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avec ale demi grand axe de l’ellipse.
De même, P T2est la bissectrice extérieure de l’angle (−−→
T2F1,−−→
T2F2)et donc si F00
1est le symétrique
orthogonal de F1par rapport à la droite P T2, alors les points F2,T2et F00
1sont alignés et on a :
d(F2, F 00
1)=2a
Par ailleurs, si RDdésigne la symétrie orthogonale par rapport à une droite D, et si Det D0sont
deux droites qui s’intersectent en un point O, on sait que RD◦RD0est la rotation de centre Oet
d’angle, deux fois l’angle de droites (D, D0). Donc, pour montrer le deuxième petit théorème de
Poncelet, il suffit de vérifier que RP F1◦RP T1et RP T2◦RP F2sont la même rotation de centre P.
Pour cela, on va montrer que F0
1a la même image par ces deux transformations.
On a tout d’abord clairement,
RP F1(RP T1(F0
1)) = RP F1(F1) = F1
De plus, d(F2, F 0
1) = d(F2, F 00
1)=2ad’après ce que l’on a vu plus haut. Et d(P, F 0
1) = d(P, F1) =
d(P, F 00
1). Donc, P F2est la médiatrice de F0
1F00
1.
Donc, RP F2(F0
1) = F00
1.
Et, RP T2(F00
1) = F1.
Ce qui conclut la démonstration.
Démonstration du théorème 1 : Soient F1et F2les points d’affixe ω1et ω2, où ω1et ω2sont les
racines de P0. D’après le théorème de Gauss-Lucas, F1et F2sont dans le triangle M1M2M3.
Construisons l’ellipse Ede foyers F1et F2qui est tangente au côté M1M2. Pour cela on prend F0
1
le symétrique orthogonal de F1par rapport à M1M2et on considère T1le point d’intersection de
M1M2avec F2F0
1. D’après la propriété tangentielle des ellipses, l’ensemble des points Qtels que
d(F1, Q) + d(F2, Q) = d(F1, T1) + d(F2, T1)
est l’ellipse de foyers F1et F2qui est tangente au côté M1M2. Soit M1T2la deuxième tangente à
Eissue de M1. D’après le deuxième petit théorème de Poncelet, on a :
(M1M2, M1F1)=(M1F2, M1T2)
Par ailleurs, on remarque que P0(X)s’écrit de deux manières :
P0(X) = 3(X−ω1)(X−ω2)
= (X−z1)(X−z2)+(X−z1)(X−z3)+(X−z2)(X−z3)
d’où, en évaluant en X=z1,
3(z−1−ω1)(z1−ω2)=(z1−z2)(z1−z3)