TD5

TD5
Calcul numérique (avec Maple)
Licence 1 SMS Math Info, Math Physique 2005-2006
Question :
Donnez les instructions Maple pour tracer dans un même repère
-
xxx
xf  ²)1ln( )(
, sur l’intervalle [–0.5, 10] en rouge,
- f-1 , sur l’intervalle [-1,10] en bleu,
- et la première bissectrice sur l’intervalle [-1,10] en noir.
Vous devez obtenir le graphique ci-contre avec les légendes incluses.
Solution 1:
restart;
with(plots):
f := x -> ln(x+1)/(x^2+x):
g1 := plot(f(x), x=-0.5..10, color = red, legend = "f"):
g2 := plot([f(x), x, x=-1..10], color = blue, legend = "inverse de f"):
g3 := plot([x, x, x=-1..10], color = black, legend = "bissectrice"):
display([g1, g2, g3]);
Solution 2:
restart;
f := x -> ln(x+1)/(x^2+x):
plot([f(x), [f(x), x, x=-1..10], [x, x, x=-1..10]], x=-0.5..10,
color=[red,blue,black], legend=["f", "inverse de f", "bissectrice"]);
Question 1 :
On appelle courbe de Lissajous toute courbe paramétrée d’équations :
x = a cos(1 t + 1)
y = b cos(2 t + 2)
1- Construire les courbes de Lissajous suivantes :
a) x = sin(t) + cos (t)
y = cos (3t)
b) x = sin(
2
t)
y = cos (t),
sur l’intervalle [0,10]
restart;
x := t -> sin(t) + cos(t);
y := t -> cos(3*t);
plot([x(t), y(t), t=0..2*Pi]);
restart;
x := t -> sin(sqrt(2)*t);
y := t -> cos(t);
plot([x(t), y(t), t=0..10*Pi]);
2- Pourquoi dans b) la courbe n’est-elle pas fermée contrairement au a) ?
Réponse : pour que la courbe soit fermé, il faut qu’il existe une période commune T pour la fonction x et la
fonction y c’est à dire : M(t) = M(t+T). Soit T1 la période de x et T2 la période de y, on doit avoir T = p.T1 =
q.T2 c’est à dire : T1/T2 = q/p = w2/w1. Ainsi, la courbe se referme uniquement si le rapport des pulsation est
rationnel (T=2/w).
Pour a) on a w1=1 et w3=3 d’ou p/q=1/3 et donc la courbe se referme
a)
b)

Pour b) on a w1 =
2
et w2=1 d’ou p/q =
2
qui n’est pas rationnelle donc la courbe ne se referme pas.
3- Déterminer le rectangle englobant (« enferment ») la courbe a) et donner l’instruction pour tracer le rectangle.
Remarque : sin(t)+cos(t) =
2
sin(t+/4).
restart;
x := t -> sin(t) + cos(t);
y := t -> cos(3*t);
plot([ [x(t), y(t), t=0..2*Pi],[[-sqrt(2),-1], [-sqrt(2),1], [sqrt(2),1],
[sqrt(2),-1], [-sqrt(2),-1]]]);
Question 3 :
Ecrire la procédure qui trace sur le même graphique, les courbes de la fonction à deux paramètres de type f(x, t)
pour t variant de 0 à 5.
Soit f(x, t) = sin(x-2t) ; On écrira une procédure qui prend en paramètre tmin, tmax, xmin et xmax (tel que :
tmin  t  tmax et xmin  x  xmax) et qui retourne une liste de « fonction graphique ». On affichera alors cette
liste de « fonction graphique » grâce à la fonction display…
restart;
with(plots);
f := (x,t) -> sin(x-2*t);
buildListGraph := proc(tmin::integer, tmax::integer, xmin::integer, xmax::integer)
local s::exprseq, t::integer;
s := NULL;
for t from tmin to tmax
do
s := s, plot(f(x,t), x=xmin..xmax);
od;
return [s];
end;
listGraph := buildListGraph(0, 3, -3, 3):
display(listGraph);
TD2 … Question 6 :
Indiquer les commande Maple pour résoudre l’équation suivante de sorte d’obtenir :
- les solutions exprimés de manière symbolique,
- les solutions numériques réelles,
- les solutions numérique réelles positives.
- Equation : x4-1 = 0
restart;
eq1 := x^4 –1 = 0;
"Solution de l'équation 1 :",solve(eq1,x);
"Solution numérique réel :",fsolve(eq1,x);
"Solution positive :", fsolve(eq1, x, 0..infinity);
TD 3 … Question 4 :
Afficher
)ln(
1
...
4
1
3
1
2
1
1n
n
pour n allant de 1 à 100 puis calculer lim
)ln(
1
...
4
1
3
1
2
1
1n
n
.
restart;
f := n -> sum(1/i,i=1..n) - ln(n);
NBITER :=10;
for j from 1 to NBITER
do
printf("f(%f) = %f\n", j, f(j));
od;
Limit(f(x), x=infinity) = limit(f(x), x=infinity);
n

TD 3 … Question 5 :
Donner les instruction Maple pour tracer f(x) = sin(3*x)/sin(x), calculer sa période en vu de la courbe obtenu,
calculer sa primitive et son intégrale sur une période.
restart;
f := x -> sin(3*x)/sin(x);
plot(f(x), x);
solve(f(x)=1, x);
f(Pi/4);
Int(sin(3*x)/sin(x), x) = int(sin(3*x)/sin(x), x);
Int(sin(3*x)/sin(x), x=0..Pi/4) = int(sin(3*x)/sin(x), x);
Trop dur pour eux … Question 2 :
Tracer f 2-périodique telle que f(x)=x² sur [-,], en rouge avec un trait épais sur [-6, 6].