Corrigé Analyse 2 : Intégration Fonctions Irrationnelles
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UDSN Étudiant
Corrigé type de la série1 du module Analyse2
S2.2019/2020
Certaines fonctions irrationnelles peuvent se ramener à une intégration de fonctions
rationnelles par un changement de variable.
F
orme de l’intégrale
Le changement de variable
convenable
I. ∫(,
)
tel que : −≠ .
Posons :
=
.
On obtient, après calcul :
=
, =
et =()
().
D’où :
∫,
=∫
,()
()=∫∗().
Où,
∗ est une fonction rationnelle en t.
II. ∫(,
,…,
)
tel que : ∈ℤ;∀∈{,..,},
∈ℕ∗,∀∈{,..,},−≠ .
Posons :
=
tel que :
=
(
,
,
…
,
)
.
On obtient, après calcul :
=
=(),=′() , et
=
, ∈{1,..,}.
En remplaçant ces valeurs dans l’intégrale initiale, on obtient :
∫(,
,…,
)=∫∗∗(),
avec
∗∗ est évidement une fonction rationnelle en
.
III. ∫(+),
tel que : ,∈ℝ;,,∈ℚ.
On étudie séparé
ment
les trois cas suivants
:
Cas 1
:
Cas 2
:
Cas 3
:
Si
∈
ℤ
Si
∈
ℤ
et
fractionnaire
Si
et p des
nombres
fractionnaires
mais
+p
∈
ℤ
Posons
:
=
,
où
est le
dénominateur
commun des
fractions
.
Posons
:
+
=
,
où
est le
dénominateur
de .
Posons
:
=
,
où
est le
dénominateur
de
.
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