Mouvement d`un satellite artificiel

Mouvement d’un satellite artificiel. (CCP 96).
Partie 1.
On considère un satellite de masse m soumis à l'attraction gravitationnelle de la terre supposée, sphérique,
de centre O, de rayon RT, et de masse MT.
On admettra que m << MT : la terre peut donc être considérée comme fixe.
On posera : k = G MTm avec G constante de la gravitation universelle.
1.1. Donner l’expression de la force f s’exerçant sur le satellite.
1.2. Montrer que la trajectoire du satellite par rapport à la terre est plane. On pourra faire l'étude en
coordonnées cylindriques (r,, z) de vecteurs unitaires correspondants a u r , u , u z avec u z le
vecteur unitaire orthogonal au plan de cette trajectoire.
Démontrer la loi des aires. On notera C la constante des aires.
1
d 2u
1.3. On note u  . Ecrire l'accélération du satellite en fonction de C, u et 2 .
r
d
p
En déduire que la trajectoire du satellite est une ellipse d'équation r 
ou p et e sont
1  e cos 
des constantes appelées respectivement paramètre et excentricité. L'axe polaire et l’axe focal
sont confondus. Donner l'expression du paramètre p en fonction de C, k et m.
1.4. On nomme périgée (P) le point de la trajectoire elliptique le plus proche de la terre et apogée
(A) le point de trajectoire elliptique le plus éloigné de la terre.
On note ( rp et vP ) et (rA et vA) la position et la vitesse du satellite respectivement à son périgée
P et à son apogée A.
1.4.1. Calculer l'excentricité e en fonction de rA et rP.
1.4.2. Calculer le rapport vP/vA en fonction de e.
Partie 2.
2.1. Déterminer l'expression de l’énergie potentielle Ep(r) du satellite en un point M de la
trajectoire tel que OM  ru r . On prendra Ep()= 0.
On suppose maintenant la trajectoire circulaire et uniforme de rayon ro et d'énergie mécanique
Em constante.
Etablir une relation simple entre l'énergie cinétique Ec et l'énergie potentielle Ep du satellite.
2.2. Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l'atmosphère ; ces frottements sont
équivalents à une force de freinage de module f = mv2. Ce freinage est très faible, et on peut
supposer que les révolutions restent presque circulaires et que pour chacune d'elle, l'altitude h
du satellite diminue de dh avec dh << h. L'altitude h est comptée à partir de la surface de la
terre : ro = RT + h.
2.2.1. Soient dv la variation de la vitesse pour un dh donné, et la période T de révolution.

Montrer que dv   dh
T
2.2.2. Justifier l'évolution de la vitesse du satellite.
2.2.3. A partir de la variation de l’énergie mécanique du satellite sur une révolution,
exprimer  en fonction de h, dh et RT.
2.3. En remarquant que la perte relative d'énergie mécanique est faible à chaque révolution, calculer
le temps  au bout duquel le satellite s'écrasera sur la terre.
On fera l'hypothèse simplificatrice que la loi de frottement reste la même pendant toute la
chute.
2.4. La trajectoire du satellite peut être décrite dans son plan de trajectoire par l'équation en
coordonnées polaires r = ro exp -  .
2.4.1. Exprimer  en fonction de dh, RT et h.
2.4.2. Exprimer en fonction de ro et  la distance D parcourue par le satellite au cours
d'une quasi-révolution. On pourra mettre en évidence ce résultat comme la distance
d’une orbite circulaire affectée d'un terme correctif en tenant compte de l'ordre de
grandeur de .
DTL5. 05/06.