Introduction à la théorie des nombres Prof. E. Bayer Flückiger Bachelor Semestre 6 5.4.2014 Série 10 Pour tout entier n ≥ 1, nous posons ζn = exp(2πin−1 ) et k = Q(ζn ). On appelle k un corps cyclotomique. Voici deux faits importants sur ces corps: (1) Le polynôme minimal de ζn sur Q est le polynôme cyclotomique Φn ∈ Z[X], dont les racines complexes sont les ζna avec 1 ≤ a < n premier à n: Y Φn (X) = (X − ζna ) (a,n)=1 (2) L’anneau des entiers Ok de k est égal à Z[ζn ]. Exercice 1. Soit n ≥ 1 un entier et k le corps cyclotoymique Q(ζn ). (1) (2) (3) (4) Vérifier les assertions (1) et (2) ci–dessus dans le cas où n = p est un nombre permier. Quel est le degré de k? Pour quels entiers n est–ce que k est un corps quadratique? Trouver une Z–base de Ok . Calculez Φ12 (X), et puis le discriminant de k = Q(ζ12 ). Exercice 2. Soit n ≥ 3 un entier, k = Q(ζn ) comme dans l’exercice précédent, et posons k0 := Q(ζn + ζn−1 ). (1) Montrez que k0 = k ∩ R. (2) Quel est le degré de k sur k0 , et quel est le degré de k0 sur Q? (3) Est-ce que k = k0 (i)? Exercice 3. Soit x ∈ C un entier algébrique non nul. Supposons que tout conjugé complexe y de x (i.e. toute racine complexe y du polynôme minimal de x sur Q) est de norme complexe |y| ≤ 1. Montrez que x = ζna pour des entiers n et a convenables. Exercice 4. Soit x > 1 un entier algébrique réel tel que tous ses conjugés complexes y 6= x sont de norme complexe |y| ≤ 1, et tel que au moins un parmi ces conjugés est de norme complexe 1. Posons k = Q(x), et notons Ok l’anneau des entiers de k. Montrez que x est une unité de Ok . Un nombre x comme ci–dessus est appelé nombre de Salem, d’après le mathématicien Raphaël Salem (1898–1963). Ces nombres jouent un rôle important dans la théorie d’approximation Diophantienne et dans l’analyse harmonique.