II Produit et quotient de deux nombres complexes

II
Produit et quotient de deux nombres complexes
1°) Addition et multiplication dans C
Définition : On peut définir dans l’ensemble C des nombres complexes une addition et une multiplication
pour lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans R, avec i² = – 1.
Exemples : a) Calculer les nombres :
( 2 + 3i)( 1 + i ) ;
b) Factoriser les expressions :
z² - 1 ;
( 1 + i )² – 2( 1+ i ) + 2 ;
z² + 1 ;
z² + 4iz – 4.
2°) Conjugué, inverse et quotient
Définition : Le conjugué de z = a + bi est le nombre complexe z = a – bi.
Exemples : Dans chaque cas, calculer
z : si z = 1 + 4i ; si z = 7 – 3i
Théorème définition : a) Pour tout z = a + bi,
z z = a² + b² ∈ R .
b) Si z ≠ 0, il existe un unique nombre complexe z’ tel que zz’ = 1 ;
1
1
1
ce nombre est l’inverse de z noté
× z.
et vérifie :
=
z
z
zz
z'
1
= z '× .
z
z
c) Si z ≠ 0, le quotient de z’ par z est défini par
Exemples :
Calculer : l’inverse de z = 1 + 4i
;
le quotient
z'
si z = 7 - 3i
z
et
z’ = 5 – 2i.
3°) Propriétés du conjugué
Théorème définition : a) Pour tout complexe z :
b)
z ∈R ⇔z= z
et
et
z - z = 2i×Im(z).
z ∈ iR ⇔ z = - z .
c) Pour tous complexes z et z’ : z+z' = z + z' ,
Exemple : On pose j = −
z + z = 2×Ré(z)
z-z' = z − z' ,
z × z' = z × z' et
z' z'
=
( si z≠ 0 ).
z
z
1
3
+i
. Calculer j², j , j3 et 1 + j + j².
2
2
4°) Equations du second degré à coefficients réels
Théorème : a, b et c sont des nombres réels, a ≠ 0 et ∆ = b² - 4ac.
−b − ∆
si ∆ > 0, (E) a deux solutions réelles données par z1 =
et
2a
−b
si ∆ = 0, (E) a une solution réelle double donnée par z0 =
.
2a
si ∆ < 0, (E) a deux solutions complexes conjuguées données par
Exemples : Résoudre les équations
z² + z - 1 = 0
et
z2 =
z1 =
−b + ∆
2a
−b − i −∆
2a
z² - 6z + 10 = 0 :
et
z2 =
−b + i −∆
2a
III Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul
1°) Module et argument d’un nombre complexe
→
→
Définition : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u , v ) ;
M est un point d’affixe non nul z = a + bi.
•
Le module de z est le nombre réel positif défini par
| z | = OM
•
Un argument de z est un nombre réel vérifiant
•
Ecrire z sous forme trigonométrique, c’est l’écrire sous la forme
z = r( cos(θ) + isin(θ) ) où r est un réel positif et θ un réel quelconque.
arg( z ) = (u, OM)
Exemples : a) Dans le repère ci-contre, placer les points :
* M d’affixe z telle que | z | = 1 et arg( z ) = - π ( 2π ).
2
3π
* N d’affixe telle que | z | = 2 et arg( z ) =
( 2π ).
4
b) Ecrire les affixes des points M et N sous forme algébrique.
2°) Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement
Propriétés : a) Si z = a + bi, alors
r=|z|=
a

cos θ = r
a² + b² , θ = arg(z) vérifie 
et
sin θ = b

r
z = r( cos(θ) + isin(θ) ).
b) Réciproquement, si z = r( cos(θ) + isin(θ) ), avec r > 0, alors
a = Ré(z) = rcosθ, b = Im(z) = rsinθ,
| z | = r, arg(z) = θ et z = a + bi.
Exemples : a) Ecrire le nombre z = 1 – i 3 sous forme trigonométrique
b) Ecrire le nombre z’ = [ 2 ; 5π ] sous forme algébrique.
4
3°) Propriétés du module et d’un argument :
Théorème : Pour tous nombres complexes z et z’, non nuls :
a)
2
z =zz ,
z × z' = z × z' ,
b) arg(zz') = arg z + arg z'
()
arg z = - arg z
Exemples :
[2π];
[2π];
1
1
=
,
z
z
z'
z'
=
, | z | = |z| et pour tout entier n
z
z
zn = z
z'
 1
= - arg z [2π]; arg
= arg z‘ - arg z [2π];

z
z
arg 
n
et pour tout entier n : arg (z ) = n arg z
[2π].
On considère les nombres complexes z = 1 + i 3 et z’ = 2 2 + 2i 2 .
Ecrire sous forme trigonométrique les nombres suivants :
zz’ ,
z3 ,
1,
z
z .
z’
n
.
IV
Applications en géométrie plane
→
→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u , v ).
1°) Affixe d’un barycentre de points pondérés :
Théorème : A, B et C ont pour affixe respectives zA , zB et zC .
a) Le milieu I de [AB] a pour affixe zI =
z A + zB
;
2
b) Le barycentre de (A, a), (B, b) et (C, c) a pour affixe zG =
az A + bzB + czC
…
a+b+c
Exemple : Calculer l’affixe du milieu I de [ AB ] et du centre de gravité G de ABC dans le cas où A, B et C
ont pour affixes respectives : - 2 + 2i,
1,
– 3i.
2°) Module et argument d’une différence de deux nombres complexes
Théorème : M et N ont pour affixe respectives zM et zN .
= z
a) zN - zM est l’affixe du vecteur MN : on note zMN
- zM .
N
b) zN − zM est la norme du vecteur MN :
zN − zM = MN.
→
c) arg( zN - zM ) est une mesure en radians de l’angle ( u , MN ) :
→
arg( zN - zM ) = ( u , MN )
[2π].
→
Exemple : Calculer la longueur MN et l’angle ( u , MN ) dans le cas où M et N ont
pour affixes respectives 3 + 3i et 2 + i.
3°) Module et argument d’un quotient de deux nombres complexes
Théorème : M, N et P ont pour affixe respectives zM , zN et zP .
a)
zN
ON
=
zM
OM
b)
z 
arg  N  = ( OM , ON )
 zM 
et
zN − zP
PN
=
PM
zM − zP
[2π]
et
 z − zP 
arg  N
 = ( PM , PN )
 zM − zP 
[2π]
Exemple : Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle dans le cas où A, B et
C ont pour affixes respectives : 2 – i,
3 + i,
4 – 2i.