II Produit et quotient de deux nombres complexes

II Produit et quotient de deux nombres complexes
1°) Addition et multiplication dans C
Définition : On peut définir dans l’ensemble C des nombres complexes une addition et une multiplication
pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans R, avec i² = – 1.
Exemples : a) Calculer les nombres : ( 2 + 3i)( 1 + i ) ; ( 1 + i )² – 2( 1+ i ) + 2 ;
b) Factoriser les expressions : z² - 1 ; z² + 1 ; z² + 4iz – 4.
2°) Conjugué, inverse et quotient
Définition : Le conjugué de z = a + bi est le nombre complexe
z
= a – bi.
Exemples : Dans chaque cas, calculer
z
: si z = 1 + 4i ; si z = 7 – 3i
Théorème définition : a) Pour tout z = a + bi, z
z
= a² + b²
R
∈
.
b) Si z ≠ 0, il existe un unique nombre complexe z’ tel que zz’ = 1 ;
ce nombre est l’inverse de z noté
1
z
et vérifie :
1
z
=
1
zz
×
z
.
c) Si z ≠ 0, le quotient de z’ par z est défini par
z' 1
z '
z z
= ×
.
Exemples : Calculer : l’inverse de z = 1 + 4i ; le quotient
z'
z
si z = 7 - 3i et z’ = 5 – 2i.
3°) Propriétés du conjugué
Théorème définition : a) Pour tout complexe z : z +
z
= 2×Ré(z) et z -
z
= 2i×Im(z).
b) z R
∈ ⇔
z =
z
et z iR
∈ ⇔
z = -
z
.
c) Pour tous complexes z et z’ :
z+z' z z'
= +
,
z-z' z z'
= −
,
z z' z z'
× = ×
et
z' z'
z
z
=
( si z≠ 0 ).
Exemple : On pose j =
1 3
i
2 2
− + . Calculer j²,
j
,
3
j
et 1 + j + j².
4°) Equations du second degré à coefficients réels
Théorème : a, b et c sont des nombres réels, a ≠ 0 et ∆ = b² - 4ac.
si ∆ > 0, (E) a deux solutions réelles données par 1 2
2 2
b b
z et z
a a
− − ∆ − + ∆
= =
si ∆ = 0, (E) a une solution réelle double donnée par 0
2
b
z
a
−
=.
si ∆ < 0, (E) a deux solutions complexes conjuguées données par 1 2
i i
2 2
b b
z et z
a a
− − −∆ − + −∆
= =
Exemples : Résoudre les équations z² + z - 1 = 0 et z² - 6z + 10 = 0 :

III Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
1°) Module et argument d’un nombre complexe
Définition : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; → u , → v ) ;
M est un point d’affixe non nul z = a + bi.
• Le module de z est le nombre réel positif défini par | z | = OM
• Un argument de z est un nombre réel vérifiant arg( z ) =
( , OM)
u
• Ecrire z sous forme trigonométrique, c’est l’écrire sous la forme
z = r( cos(θ) + isin(θ) ) où r est un réel positif et θ un réel quelconque.
Exemples : a) Dans le repère ci-contre, placer les points :
* M d’affixe z telle que | z | = 1 et arg( z ) = - π
2 ( 2π ).
* N d’affixe telle que | z | = 2 et arg( z ) =
3
4
π
( 2π ).
b) Ecrire les affixes des points M et N sous forme algébrique.
2°) Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
Propriétés : a) Si z = a + bi, alors r = | z | =
² ²
a b
+ , θ = arg(z) vérifie
cos
sin
a
r
b
r
θ
θ
=
=
et
z = r( cos(θ) + isin(θ) ).
b) Réciproquement, si z = r( cos(θ) + isin(θ) ), avec r > 0, alors a = Ré(z) = rcosθ, b = Im(z) = rsinθ,
| z | = r, arg(z) = θ et z = a + bi.
Exemples : a) Ecrire le nombre z = 1 – i3 sous forme trigonométrique
b) Ecrire le nombre z’ = [ 2 ; 5π
4 ] sous forme algébrique.
3°) Propriétés du module et d’un argument :
Théorème : Pour tous nombres complexes z et z’, non nuls :
a) 2
z =zz
,
'
z
z
'
z
z
×=× , z
1
z
1
= , z
'
z
z
'z = , |
z
| = |z| et pour tout entier n n
nzz = .
b) arg(zz') = arg z + arg z' [2π]; arg
1
z
= - arg z [2π]; arg
z '
z
= arg z‘ - arg z [2π];
arg
(
)
=
z
- arg z [2π]; et pour tout entier n : arg (zn) = n arg z [2π].
Exemples : On considère les nombres complexes z = 1 + i
3
et z’ = 2
2
+ 2i
2
.
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres suivants : zz’ , z3 , 1
z , z z’ .

IV Applications en géométrie plane
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; → u , → v ).
1°) Affixe d’un barycentre de points pondérés :
Théorème : A, B et C ont pour affixe respectives
A
z
,
B
z
et
C
z
.
a) Le milieu I de [AB] a pour affixe
A B
I
z z
z2
+
= ;
b) Le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) a pour affixe
A B C
G
z z z
z+ + =+ +
a b c
a b c …
Exemple : Calculer l’affixe du milieu I de [ AB ] et du centre de gravité G de ABC dans le cas où A, B et C
ont pour affixes respectives : - 2 + 2i, 1, – 3i.
2°) Module et argument d’une différence de deux nombres complexes
Théorème : M et N ont pour affixe respectives
M
z
et
N
z
.
a)
N
z
-
M
z
est l’affixe du vecteur
MN
: on note
MN
z
=
N
z
-
M
z
.
b)
N M
z z
− est la norme du vecteur
MN
:
N M
z z
− = MN.
c) arg(
N
z
-
M
z
) est une mesure en radians de l’angle ( → u ,
MN
) :
arg(
N
z
-
M
z
) = ( → u ,
MN
) [2π].
Exemple : Calculer la longueur MN et l’angle ( → u ,
MN
) dans le cas où M et N ont
pour affixes respectives 3 + 3i et 2 + i.
3°) Module et argument d’un quotient de deux nombres complexes
Théorème : M, N et P ont pour affixe respectives
M
z
,
N
z
et
P
z
.
a)
N
M
z
z
=
ON
OM
et
N P
M P
z z
z z
−
− =
PN
PM
b) N
M
z
arg
z
= (
OM
,
ON
) [2π] et N P
M P
z z
arg
z z
−
−
= (
PM
,
PN
) [2π]
Exemple : Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle dans le cas où A, B et
C ont pour affixes respectives : 2 – i, 3 + i, 4 – 2i.