Exercice E9

Exercice E9
1.
n
2n − 1
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
255
9
511
10
1023
Parmi ces nombres de Mersenne, les nombres premiers sont : 3 ; 7 ; 31 ; 127 .
Ils correspondent aux valeurs de n : 2 ; 3 ; 5 ; 7 .
On remarque que les nombres de Mersenne premiers correspondent à des entiers n premiers.
2. On a : 211 − 1 = 2047 = 23 × 89.
Le nombre 211 − 1 n’est pas un nombre premier .
3. On a : 2p − 1 ≡ 0 (2p − 1), donc 2p ≡ 1 (2p − 1)
q
On en déduit que : (2p ) ≡ 1q (2p − 1), donc 2pq ≡ 1 (2p − 1)
p
• Si p > 1, on a 2 − 1 > 1, donc 0 6 1 < 2p − 1, donc le reste de la division de 2pq par 2p − 1 est 1.
• Si p = 1, on a 2p − 1 = 1, donc le reste de la division de 2pq par 2p − 1 est 0 .
Le reste de la division de 2pq par 2p − 1 est 0 si p = 1 et 1 si p > 1 .
On a 2pq − 1 ≡ 0 (2p − 1) , donc 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 .
De la même façon, en utilisant les congruences modulo (2q − 1), on obtient que 2pq − 1 est divisible par 2q − 1 .
Donc : 2pq − 1 est divisible par (2p − 1) et par (2q − 1) .
4. Si n n’est pas un nombre premier, on peut écrire : n = p × q avec p et q entiers tels que 2 6 p < n et 2 6 q < n.
On peut alors écrire : 2n − 1 = 2pq − 1.
On sait alors en utilisant la question précédente que 2n − 1 est divisible par 2p − 1.
Comme 2 6 p < n, 2p − 1 est un diviseur de 2n − 1 différent de 1 et de 2n − 1.
On en déduit que 2n − 1 n’est pas un nombre premier.
On a donc démontré que si n n’est pas premier, 2n − 1 n’est pas premier.
On en déduit que : Si 2n − 1 est premier alors n est premier .
11 est un nombre premier alors que 211 − 1 n’est pas premier, donc : La réciproque n’est pas vraie .
5. Les quatre premiers nombres de Mersenne premiers sont donnés dans le tableau de la question 1.
D’après la question 4. il suffit d’envisager pour n des valeurs premières.
On a vu que pour n = 11, 211 − 1 n’est pas premier.
Pour n = 13, on a 2n − 1 = 8 191 qui est un nombre premier.
Pour n = 17, on a 2n − 1 = 131 071 qui est un nombre premier.
Les 6 premiers nombres de Mersenne premiers sont : 3 ; 7 ; 31 ; 127 ; 8 191 ; 131 071 .
Pour n = 19, on a
Pour n = 23, on a
Pour n = 29, on a
Pour n = 31, on a
Les 7ième et 8ième
2n − 1 = 524 287 qui est un nombre premier.
2n − 1 = 8 388 607 = 47 × 178 481 qui n’est pas un nombre premier.
2n − 1 = 536 870 911 = 233 × 2 304 167 qui n’est pas un nombre premier.
2n − 1 = 2 147 483 647 qui est un nombre premier.
nombres de Mersenne premiers sont : 219 − 1 = 524 287 et 231 − 1 = 2 147 483 647 .
Annexe :
Un programme utilisable sur MuPad pour écrire les nombres de Mersenne premiers :
m :=0 ;
print(Unquoted,"Nombres de Mersenne : 2ˆi-1") ;
for i from 2 to 100 do
if isprime(2ˆi-1) then
m := m+1 ;
print(Unquoted,"Pour i = ".i,"M".m."= ".expr2text(2ˆi-1)." est premier") ;
end_if
end_for
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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