
Exemples :

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PhG-Maths
1. La fonction F : x
Error!
x 3 –
Error!
x 2 + 2x est une primitive sur
Error!
de f : x
Error!
3x 2 –
5x + 2.
2. La fonction G : x
Error!
3 ln x est une primitive sur ]0 ; + [ de g : x
Error!
Error!
.

Calcul d'une aire
L'une des applications classiques de l'intégration est le calcul d'aires. Soit A l'aire de la région
délimitée par la représentation graphique de la fonction f, l'axe des x, la droite x=a et la droite
x=b. Pour simplifier, supposons que f(x)0 entre a et b. Pour tout xa, soit L(x) l'aire de la
région comprise entre a et x. Pour déterminer la valeur de A, il suffit donc de calculer L(x) et de
l'appliquer à x=b. Si h est une petite variation de x, le domaine délimité par la représentation
graphique de f et l'axe des
abscisses compris entre x et
x+h s'apparente
approximativement à un
rectangle de hauteur f(x) et de
largeur h. Par conséquent, l'aire
de ce domaine, par ailleurs
égale à L(x+h)-L(x), est
sensiblement égale à f(x).h.
Lorsque h0, ces
approximations deviennent plus
fondées donc k/hf(x). On en
déduit que L(x)=f(x) : L est une
primitive de f. Donc, si nous
connaissons une primitive F de f,
L=F+c, où c est une constante. Mais comme L(a)=0, c=-F(a). Par conséquent,
A=L(b)=F(b)-F(a).
Calcul intégral
Primitive d’une fonction
Définition d’une intégrale
Considérons une fonction f définie et continue sur un intervalle [a; b]. Cette fonction admet
donc une primitive F sur cet intervalle, définie à une constante près. On appelle alors
intégrale de a à b de la fonction f le réel :
On peut remarquer que cette intégrale ne dépend pas de la constante d’intégration c. En
effet, si G est une autre primitive de f, telle que G(x) = F(x) + c pour tout réel x, alors G(b) -
G(a) = F(b) - F(a).
La variable x introduite dans l’écriture de l’intégrale est totalement arbitraire, et peut être
remplacée par la lettre u, t, etc.
Propriétés d’une intégrale
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :
Cette relation est appelée relation de Chasles.

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Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I, et pour
tous réels quelconques et , on a :
Cette relation traduit la linéarité de l’intégration.
Règles d’intégration
Le calcul des primitives, appelé intégration, est sensiblement gouverné par les mêmes
règles régissant la dérivation. Par exemple, la primitive d’une somme ou d’une différence
de fonctions est la somme ou la différence de leurs primitives. Toutefois, l’intégration, qui
s’avère généralement plus complexe que la dérivation, dispose d’une règle différente,
nommée intégration par parties :
Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si les fonctions dérivées f
et g sont continues sur I, alors on peut écrire, pour tous réels a et b de I :
Calcul d’aires
Le calcul d’aires constitue l’une des applications classiques de l’intégration. Soit donc une
fonction continue et positive sur un intervalle [a; b]. Par conséquent, f(x)0 pour tout x
compris entre a et b. Soit C sa représentation graphique de la fonction f, et A l’aire du
domaine délimité par C, l’axe des x, et les droites d’équation x = a et x = b. Alors on a :
où F est une primitive de f. Ce résultat permet de comprendre pourquoi le symbole 
(correspondant à la lettre S utilisée au XVIIe siècle) évoque une somme d’aires égales à
f(x)dx, correspondant à une infinité de rectangles de hauteur f(x) et de largeur infinitésimale
dx.