Fiche d`exercices n°3

Cours régime sinusoïdal
1
ASSOCIATION DE DIPOLES LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL
Objectif : Associer les dipôles élémentaires en série en utilisant la représentation vectorielle de Fresnel.
1. Puissance instantanée
1.1. Convention
Récepteur
i
u
Dipôle
Figure 1
Si p > 0, à l’instant t, le dipôle reçoit de la puissance : c’est un récepteur.
Si p < 0, à l’instant t, le dipôle fournit de la puissance : c’est un générateur.
1.2. Expression
p(t) = u(t).i(t) p(t) en watts (W); u(t) en volts (V); i(t) en ampères (A).
Cette expression est valable en régime quelconque, u(t) et i(t) étant des grandeurs algébriques.
1.3. Expression en régime sinusoïdal
)sin(2)( tUtu
;
)sin(2)(  tIti
avec
),( UI 
Donc :
)sin()sin(2)(  txtUItp
Or :
)cos()cos(
2
1
sinsin bababa 
Avec :
ta
et
 tb
)cos()cos(
2
1
2)(  ttttUIxtp
)2cos(cos)(  tUItp
)2cos(cos)(  tUIUItp
cosUI
est un terme constant dans le temps et
)2cos( tUI
est variable par rapport au temps.
2. Puissance active
2.1. Définition
La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p(t) sur une période T.
2.2. Expression
cos)( UItpP 
P en watts (W) ; U en volts (V) ; I en ampères (A).
Le terme
)2cos( tUI
est une fonction sinusoïdale du temps, donc de valeur moyenne nulle. Ce
terme est appelée puissance oscillatoire ou fluctuante.
Remarques :

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 P est la puissance à partir de laquelle le compteur E.D.F. mesure l’énergie facturée. Cette
énergie active est absorbée et transformée dans le récepteur en énergie thermique, mécanique,
chimique, etc.
 La mesure de la puissance active est effectuée à l’aide d’un wattmètre qui effectue la moyenne
du produit
iu.
donc le circuit intensité est parcouru par
i
et dont le circuit tension est soumis
à
u
.
3. Puissance réactive
La puissance réactive Q est donnée par l’expression :
sinUIQ
Q en voltampères réactifs (var) ; U en volts (V) ; I en ampères (A).
Selon que est supérieur ou inférieur à 0,
Q
peut être positif ou négatif.
Remarques :
 La puissance réactive n’est liée à aucune énergie utilisable. Cette énergie va périodiquement
de la source vers le récepteur puis du récepteur vers la source, et ainsi de suite sans ne jamais être
absorbée par le récepteur.
 La mesure de la puissance réactive peut s’effectuer à l’aide d’un varmètre.
4. Puissance apparente
UIS
S en voltampères (VA) ; U en volts (V) ; I en ampères (A).
Remarques :
 La puissance apparente n’est pas une puissance réelle.
 Elle sert à dimensionner certains appareils électriques, notamment ceux qui concernent le
transport et la distribution de l’énergie électrique (transformateurs).
5. Puissances active et réactive mises en jeu dans les dipôles élémentaires
Dipôle
Impédance
Cos
Sin
Puissance active P
Puissance réactive
Q
Résistance parfaite
RZR
0
R
1
0
R
U
RIUI 2
2
0
Condensateur
parfait
C
ZC1
2
C
0
-1
0
C
I
UCUI 2
2
Bobine parfaite
L=
L
Z
2
L
0
1
0
L
U
ILUI 2
2
6. Relation entre les puissances
Si
UIS
est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, P et Q sont les deux côtés de l’angle droit puisque :
cosUIP
sinUIQ

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De plus,
222 QPS 
22 QPS 
P
Q
tan
7. Conservation des puissances – Théorème de Boucherot
Théorème
Les puissances active et réactive absorbées par un groupement quelconque de dipôles sont
respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque
dipôle du groupement. Il ne peut s’appliquer qu’en régime sinusoïdal.
n
PPPP  ...
21
n
QQQQ  ...
21
Remarque : Les puissances apparentes ne s’ajoutent pas.
8. Facteur de puissance
8.1. Définition en régime périodique
On appelle facteur de puissance d’un circuit en régime périodique le rapport :
S
P
k
Remarque :
1k
.
8.2. Expression en régime sinusoïdal
cos
cos  UI UI
S
P
k
cosk
1cos0 
8.3. Exercice
Un moteur alimenté sous une tension u de valeur efficace 230 V et de fréquence f = 50 Hz absorbe une
puissance de 10 kW.Son facteur de puissance est égale à cos = 0,8.
1. Calculer l’intensité du courant I qui circule dans le moteur.
Réponse :
cosUIP
cosUP
I
A.N. :
8,0.230
104
I
AI 3,54

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2. Calculer la puissance réactive Q consommée par le moteur.
Réponse :
sinUIQ
 378,0cos 1
6,0sin 
D’où :
A.N. :
6,0.3,54.230Q
var7500Q
3. On place en parallèle avec le moteur un condensateur de capacité C = 100 F.
3.1. Calculer la puissance réactive fournit par ce condensateur.
Réponse :
2
UCUIQCC
avec
UCIC
A.N. :
2226 230..10230.50.2.10.100
C
Q
var1662
C
Q
3.2. Calculer le nouveau facteur de puissance cos’ de l’installation.
''
'tan P
Q
D’après le théorème de Boucherot, nous pouvons écrire :
C
QQQ '
et
PP '
(Le condensateur ne consomme pas de puissance active)
A.N. :
var583816627500' Q
D’où :
584,0
10000
5838
'tan 
 3,30584,0tan' 1
Donc :
864,03,30cos'cos 
3.3. En déduire la valeur de l’intensité I’ qui circule dans l’ensemble moteur + condensateur.
'cos' UIP
'cos
'
UP
I
A.N. :
864,0.230
10
'4 I
AI 3,50'
II '
8.4. Importance du facteur de puissance – Relèvement du facteur de puissance
Une installation domestique ou industrielle alimentée par le réseau E.D.F. 230 V – 50 Hz constitue un
dipôle ayant un certain facteur de puissance.
Cette installation appelle une puissance active P nécessaire à son fonctionnement (
cosUIP
).
cosUP
I
I sera d’autant plus faible que cos sera grand, donc proche de 1.
Or, E.D.F. , pour minimiser ses pertes en ligne et dans l’alternateur, cherche à ce que I soit le plus
faible possible et exige donc que le facteur de puissance d’une installation soit supérieur à 0,93.