Classe de TS- spécialité maths

Classe de TS- spécialité
maths
Mercredi 20 novembre
Contrôle n° 1 de spé
Nom : ……………………………………
Lycée la Condamine
Divisibilité dans Z et PGCD
Exercice 1 :
Démontrer que le carré de n’importe quel nombre n entier naturel est congru à 0 ou 1
modulo 4.
Exercice 2 :
Soit S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2p(q-1)
a) Remarquer que S est la somme des premiers termes d’une suite à déterminer
( nature / raison / nombre de termes )
b) Exprimer S en fonction de 2 , de p et de q ( à l’aide de la formule des sommes des
termes de suites arithmétique ou géométrique )
c) Déduire que 2pq  1 (2p – 1 )
d) Pourquoi le nombre 2pq – 1 est-il divisible par 2p – 1
De la même manière grâce à la somme S’= 1 + 2q + 22q + 23q + … + 2(p-1)q on peut
prouver ( mais on ne le fera pas) que 2q – 1 divise 2pq – 1
e) Trouver sans le justifier n tel que 2 097 151 = 2n – 1
Déduire deux diviseurs connus de ce nombre grâce aux questions ci-dessus.
Exercice 3 :
a) Décomposer 2156 et 5390 en produits de facteurs premiers
b) Quel est le plus grand carré parfait qui divise 2156
c) Quel est le PGCD de 5390 et 2156 ?