II.2. On étudie le régime forcé permanent.
II.2.1.Expliquer la signification de cette expression.
II.2.2. En utilisant les notations complexes, exprimer l’amplitude complexe S des oscillations du
châssis en fonction de em, , ’ et ’. L’écrire sous la forme
où
est la pulsation réduite, ’0 et Q étant des constantes que l’on exprimera en fonction de
’ et ’ puis de a, k, M et m.
II.2.3. En déduire l’amplitude S des oscillations en fonction de et Q. Que vaut-elle si = 1?
II.2.4. Montrer que S atteint un maximum Sm pour une pulsation réduite m que l’on déterminera en
fonction de Q, et démontrer que
.
II.2.5. Calculer Q, m, Sm/em.
II.2.6. Tracer avec soin le graphe (ou l’allure du graphe si la question précédente n’a pas été faite)
donnant S/em en fonction de dans la plage 0 10.
II.2.7. Calculer la pulsation propre ’0. En déduire la distance m entre ondulations du sol provoquant
la résonance des oscillations du châssis si le véhicule roule à une vitesse V de 90km/h. Comment
réagit le châssis sur des déformations plus rapprochées passées à la même vitesse?
Problème 2. Mouvement d’un satellite artificiel. (CCP 96).
Partie 1.
On considère un satellite de masse m soumis à l'attraction gravitationnelle de la terre supposée, sphérique,
de centre O, de rayon RT, et de masse MT.
On admettra que m << MT : la terre peut donc être considérée comme fixe.
On posera : k = G MTm avec G constante de la gravitation universelle.
1.1. Donner l’expression de la force
s’exerçant sur le satellite.
1.2. Montrer que la trajectoire du satellite par rapport à la terre est plane. On pourra faire l'étude en
coordonnées cylindriques (r,
, z) de vecteurs unitaires correspondants a
avec
le
vecteur unitaire orthogonal au plan de cette trajectoire.
Démontrer la loi des aires. On notera C la constante des aires.
1.3. On note
. Ecrire l'accélération du satellite en fonction de C, u et
.
En déduire que la trajectoire du satellite est une ellipse d'équation
ou p et e sont
des constantes appelées respectivement paramètre et excentricité. L'axe polaire et l’axe focal
sont confondus. Donner l'expression du paramètre p en fonction de C, k et m.
1.4. On nomme périgée (P) le point de la trajectoire elliptique le plus proche de la terre et apogée
(A) le point de trajectoire elliptique le plus éloigné de la terre.
On note ( rp et vP ) et (rA et vA) la position et la vitesse du satellite respectivement à son périgée
P et à son apogée A.
1.4.1. Calculer l'excentricité e en fonction de rA et rP.
1.4.2. Calculer le rapport vP/vA en fonction de e.