Classe de TS- spécialité maths Mercredi 20 novembre Contrôle n° 1 de spé Lycée la Condamine Divisibilité dans Z et PGCD Nom : …………………………………… Exercice 1 : Démontrer que le carré de n’importe quel nombre n entier naturel est congru à 0 ou 1 modulo 4. Exercice 2 : Soit S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2p(q-1) a) Remarquer que S est la somme des premiers termes d’une suite à déterminer ( nature / raison / nombre de termes ) b) Exprimer S en fonction de 2 , de p et de q ( à l’aide de la formule des sommes des termes de suites arithmétique ou géométrique ) c) Déduire que 2pq 1 (2p – 1 ) d) Pourquoi le nombre 2pq – 1 est-il divisible par 2p – 1 De la même manière grâce à la somme S’= 1 + 2q + 22q + 23q + … + 2(p-1)q on peut prouver ( mais on ne le fera pas) que 2q – 1 divise 2pq – 1 e) Trouver sans le justifier n tel que 2 097 151 = 2n – 1 Déduire deux diviseurs connus de ce nombre grâce aux questions ci-dessus. Exercice 3 : a) Décomposer 2156 et 5390 en produits de facteurs premiers b) Quel est le plus grand carré parfait qui divise 2156 c) Quel est le PGCD de 5390 et 2156 ?