Equations et inéquations

Racines carrées
I) Définition
Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a.
On a :
"
 a
2
a.
Si a < 0,
a n'existe pas.
" est appelée "racine de" ou "radical de".
0  0 ; 1 1 ;
Exemples :
 Si a est un nombre positif,
49  7 ;
 3
2
a2  a .
 3.
Exemples :
92  9 ;
 Utilisation de la calculatrice : Sur les calculatrices, la touche
valeur approchée de la racine carrée d'un nombre.
donne la valeur exacte OU une
3  1,732 ; 121  11 .
2  1,414 ;
Exemples :
52  5 .
   3  2  3 2   2   9  6 2  2  11  6 2 .
 3  5   3   2  5 3  5  3  10 3  25  28  10 3 .
4  7 4  7   4   7   16  7  9 .
2 5  3 ; 5 7  1 ; 2 3  5 2 2 3  5 2 .
 Calculer : 3  2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
II) Résolution de l'équation x2 = a
2
L'équation x = a
 n'a pas de solution si a < 0.
 a une seule solution nulle si a = 0.
 a deux solutions, a et  a , si a > 0.
Résoudre :
 x2 = -5.
Comme -5 < 0, cette équation n'a pas de solution.
 x2 = 17.
x2 =
 17 
2
; x2 –
 17  = 0 ; x 
2


17 x  17  0  Deux solutions : 17 et  17 .
OU BIEN "Comme 17 > 0, cette équation admet deux solutions : 17 et  17 ."
III) Propriétés
1) Racine carrée d'un produit
Soient a et b deux nombres positifs. On a :
 a
2
 a a a ;
 b
2
 b b  b.
D'où :
 ab 
2
 ab  a  a  b  b 
Donc, si a  0 et b  0, alors


2
a b .
ab  a  b .
"Simplifier l'écriture de" : Rendre l'entier sous la racine le plus petit possible.
Exemples :
32  16  2  16  2  4 2  2  4 2 .
8 75  8 25  3  8  25  3  40 3
2) Racine carrée d'un quotient
Soient a et b deux nombres positifs, avec b non nul.
2
2
 a
a  a 
  ;

On a : 

b  b 
 b
Donc, si a  0 et b > 0, alors
 a
 b
a

b
2
2
a
b
a
 ; d'où
b
2
2
 a
 a




 b  b .




(écriture intermédiaire).
Il faut éviter la présence d'un radical au dénominateur.
Exemples :
1
b

1
b
b

b

b
.
b
Donc
1
b

b
.
b
7
7
7
3
21
.




3
3
3
3
3
20

50
2
5

10
.
5
3) Addition et soustraction de radicaux

16  9  25  5. 

 16  9  16  9 ; d'où
16  9  4  3  7.

ab  a  b .

25  9  16  4. 

 25  9  25  9 ; d'où
25  9  5  3  2.

a-b  a  b .
IL N'EXISTE AUCUNE REGLE GENERALE SUR L'ADDITION ET LA SOUSTRACTION DE
RADICAUX.
Exercice : Simplifier l'écriture des nombres :
 A  18  128  4 50  2  9  2  64  4 2  25  3 2  8 2  20 2  9 2.
 B  4 18  128  3 32  4 2  9  2  64  3 2  16  12 2  8 2  12 2  16 2.