fractions et proportions

FRACTIONS
I
DEFINITIONS
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers relatifs.
Ex : 2/-3
2 s’appelle le numérateur, 3 s’appelle le dénominateur.
Son signe est obtenu en appliquant la règle des signes de la multiplication.
Ex : 2/-3 = -2/3 = - 2/3
2/3 = +2/+3 = -2/-3 = + 2/3
Une fraction dont le numérateur est nul est égale à son numérateur.
Ex : 0/10 = 0
0/1 = 0
0/-10 = 0
Une fraction dont le dénominateur est égal à 1 est égale à son numérateur.
Ex : 7 /1 = 7
13/1 = 13
-13/1 = -13
II
THEOREME FONDAMENTAL DES FRACTIONS
2/-3 = -2/3 = - 2/3 = -4/6 = 4/ … = …/9 = …/ 12 = … /15
On obtient une fraction égale à une fraction donnée en multipliant ou en divisant
son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Il existe donc une infinité de fractions égales à une fraction donnée.
Une fraction doit toujours être donnée sous sa forme la plus simple, c’est à dire que son
numérateur et son dénominateur doivent être les plus petits possibles.
On dit alors que l’on simplifie les fractions.
ex : 35/49 = 7x5/7x7 = 5/7
5/7 s’appelle la forme irréductible, celle qu’on ne peut plus simplifiée.
III
FRACTION ET PROPORTION
Une proportion, par définition, est l’égalité de deux fractions :
2/-3 = -4/6
est
une proportion.
Cela signifie que ces quatre nombres sont proportionnels :
Je peux donc construire un tableau :
2
-3
-4
6
x2/-3 = -4/6
Quand on lit cette proportion « deux sur moins trois égal moins quatre sur six »,
2 et 6 sont placés aux extrémités : on les appelle les extrêmes
-3 et -4 sont placés au milieu : on les appelle les moyens
1ière règle :
on peut vérifier que 2 x 6 = -3 x -4 et ceci est toujours vrai.
Dans une proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
Cette règle permet facilement de passer de l’écriture en ligne à l’écriture
fractionnaire et réciproquement :
ex 1 : calculer I dans U = R x I sachant que U = 6 V et R = 60 Ω
1°) je remplace les lettres par les nombres
6 = 60 x I
2°) j’écris la fraction correspondante en respectant l’égalité du produit des
extrêmes et du produit des moyens.
6/60 = I/1
3°) je calcule l’inconnue
0,1 = I
ou
I = 0,1 A (une égalité se lit dans les deux sens)
NB : 6 = 60 x I est une équation type multiplication que l’on aurait aussi pu
résoudre directement.
Ex 2 : résoudre 5 / a = 1 / 8
1°) écrivons l’égalité du produit des extrêmes et du produit des moyens.
5x8 =a x1
2°) je calcule l’inconnue
40 = a
ou
a = 40
NB : on aurait pu aussi utiliser directement la règle du produit en
croix applicable à une proportion.
2ième règle
Dans la proportion 2/-3 = -4/6
permutons les moyens : 2/-4 = -3/6
- 0,5 = - 0,5
c’est encore vrai
Permutons les extrêmes : 6/-3 = -4/2
-2 =-2
c’est encore vrai
Permutons les extrêmes et les moyens : 6/-4 = -3/2
-1,5 = - 1,5 c’est toujours vrai
Dans une proportion, on peut permuter les extrêmes ou les moyens ou les
deux, on obtient encore une proportion vraie.
IV ADDITION DES FRACTIONS
Ex : 3/8 + 4/5 =3x5 / 8x5 + 4x8 /5x8
=15/40 + 32/40
= 47/40
Pour ajouter des fractions :
1°) On les réduit au même dénominateur : dénominateur commun
2°) On ajoute les numérateurs et on garde le dénominateur commun
V MULTIPLICATION ET DIVISION DES FRACTIONS
La multiplication est beaucoup plus simple que l’addition :
3/8 x 4/5 = 3x4 / 8x5
= 3 / 2x5
= 3 / 10
Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
Et comme la division est l’opération inverse de la multiplication :
3/8 : 4/5 = 3/8 x 5/4
= 3x5 / 8x4
Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde
Ex
calculer :
15/7 : 2/3 =
15/7 : 0 =
2 : 15/7 =
1 : 4/5 =
2 : 3/4 =
2/3 : 4 =