Exercice E9

Exercice E9
1. n2 3 4 5 6 7 8 9 10
2n−1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023
Parmi ces nombres de Mersenne, les nombres premiers sont : 3;7;31 ;127 .
Ils correspondent aux valeurs de n:2;3;5;7.
On remarque que les nombres de Mersenne premiers correspondent à des entiers npremiers.
2. On a : 211 −1 = 2047 = 23 ×89. Le nombre 211 −1n’est pas un nombre premier .
3. On a : 2p−1≡0 (2p−1), donc 2p≡1 (2p−1)
On en déduit que : (2p)q≡1q(2p−1), donc 2pq ≡1 (2p−1)
•Si p > 1, on a 2p−1>1, donc 061<2p−1, donc le reste de la division de 2pq par 2p−1est 1.
•Si p= 1, on a 2p−1 = 1, donc le reste de la division de 2pq par 2p−1est 0 .
Le reste de la division de 2pq par 2p−1est 0 si p= 1 et 1si p > 1.
On a 2pq −1≡0 (2p−1) , donc 2pq −1est divisible par 2p−1.
De la même façon, en utilisant les congruences modulo (2q−1), on obtient que 2pq −1est divisible par 2q−1.
Donc : 2pq −1est divisible par (2p−1) et par (2q−1) .
4. Si nn’est pas un nombre premier, on peut écrire : n=p×qavec pet qentiers tels que 26p < n et 26q < n.
On peut alors écrire : 2n−1 = 2pq −1.
On sait alors en utilisant la question précédente que 2n−1est divisible par 2p−1.
Comme 26p < n,2p−1est un diviseur de 2n−1différent de 1et de 2n−1.
On en déduit que 2n−1n’est pas un nombre premier.
On a donc démontré que si nn’est pas premier, 2n−1n’est pas premier.
On en déduit que : Si 2n−1est premier alors nest premier .
11 est un nombre premier alors que 211 −1n’est pas premier, donc : La réciproque n’est pas vraie .
5. Les quatre premiers nombres de Mersenne premiers sont donnés dans le tableau de la question 1.
D’après la question 4. il suffit d’envisager pour ndes valeurs premières.
On a vu que pour n= 11,211 −1n’est pas premier.
Pour n= 13, on a 2n−1 = 8 191 qui est un nombre premier.
Pour n= 17, on a 2n−1 = 131 071 qui est un nombre premier.
Les 6premiers nombres de Mersenne premiers sont : 3;7;31 ;127 ;8 191 ;131 071 .
Pour n= 19, on a 2n−1 = 524 287 qui est un nombre premier.
Pour n= 23, on a 2n−1 = 8 388 607 = 47 ×178 481 qui n’est pas un nombre premier.
Pour n= 29, on a 2n−1 = 536 870 911 = 233 ×2 304 167 qui n’est pas un nombre premier.
Pour n= 31, on a 2n−1 = 2 147 483 647 qui est un nombre premier.
Les 7i`eme et 8i`eme nombres de Mersenne premiers sont : 219 −1 = 524 287 et 231 −1 = 2 147 483 647 .
Annexe :
Un programme utilisable sur MuPad pour écrire les nombres de Mersenne premiers :
m :=0 ;
print(Unquoted,"Nombres de Mersenne : 2ˆi-1") ;
for i from 2 to 100 do
if isprime(2ˆi-1) then
m := m+1 ;
print(Unquoted,"Pour i = ".i,"M".m."= ".expr2text(2ˆi-1)." est premier") ;
end_if
end_for
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