Corrigé exercices révision géométrie

Propositions de corrigés pour les exercices de révision concernant la géométrie
Exercice 1 (d’après le corrigé proposé par des formateurs de l’IUFM d’Aquitaine)
1) Les diagonales des quadrilatères obtenus sont de même longueur et se coupent en leur
milieu.
Ce procédé permet donc de construire une famille de rectangles.
Cas particulier : lorsque les diagonales sont perpendiculaires, on obtient un carré.
2) Les diagonales des quadrilatères obtenus se coupent en leur milieu mais sont de longueurs
différentes. Ce procédé permet donc de construire une famille de parallélogrammes (remarque :
aucun de ces parallélogrammes n’est un rectangle).
Cas particulier : lorsque les diagonales sont perpendiculaires, on obtient un losange
(remarque : ce losange n’est pas un carré).
3)
Q
P
On utilise les notations de la figure. Par hypothèse, on a O’M=O’P et O’Q =O’N. Par
conséquent, O’Q/O’P = O’N/O’M.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (NQ) sont parallèles.
Donc MQNP est un trapèze.
D’autre part, dans les triangles O’MQ et O’PN, on a O’M=O’P, O’N=O’Q et les angles en O’ sont
égaux (angles opposés par le sommet, obtenus à partir de deux droites sécantes). Ces deux
triangles ont un angle et les deux côtés adjacents à cet angle de même longueur. Donc ces
deux triangles sont isométriques donc QM = NP.
MQNP est donc un trapèze isocèle.
4)
D’après les mesures imposées sur les bandes de bristol, on peut affirmer que N est sur le
cercle de diamètre [RS]. Le triangle RNS dont un côté [RS] est un diamètre d’un cercle et dont
le sommet N est sur ce cercle est donc un triangle rectangle en N. Le quadrilatère MSNR
possède donc un angle droit.
5)
Le quadrilatère a été construit de la manière suivante : on trace d’abord la diagonale [MN] puis
on place P sur le cercle de diamètre [MN] et sur le cercle de 4,5 cm de rayon et de centre le
point de [MN] situé à 2 ,5 cm de N. Le point Q est alors diamétralement opposé à P dans ce
dernier cercle.
Questions complémentaires :
1) L'objectif de cette séance est de découvrir les propriétés des diagonales des
quadrilatères usuels (carré, rectangle, losange).
2) Avant de confronter les élèves au problème, le maître peut leur proposer de construire
librement des quadrilatères en utilisant le matériel "squelette". Cette activité va permettre
aux élèves de découvrir la technique de construction : on choisit deux bandelettes et on les
fixe avec une attache parisienne, on pointe au crayon les quatre sommets, on utilise la règle
pour tracer les côtés. La pratique "libre" de cette technique limitera les difficultés
manipulatoires lors de la séance ultérieure et permet d'ores et déjà de prendre conscience du
fait que le choix des bandelettes et de leur point d'attache a une influence sur la nature
des quadrilatères construits.
3)
4)
Dans la première classe, les élèves sont confrontés à la résolution d'un problème (de
construction de figures) et se livrent à une démarche de recherche : ils peuvent essayer
de construire le quadrilatère cherché avec deux bandelettes, vérifier le résultat avec les
instruments, recommencer avec deux autres bandelettes si nécessaire, etc. Le savoir visé est
construit par les élèves au cours des deux étapes de la séance : la nécessité de construire un
rectangle par exemple, va conduire les élèves (parfois au terme de plusieurs essais), à
assembler deux bandelettes de même longueur en leur milieu. Cette procédure sera décrite lors
de la mise en commun, interprétée comme une propriété des diagonales du rectangle et
formulée de manière adéquate.
Dans la deuxième classe, les élèves ont pour tâche de vérifier un certain nombre de propriétés
sur les diagonales de différents quadrilatères déjà tracés. Les propriétés des diagonales des
quadrilatères n'apparaissent pas comme un outil pour résoudre un problème mais sont mises
en évidence à partir d'un guidage de la part du manuel.
Exercice 2
1) a)
Le triangle
DJH
ACG
AFC
EHG
ACJ
est-il rectangle ?
NON
OUI
NON
OUI
OUI
est-il isocèle ?
OUI
NON
OUI
OUI
NON
est-il équilatéral ?
NON
NON
OUI
NON
NON
b) Les côtés du triangle AFC sont les diagonales de faces d’un même cube donc sont
isométriques. Le triangle est donc équilatéral.
Le triangle EHG correspond à la moitié d’un carré (face du cube) découpé selon une de ses
diagonales. C’est donc un triangle rectangle isocèle (angle droit en H et HE = HG).
2)a)
Le triangle ERT est isocèle rectangle (la longueur des deux côtés isométriques est de 6 cm).
On peut donc le construire pour obtenir la longueur RT.
Les deux triangles ERS et EST sont isométriques (les deux côtés de l’angle droit ont pour
longueurs respectives 3 cm et 6 cm).
On peut donc construire l’un deux pour obtenir la longueur commune de [ST] et [SR].
Pour construire le triangle isocèle SRT on effectue des reports des longueurs des côtés à l’aide
du compas : c’est le contour de la surface imprimée dessinée en taille réelle.
b)
Le triangle RET est rectangle en E (car HEFC est un carré). On peut donc appliquer le
théorème de Pythagore : TR² = 6² + 6² = 72 d’où TR = 72 = 6 2 (en cm)
(valeur approchée : 8,485 cm)
c)
RT × SK
( si on appelle K le projeté orthogonal de S sur (RT) )
2
Or le triangle RES est un triangle rectangle en E (car HEAD est un carré). On peut donc
appliquer le théorème de Pythagore :
RS² = ER² + ES² = 36 + 9 = 45 d’où RS = 45 = 3 5 (en cm)
Aire (RST) =
D’où, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle RKS rectangle en K :
2
72
 RT 
= 45 –
= 45 – 18 = 27 d’où SK =
SK² = RS² - RK² = RS² - 

4
 2 
6 2×3 3
Aire (RST) =
= 9 6 (en cm²)
2
(valeur approchée 22,045 cm²)
27 = 3
3 (en cm)